基于代理模型的水下航行体头型优化设计方法研究

权晓波，王 惠，魏海鹏，程少华

（北京宇航系统工程研究所，北京100076）

基于代理模型的水下航行体头型优化设计方法研究

权晓波，王 惠，魏海鹏，程少华

（北京宇航系统工程研究所，北京100076）

文章采用Kriging代理模型技术针对水下航行体头型优化设计开展研究。采用CFD方法分析了不同头型水下航行体的流体动力性能，将性能参数作为初始样本建立代理模型；根据测试样本点的预测均方误差选择加点策略更新代理模型，提高代理模型预测精度；采用非劣分类遗传算法对阻力和表面压力开展多目标优化，寻找近似最优解。结果表明：基于代理模型技术的水下航行体头型多目标优化设计方法可以有效提高设计效率，获得具有良好水动特性的航行体头型。

水下航行体；头型设计；Kriging代理模型；优化设计

0 引 言

头型设计是水下航行体外形设计的主要内容，直接决定航行体的阻力和抗空化能力，对航行体的水下运动特性产生重要影响[1]。阻力减小可以提高航速，增大航程，增加携带有效载荷的能力[2]；抗空化能力的提高可以降低流场空化形成的可能性，避免由空化产生的冲击、振动及噪声。为使水下航行体获得更小的阻力和更高的抗空化能力，需采用多目标优化方法对水下航行体头型进行寻优。

在头型优化设计过程中，需反复修改外形，进行多次流体动力特性计算[3]。传统的头型设计一般采用数值CFD计算方式，可获得相对准确的计算结果，但CFD分析消耗大量的计算资源和时间，导致迭代优化设计时效率较低。应用代理模型技术可有效地解决这一问题，通过采用近似方法实现计算效率和计算精度的有效匹配，在优化设计领域获得广泛的应用。宋保维等[4]基于代理模型进行了鱼雷外形阻力的单目标优化，证明此优化方法可以克服计算成本高的缺点，获得较为满意的鱼雷外形；姚拴宝等[5]基于改进的蚁群算法和改进的Kriging代理模型开展了列车头型的三维气动减阻优化设计研究，减小了头部阻力。

本文针对水下航行体头型多目标优化设计问题，应用代理模型技术作为学科分析工具和优化算法之间的接口，获取水下航行体优化头型。首先，基于Kriging近似方法和最优拉丁超立方试验设计方法建立代理模型；然后，根据最小化均方误差方法选择加点策略，更新代理模型以提高预测精度；而后，选取NSGA-Ⅱ遗传算法进行头型多目标优化设计，获取兼顾阻力及抗空化能力的Pareto前沿解。最终，对优化后头型应用CFD数值仿真计算方法进行仿真，验证了本方法的有效性。

1 研究方法

1.1 Kriging代理模型

代理模型技术是指采用近似模型建立输入到输出的响应系统，包括近似方法和试验设计方法的选取。

1.1.1 Kriging近似方法

Kriging代理模型是一种估计方差最小的无偏估计模型[6]。对于输入x，其响应y可表示为：

式中：β是回归系数，f（ x）T是x的n阶多项式，随机分布的误差为z，具有如下统计特性：

式中：xi，xj为样本中的任意两点；R（ θ, xi,xj）是以θ为参数的相关模型，表示样本的空间相关性。本文选取的高斯相关函数表达式为：

式中：xik，xjk是样本点xi，xj第k维元素。

对于m维初始样本点，其响应为Y，可得多项式F和相关矩阵R。对于一个待测点x的，可得多项表达式f和相关阵r，其响应值利用样本点xi的响应值Y线性加权叠加计算，即=C（ x）TY。在无偏性要求下，模型预测期望方差表示为：

拉格朗日方程求解上述方程取最小值时可得：

C（ x）与待测点和已知点间的相关性矩阵有关。由最小二乘估计可得：

方差的极大似然估计为σ2：

1.1.2 试验设计方法

试验设计是构建代理模型的基础，通过试验设计给出一组具有代表性的小量样本设计点，尽可能地反映设计空间的特性[7]。例如，对于二因子6水平的研究，全因子设计（FFD）需要6×6个点，而最优拉丁超立方设计（Opt LHD）只需研究6个点，如图1所示。可以看出，本文选取的最优拉丁超立方设计可使试验点均匀地分布在设计空间，空间填充性和均衡性高，拟合非线性响应效果好。

1.1.3 基于最小化均方误差的Kriging改进模型

为了在小样本的条件下提高Kriging近似方法的拟合精度，本文基于最小化均方误差（MSE）的方法评估代理模型的预测效果，由原样本点生成新增样本点，增加样本信息，拟合这两部分样本点共同组成的样本空间，达到提高了拟合精度的目标。

首先要针对不同的输入参数，进行全因子设计，假设共有m维输入设计参数，每个输入设计参数选取的水平数是ni，则可以获得测试样本的容量为n1×n2…×nm；然后应用Kriging方法对测试样本进行预测，分析测试样本MSE的变化规律，找到不满足预测要求的一组“差”点，作为补充样本点更新原样本点；最终，以新样本点为基础建立代理模型，验证精度是否满足要求，流程如图2所示。

图1 全因子设计和最优拉丁超立方设计试验点分布Fig.1 Sample distribution of FFD and Opt LHD

图2 改进的Kriging模型的构建流程Fig.2 Flow chart of improved Kriging model

1.2 数值分析方法

本文采用基于结构网格和雷诺平均N-S方程求解航行体阻力系数和表面压力系数。具体计算方法简要描述为：使用FLUENT软件求解三维定常不可压缩流动，湍流模型为k-ω的SST形式，压力速度耦合方式采用SIMPLEC算法，对流项采用2阶迎风格式。考虑流场对称性，采用ICEM软件对一半流场划分结构化网格。在靠近旋成体表面对网格加密，形成边界层，最靠近物面一层网格间距为10-4m量级。

为了验证本文数值仿真方法的正确性，对某水下航行体表面压力系数进行数值模拟，网格和压力云图如图3所示。航行体表面压力系数的仿真结果与试验结果对比如图4所示，由图中可以看出仿真结果与试验结果相差较小，压力系数极小值的误差仅为2.9%，表明本文采用的CFD计算方法具有较高的准确度。

从压力云图可以看出，头部迎背水面存在低压区，易产生空化现象。以空化初生时空化数的大小描述航行体产生空化现象的难易程度：初生空化数越小，说明该物体的抗空化能力越高。不同物体在液体中运动，初生空化数由最小压力系数cpmin的绝对值确定[8]，越小，初生空化数越小，该物体抗空化能力越高。因此，本文中选取航行体表面最小压力系数来表征水下航行体头型抗空化能力的大小，通过寻找最小压力系数绝对值的最小值，获取抗空化能力最强的航行体头型。

图3 水下航行体结构化网格和压力云图Fig.3 Structured mesh and pressure contour of underwater vehicle

图4 航行体表面压力系数仿真结果与试验结果对比Fig.4 Comparison of prediction value and CFD value of Cp

1.3 优化算法

遗传算法（GA）是一种借鉴生物自然选择和遗传机制的随机搜索方法[9]，由于具有群体搜索特性并且不需要辅助的梯度信息，使得其具有较好的全局搜索性能，在当今工程计算领域的多目标优化问题中有着广泛的应用。NSGA-Ⅱ的优点在于具有获得最优Pareto前沿解的能力[10]，而且Pareto前沿前进能力增强，探索性能良好，因此，本文选取NSGA-Ⅱ作为多目标优化算法。

2 算例建模

2.1 研究对象

以某水下航行体为研究对象，外形如图5所示。为了方便、准确地描述水下航行体的头型曲线，需要进行头型曲线的参数化设计，以鱼雷线形拟合研究为基础，选用常见的平端头曲线的双参数立方多项式形式作为水下航行体头部曲线拟合的基本解析表达式：

式中：R为水下航行体半径；X0为头型曲线过渡段长度；k1和k2为曲线的控制参数，k1是前端点的曲率变化率，当k1取值大时，头部线型丰满，反之消瘦；k2是后端点的曲率变化率，当k2取值大时，头部线型消瘦，反之丰满，规律如图6所示。

图5 水下航行体外形Fig.5 Configuration of underwater vehicle

图6 曲线控制参数k1、k2对头型的影响Fig.6 Influence of curve parameters

2.2 试验设计

设计变量选取头型曲线过渡段长度X0∈[0.3 m,1 m]，头型曲线的控制参数k1∈[0,1]、k2∈[0,15]，采用最优拉丁超立方试验设计方法获得一组初始样本点，样本点容量为12个，空间分布情况如图7所示。

2.3 仿真计算

在5°攻角、来流速度15 m/s条件下，数值计算12组初始样本点的阻力系数与压力系数，结果如表1。

2.4 基于Kriging改进方法建立代理模型

根据表1中12组初始样本点，采用Kriging方法建立初始代理模型。为了提高初始代理模型的预测精度，采用最小化均方误差的方法更新初始Kriging模型，分为以下几步：

（1）采用全因子试验设计方法，将设计变量k1、k2、X0分别间隔0.1、1、0.05取值，获得11×16×15维训练样本；

（2）应用初始代理模型预测训练样本的流体力系数，提取表面压力系数cp的预测MSE，以MSE值最大的8组样本点为补充样本点。针对补充样本点开展仿真，结果如表2所示；

（3）以表1的初始点和表2的补充点作为样本点建立代理模型，获得表面压力系数cp的预测MSE如图8所示。可以看出，补充8组角点数据后，角点处MSE值明显降低，代理模型精度水平有所提升；

（4）在样本点之外随机生成2组测试样本点，采用代理模型开展预测，评估代理模型的预测精度。流体力系数的预测值与仿真值误差对比如表3所示，可以看出，阻力系数的预测误差不超过2%，表面压力系数误差不超过13%，最大预测方差满足收敛要求，可利用此代理模型代替真实物理模型进行优化设计。

图7 初始样本点空间分布Fig.7 Space distribution of sample points

表1 初始样本点阻力系数与压力系数Tab.1 Drag coefficient and maximum pressure coefficient of design variables

表2 8组补充样本点的阻力系数与压力系数Tab.2 Drag and pressure coefficients of added design variables

图8 测试样本点的MSE值Fig.8 MSE of test point

表3 代理模型预测误差与初始误差对比Tab.3 Prediction error companion of improved model and origin model

3 多目标优化结果

在来流速度v=15 m/s、攻角α=5°的条件下，水下航行体头型优化的多目标为：mincd、min。

采用NSGA-Ⅱ算法对上述问题进行多目标优化，图9给出了优化结果的Pareto前沿图。Pareto前沿的两个端点分别为压力系数绝对值的最小值和阻力系数cd的最小值，中间点则是以牺牲一个优化目标为代价改善另一个优化目标。将Pareto优化前沿点与初始及补充样本点相比可以看出，其阻力系数和表面压力系数绝对值均较小，达到了阻力更低和抗空化能力更高的多目标优化目的。但由于两个优化目标在一定范围内相互制约，均获得最优解的理想状态不可能达到。因此，Pareto优化前沿上的点均可作为可行优化解。

从Pareto优化解中选取一组特征头型曲线，分析曲线的共同特征可知，优化后k1较小，k2、X0值较大，头型具有如图10所示特征。

图9 多目标优化结果Fig.9 Multi-optimization result(Pareto)

图10 优化后头型曲线集Fig.10 A set of optimal forehead configurations

在Pareto优化解集中，针对压力系数绝对值最小点开展仿真，验证基于代理模型优化设计的准确性，相应的仿真计算值和优化预测值对比如表4所示。可以看出，阻力系数和压力系数的仿真值与预测值差距较小，误差分别为0.8%、-2.6%，表明本文中采用的基于代理模型的多目标优化设计方法准确度较高，可以将该方法获得的优化解集作为水下航行体头型优化结果。

表4 Pareto边界点头型参数的数值仿真和优化预测对比Tab.4 Prediction value and CFD value comparison of Pareto boundary point

图11 阻力系数和压力系数随迭代次数变化规律Fig.11 Drag coefficient and maximum pressure coefficient changing with iterative steps

本文进行优化设计时，初始人口数设置为12，遗传代数为100，迭代次数共1 200次，阻力系数和压力系数随迭代次数的变化如图11所示。可以看出，在此过程中，共调用代理模型1 200次，如果要直接使用CFD方法进行优化设计，需要进行上千次计算，而使用代理模型代替数值仿真，调用代理模型的时间与CFD仿真时间相比几乎可以不计。由此可见，引入代理模型可以减少优化过程时间，实现水下航行体头型优化设计效率的大幅提升。

4 结 论

本文将改进的Kriging代理模型技术应用于水下航行体头型优化设计，得到了如下结论：

（1）基于最优拉丁超立方试验设计及最小化均方误差加点策略的改进Kriging代理模型可以使用数量较少的样本点建立可靠的近似模型。与常规Kriging代理模型技术相比提高了预测MSE水平，满足了优化过程的收敛要求；

（2）多目标优化可以给出同时改善阻力和抗空化能力两方面目标的优化前沿解集，得到了具有良好水动特性的航行体外形，与单目标优化相比具有更好的适用性；

（3）基于代理模型技术的水下航行体头型优化设计可以大大减少CFD仿真计算次数，降低成本，提高设计效率，同时，优化结果的预测值与仿真值相差较小，证明此方法是一种高效可靠的水下航行体头型设计方法。

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Configuration optimization design of underwater vehicle based on surrogate model

QUAN Xiao-bo,WANG Hui,WEI Hai-peng,CHENG Shao-hua
(Beijing Institute of Astronautical System Engineering,Beijing 100076,China)

Based on Kriging surrogate model,a configuration optimization design method of underwater vehicle was studied.A set of different forehead configurations were chosen as original sample points to construct the surrogate model.The hydrodynamic forces are calculated by CFD analysis tool.To improve the attainable precision,sampling strategy was used according to the MSE(mean square error)of test points.After that,NSGA-Ⅱoptimization method was implemented under given condition to find the approximate optimal solution considering minimum drag coefficient and maximum pressure coefficient.The results show that the multi-object optimization design method based on the surrogate model gives a set of Pareto optimal solutions.Therefore it can improve the configuration design efficiency of underwater vehicle,and find the vehicle configuration with good hydrodynamic performance.

underwater vehicle;forehead configuration;Kriging surrogate model;optimal design

TV131.2

：A

10.3969/j.issn.1007-7294.2016.10.006

1007-7294（2016）10-1262-07

2016-07-18

权晓波（1976-），男，博士后，研究员；王 惠（1993-），女，硕士研究生，E-mail:wanghui0912wh@126.com。