赏析2015高考湖北卷理科第14题



赏析2015高考湖北卷理科第14题

湖北省阳新县实验中学(435200)赵前礼湖北省阳新县高级中学(435200)邹生书

图1

题目如图1，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方)，且|AB|=2.

(Ⅰ)圆C的标准方程为；

一、赏析题目

这是2015年高考湖北卷理科第14题，本题设置新颖，一题两空，梯度明显，第一空求圆C的标准方程，较为容易；第二空是多选填空，判断三个等式是否成立，本问是命题人在客观题中设置的重要关卡，难度较大.本题知识立意、思想立意、能力立意，以双圆为载体，有深厚的数学文化背景，是一道值得品味和欣赏的优质试题,是湖北省2015年高考的一大亮点.

二、赏析解法

参考答案给出的解法如下：

点评:对于第(Ⅱ)问参考答案给出的解法是特殊化方法，当直线MN的方程为x=0时，即M,N在y轴上时，①②③正确，但这并不能保证对任意的直线MN，①②③也都正确？难道本题隐藏着一个普遍的性质？

下面笔者给出(Ⅱ)一个直接而严谨的解法.

三、赏析背景

反思原因本考题的圆O为什么会有如此美妙的性质，性质背后隐藏什么条件，问题的幕后推手是谁，弄清楚了这些问题也就基本上了解了题目是怎么命制的了.

另一方面，从解析几何的角度考察.我们知道，如果平面内一个动点M与两个定点A,B的距离之比λ是一个不为1的常数，那么这个动点M的轨迹是一个圆，这个圆叫做阿波罗尼斯圆.在线段AB上或AB延长线上满足条件的点I,J分别是线段AB的内分点和外分点，线段IJ就是这个圆的直径.

段AB的内分点和外分点，线段IJ就是这个圆的直径.

据此，参考答案的特殊化方法也就不足为怪了.

那么题设中圆C与圆O是什么关系，它起什么作用呢？

由此可见，考题中点T的坐标为(1,0)，圆O的半径为1，这些数据都是命题人精心设计的，这里OT=r是本考题最有力的幕后推手.命题者把重要机关“OT=r”这样神不知鬼不觉地设在圆C上，充分体现了命题人深入浅出隐而不露的命题智慧和命题风格.这里圆O就象是木偶戏的台前主角，圆C是身藏机关在幕后的操纵者和推手，圆C起到了推波助澜的作用，圆C的出现使问题变得更加隐蔽和扑朔迷离.

问题的一般性结论：

图2

就题论题、就题论法和以题论道是解题的三种不同境界，其中以题论道是解题的最高境界.研究一道优质的高考题，不仅要研究它的解法，还要研究它的数学背景和数学文化；不仅要研究特殊情形，还要研究一般情形，类比和推广；不仅要研究一般性质，还要研究产生这一性质的原因；不仅研究怎样解题，还要研究命题人是怎样命制试题的.从研究中学习解题，从研究中学会欣赏.欣赏题目的设置形式，欣赏题目的多种解法，欣赏题目的数学背景和数学文化，欣赏命题人深入浅出的命题智慧和隐而不露的命题风格，从而提高解题能力、欣赏能力和欣赏水平.