注重知识建构过程，提升学生探究能力──以“等比数列的前n项和(新授课)”为例



注重知识建构过程，提升学生探究能力
──以“等比数列的前n项和(新授课)”为例

江苏省徐州高等师范学校(221116)朱允洲

数学教学不仅要遵循知识的发生、发展过程，更要关注学生已有知识与经验的积累，在此基础上有目的地设计合理有效的探究活动，并以正确的方法加以引导，才可能调动学生学习的热情与积极性，激发其学习潜能，在亲历知识的再发现与再创造过程中易于抓住问题的本质，构建合理的知识结构，有效地提升他们的探究思维能力.

等比数列的前n项和，是苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学(必修5)》“数列”一章的最后一节内容，是对等差、等比数列相关知识与方法的运用、延伸和发展.本课目的是通过对求和公式推导的探究，让学生亲历公式的具体形成过程，认识枯燥公式背后丰富而鲜活的内容与思想方法，感受公式产生的自然合理性.通过类比等差数列，引导学生从不同的角度展开探究活动，在探究中使得学生对等比数列求和公式的认识更加深刻，能抓住其本质特征.

一、教学过程简录

1．问题引起困惑，激发探究欲望

师：我们学习了等比数列的定义与通项公式，并用它解决了一些相关的问题，与等差数列类似，下面我们研究它的求和问题.首先讲一个故事：国际象棋起源于古印度，国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，在第二个格子里放上2颗麦粒，在第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子放完.”国王觉得这不难办到，就同意了发明者的请求.你觉得国王能满足他的要求吗？

(学生开始积极讨论)

师：总共麦粒数是多少？

生1：S64=1+2+4+…+263.

师：S64的值到底有多大？你算出来了吗？

生1：还没有…

师：大家看看这是一个什么问题？

生(众)：等比数列求和问题.

师：象等差数列一样，如果等比数列有了求和公式，上面的问题就很容易解决.那么，等比数列求和公式是什么样子？如何推导？

教师在黑板上板书等比数列求和表达式Sn=a1+a2+a3+…+an.

点评：以一个有趣的故事引入，学生将实际问题提炼成一个数学问题，激起了学生迫切想知道答案的欲望，在教师的追问下，把学生未解的疑问与急于知道答案的心情引入到了本课的主题，同时也拨动了学生的思维之“弦”，使学生的心理达到了“愤、悱”的状态，为下面的探究活动做了充分的铺垫.

2.基于知识经验，探究建构新知

师：我们知道，在等差数列的求和公式中，Sn是用a1,d,n,an这些量表示的.那么，等比数列的Sn能用哪些量表示？

生(众)：a1,q,n,an.

师：说得好！如何用他们来表示Sn？大家想想看？(学生开始分组讨论、交流)

师：还需要补充吗？

师：对q的取值要讨论，补充的很到位！从等比数列的定义出发，利用比例的性质，回归到等比数列的“根”上去探究求和公式，自然合理！还有其它的方式求Sn吗？

师：你是怎么想到的？说说看？

生4：根据等比数列相邻两项的关系，把后n-1项看成一个整体，提出q后就是Sn-1，再由等式an=Sn-Sn-1(n≥2)，将Sn-1转化为Sn，就得到关于Sn的方程，于是可求解了.

师：构造关于Sn的递推关系式，再转化为Sn的方程求解，目标非常明确！

师：不错，待定系数法是处理递推关系问题的一种常用方法，通过配凑系数，将原数列转化为等比数列，体现了化归的思想，它是高考中常考的方法，必须要掌握.

点评：在教师的引导下，明确探究目标，根据求和表达式的特征，学生以两种不同的方式建立了关于Sn的方程，对于递推关系式，学生自然会想到待定系数法.从熟悉的等比数列的定义及递推关系式出发展开探究，使得学生在探索的过程中思维找到了“固着点”，新知识的增长有了一定的“根基”，等比数列求和公式的形成顺畅自然.

师：对于表达式Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，实际上就是将等号右边的式子消去若干项而用另外一种表达形式而已，仔细观察其特征，如何做到这一点呢？前面学习了等差、等比数列的一些公式的推导方法能有什么帮助吗？(学生陷入了沉思)

师：好！你是如何想到的？

师：言之有理！运用的是加减消元法的思想，通过对Sn的表达式两边乘以-q构造一个新的求和式子，两式相加消去表达式中间若干项.由于加法与减法本质上是相同的，上述求解过程也可以看成减法，由于是错一位相减，所以称为“错位相减法”，这也是高考中常考的思想方法，希望大家能掌握它.这种方法还能解决什么样的数列求和问题呢？

生(众)：什么数列？(学生愕然，开始低声议论)

师：在表达式Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1中，每一项都有什么特点？

生7：常数列{a1}与等比数列{qn-1}相应项的乘积.

师：常数列{a1}是等差数列，若将它推广成一般的等差数列，如：{n}，原数列就不是等比数列了，试试看能用错位相减法吗？

(学生开始思考、讨论、演算…)

生8：可以！错位相减后，每项的系数之差正好是公差1，转化为等比数列求和了.

师：若将常数列{a1}换成{kn+b}呢？

生8：每项的系数之差就是公差k.

师：讲得好！想一想，什么样的数列求和可以用错位相减法？此法依据是什么思想？

生(众)：一个等差数列和一个等比数列相应项的乘积构成的新数列.转化的思想.

师：如果等比数列的公比为1，此类新数列就变成等差数列了，还可以用这种方法推导等差数列的通项公式，大家课后不妨试一试.

点评：错位相减法是一种新的思想方法，学生不容易想到，在教师的点拨引导下，学生联想到累加法，结合求和表达式的特征，在等式两边乘以-q再相加，实现正负抵消的目的.教师又提出了数列{nqn-1}的求和问题让学生尝试，强化了学生对错位相减法本质的理解.

教师对以上的探究方法正想进行总结时，一位学生站了起来.

师：(师生不约而同地鼓掌)妙！能想到这种独特新颖的方法不容易，能解释一下吗？

生9：根据前面的待定系数法，感觉a1qn-1应该能拆分成μqn与μqn-1差的形式，再将其分别与Sn和Sn-1配对，就会出现新的等比数列{Sn-μqn}，由于Sn和Sn-1前面的系数都为1，所以该新数列应是常数列.

师：生9观察力非常敏捷！分析得清晰、自然，值得大家好好学习，他的解法还是待定系数法的思想，关键是将a1qn-1进行了有目的的拆分，和Sn、Sn-1配凑成新的等比数列.

国家统计局最新数据显示，2000年，中国65岁以上老年人口占比7%；截至2017年底，我国60周岁以上人口已达24090万人，占人口总量的17.3%。老龄化在我国的加速演进，也催生着老年保健型食品的生产，低盐、低糖类食品等很常见。

点评：生9的解法独辟新境，他对数学式子的观察、猜想及分析都非常细致，构造很巧妙，学生的这种创新意识得到了教师与同学的肯定，在日常的教学中应大力提倡和保护这种创新的精神，这有益于培养学生的发散思维能力.

上述各种推导方法，基于学生已有的知识经验(如：等比数列的定义、累加法、待定系数法和等差数列的推导经历等等)，抓住求和表达式的结构特征，通过类比的方式，引导学生将问题进行转化，明确解决问题的方向.学生经过独立思考、自主探索与合作交流，从不同角度探寻出了推导求和公式的突破口.学生在不同方法的探究过程中揭示出了等比数列求和公式的产生、形成过程，合理地构建了新知，优化了他们的数学思维品质，提升了他们的数学探究能力.

3．运用公式求解，理解巩固新知

例1在等比数列{an}中，已知a1=1,q=2，求S64.

例3已知数列{an}的通项公式an=2n·qn，求Sn.

师：下面我们用得到的求和公式解决一些问题，首先计算本课开头提出的问题.

师：这个数超过了1.84×1019，假设千粒麦子的质量是40克，那么麦粒的总质量超过了7000亿吨，以当时的生产水平，国王不可能满足发明者的要求.

下面大家再来算算例2和例3，谁愿意到黑板上来板演？

学生板演例题(例2略)，(目的让学生体验等比数列求和公式的运用及错位相减法的操作流程)

学生10：(板演)Sn=2q+4q2+6q3+…+2(n-1)qn-1+2nqn(1),

qSn=2q2+4q3+6q4+…+2(n-1)qn+2nqn+1(2),

(1)-(2) 得， (1-q)Sn=2q+2q2+2q3+…+2qn-2nqn+1.

学生11：他没讨论q=0时情况，此时an=0，所以Sn=0.

师：很好！要仔细审题，对参数的取值范围讨论要全面.

最后课堂小结，布置作业(略).

点评：通过例1例2的求和运算，加深了学生对等比数列求和公式的理解与运用，同时例1的解决揭开了本课开头故事中的谜底，体现了数学的应用价值.例3涉及到对错位相减法的进一步理解与运用，通过板演，规范了学生对错位相减法的操作流程，深化学生对该方法本质的认识.

二、教学反思

1．注重“结果”，更要注重“过程”

数学知识的产生与发展有其内在的规律性、科学性，是个自然的过程，因此，教学中应该遵循这样的过程：注重知识是怎么来的，其形成的源头在哪里，怎样引导学生去探究，关键是能否更好地发展学生的思维能力.如果操之过急，贪图“短时效益”，将会出现本末倒置的不良后果.诚然，等比数列求和公式需要学生记忆与运用，但对公式形成的探究过程更能凸显数学味.本课的探究实现了动态的生成过程，以学生已有的知识经验作为基础，以教师在关键节点处给予的点拨与问题为引领，为学生提供了充足的独立思考、自主探究的时间与空间，学生探索出多种不同的推导方法，能知其“然”，在展示自己的成果时教师进行了追问，让他们“道”出每种方法的来龙去脉，促使其对自己的思考过程进行反思，还能知其“所以然”.事实上，学生探究的每种思路与方法，都是对已学数列知识的灵活运用与创新，如：定义法、方程法、待定系数法、错位相减法等，这些方法的运用促使求和公式的形成是一个水到渠成的过程.

《普通高中数学课程标准(实验)》指出：学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学方式.因此，公式推导的教学应让学生尝试多种方式对公式的产生过程进行探究，从中领悟其精髓.其实很多数学公式本身凝聚丰富的知识与方法，是其所在章节中的精华，具有极好的教育教学功能，需要教师用心去琢磨，挖掘其深刻的内涵，将“冰冷的美丽”与学生“火热的探究”完美地结合起来，实现教学效益的最大化，如在本课公式的探究过程中，学生保持着较高的热情，不仅经历了等比数列求和公式的产生过程，而且运用了数列中多种不同的思想方法，实现了知识与方法的和谐发展，使得公式的学习过程更加“鲜活”，富有挑战性，这不仅有助于实现知识建构的系统化，而且有助于提升学生的思维，开拓学生的视野，调动他们探究学习的积极性与兴趣.

2．以生为本，因势利导开展探究

一堂课是否高效的标准不在于教师讲的多么“透”，而在于学生学的是否“明”.尊重学情，以生为本是当今课堂教学的核心理念之一.本课没有采用告诉加训练的模式，而是以学生知识经验的积累为前提，以学生的思维发展为目标，放手让其去探寻等比数列求和公式的形成过程.在学生自主探究中，他们的思维得以暴露和自然碰撞，能力得以不断地提升，并从中也收获了成功的喜悦与自信.新课程理念强调学生是课堂的“主角”，并不意味着教师是“甩手掌柜”，相反，教师应该具有更高的课堂驾驭能力，从课标要求、教材意图、学生需要等方面努力创设探究的问题情景，在困惑处为学生点拨、引导，努力为学生的探究活动搭建更好的平台.如：等比数列的前n项和Sn该用哪些量表示？在推导错位相减法时可以借助哪些学过的方法？错位相减法还能解决什么样的数列求和问题？以问题启迪思维与智慧，引领学生正确的探究方向，并且适时地对学生探究的过程与结果进行追问，促使学生的思维过程更趋于理性化，让学生在体验知识的形成与发展过程中，实现对知识的再发现与再创造，从中真实地感受到数学是自然的、讲道理的.

《标准》指出：教师应成为学生进行数学探究的组织者、指导者与合作者.教师的引导需要 “心”中有学生，摸清学生已有的知识基础，弄清学生经历过的数学活动经验，如：等比数列定义、通项公式、待定系数法、累加法等等；了解学生的观察、联想、类比、分析与验证等思维能力的水平，这些因素直接影响探究活动的顺利开展和效果，只有它们合理匹配，在探究中才可能吸引学生的“心”，使学生的思维实现由“已知区”向 “最近发展区”的跨越.因此，教学中教师应有目的地组织学生去探究，并且在探究中要始终遵循：所有数学活动的开展以学生的认知基础为前提，所有活动的设计以提升学生的思维能力为目的，只有这样，才能让探究不流于形式，发挥它在教学中真正的价值.

参考文献

[1]祁平． 基于探究的数学教学的哲学思索[J]．数学通报，2014，8．

[2]徐友华． 数学教学：要“实惠”还是要“自然”[J]．中学数学月刊，2014，7．

[3]严士健，张奠宙，王尚志． 普通高中数学课程标准(实验)解读[M].江苏教育出版社，2004，4．