基于动态罚因子的多学科协同优化算法及其在船舶设计中的应用

周 奇，蒋 平，许 辉，陈 立，黄卫刚

（1.华中科技大学机械学院，武汉430074；2.中国舰船研究设计中心，武汉430064）

基于动态罚因子的多学科协同优化算法及其在船舶设计中的应用

周 奇1，2，蒋 平1，许 辉2，陈 立2，黄卫刚2

（1.华中科技大学机械学院，武汉430074；2.中国舰船研究设计中心，武汉430064）

针对标准协同优化算法求解复杂系统工程问题的缺陷，提出了一种改进的协同优化算法，并将其应用于油船总体概念设计阶段。改进协同优化算法将系统级一致性约束最优化问题通过罚函数方法转化为一个无约束优化问题。同时，给出了两种不同的基于差异信息的动态可调罚系数，以保证在优化初期，系统级设计变量与学科级共享变量相差较大时，惩罚力度也大，促使一致性差异在总目标函数中占主导地位，则一致性差异将迅速下降。随着优化的进行，罚系数变小，惩罚力度减轻，目标函数的收敛加快。通过对MDO测试函数算例与标准协同优化和其他典型的改进协同算法的比较，验证了该方法在优化结果的可靠性和稳定性等方面有优势。最后，应用改进的协同优化算法求解以油船造价为系统级目标协同浮性与稳性、快速性等4个子学科的多学科优化问题以体现其工程实用性。

多学科设计；协同优化；罚系数；差异信息；船舶概念设计

0 引 言

现代工程设计往往涉及多个专业领域，存在很多设计变量及约束条件，各学科间相互影响或耦合。传统的串行设计方式由于忽视学科间的关联性，通常只能获得设计的局部最优解。上世纪八十年代，兴起于航空航天领域的多学科设计优化方法（Multidisciplinary Design Optimization，简称MDO）成为解决复杂耦合系统优化设计的可行方法之一。

MDO是一种通过充分探索和利用工程系统中相互作用的协同机制来设计复杂产品及其子系统的方法论[1]。以Sobieski和Kroo为代表的科学家在这方面做了一些开创性的工作[2-3]。随后，MDO在航天航空实际工程应用过程中得到了广泛的发展。MDO在船舶领域的应用研究起步较晚，最负盛名的是美国DD-21项目在概念设计阶段应用多学科设计优化技术进行新武器系统实际开发，并从2004年开始并行地进行全面的详细设计与生产，2009年完成32艘DD-21级舰只交付组舰舰队任务；2007年Shinde在California大学和商用运输技术中心（Center for the Commercial Deployment Of Transportation Technologies，简称CCDOTT）的支持下完成了轻型高速海上运输船（Joint High Speed Sea Lift Light,简称HSS Light）、高速海上运输船（High Speed Sea Lift,简称HSS）、高速运输连接船（High Speed Connector Ship,简称HSC）三型三体船的多学科概念优化设计，随后California大学的Rispin、Hefazi等[4]在此基础上进行了进一步的研究；Seoul National大学的Yang[5]在船舶初步设计阶段，考虑船体型线设计，完成VLCC多学科优化设计；Michigan大学的Christopher[6]将粒子群算法与协同优化算法结合，以年运货量、单位重量运输费用、空船质量为优化目标完成了杂货船多学科概念设计。

国内船舶多学科优化的研究暂处于理论研究阶段。中国船舶科学研究中心赵峰等[7]分析了水面舰船航行性能设计领域开展多学科设计优化的重要意义，制定了船舶总体研究思路，确定了系统设计目标、技术指标及顶层设计方案，剖析了需要解决的关键技术，并给出了攻关建议；潘彬彬等[8-9]建立了整船的有限元模型，完成了整船结构多学科设计优化，同时在中国船舶科学研究中心的支持下，对国内的一艘实船的概念设计建立了包括快速性、操纵性和船中剖面的总纵强度多学科设计优化模型，最终的优化设计方案不仅提高了该船的快速性，同时减小了船中剖面的截面积；上海交通大学胡志强等[10]在8000箱集装箱船的缓冲球鼻艏设计中采用多学科协同优化算法，获得了满足船东利益和船级社规范要求的优化解；刘蔚等[11-12]将多学科设计优化方法应用到7000米载人潜水器的总体设计过程中，建立了比较完整的数学模型，与原设计方案相比，找到了进一步改进设计的空间，同时在单学科可行方向法（Individual Discipline Feasible，简称IDF）的基础上提出两层分级框架（Bi-Level Hierarchic，简称BLH），将其应用于自治水下潜水器（Autonomous Underwater Vehicle，简称AUV）的总体设计；赵敏等[13]采用两级集成系统协同优化（Bi-Level Integrated System Collaborative Optimization，简称BLISCO）对载人潜水器（Human Occupied Vehicle，简称HOV）进行了总体概念设计；武汉理工大学冯佰威等[14]概述了舰船多学科综合优化设计计算环境特征，进而对船体型线多学科优化进行深入的研究。

作为多学科设计优化研究领域的核心，MDO算法旨在提出有效的设计计算框架，将复杂的工程问题解耦以减轻MDO的计算复杂性与组织复杂性，进而实现并行优化设计。随着MDO的发展，涌现出诸如多学科可行方向法（Multidisciplinary Feasible Method，简称MDF）、并行子空间优化算法（Concurrent Subspace Optimization，简称CSSO）、协同优化算法（Collaborate Optimization，简称CO）、两级集成系统综合（Bi-level Integrated System Synthesis，简称BLISS）等优化策略。其中1994年斯坦福大学教授Kroo等[2]提出的协同优化算法由于具有良好的学科自治性和并行处理能力，一直被认为是多学科优化中最具前途的优化算法，吸引了国内外不少学者将其应用于火箭、卫星、电动汽车、鱼雷、涡轮机及船体结构的设计[15-22]。

虽然CO在工程应用领域得到了广泛的应用，但CO的收敛性并没有得到严格的数学证明。同时，在实际运用过程中CO表现出计算方面的困难。NASA在对IDF、MDF、及CO的收敛性能进行测试与评估的过程中，发现CO对于解决齿轮减速箱、电器封装、丙烷燃烧等十大测试实例存在计算成本大、对初始点敏感甚至无法收敛等缺陷[23]。针对CO方法的不足，国内外学者在继承CO两级优化框架的基础上致力于提高CO的数值稳定性。研究工作主要包含三个方面：一是采用近似技术建立系统级约束的代理模型来降低计算成本和光滑数值噪声。如响应面近似模型[24]、径向基神经网络模型[25]、Kriging模型[26]；二是采用具有优秀全局搜索能力的现代智能算法，如遗传算法[27]和粒子群算法[6]取代系统级中基于梯度的优化算法。三是采用松弛因子[28-29]，将系统级一致性等式约束变换为不等式约束，以降低优化迭代难度，提高总体收敛效率。

本文从几何角度分析了系统级优化迭代过程，提出了一种基于一致性差异信息的动态罚函数协同优化算法（Dynamic Penalty Collaborative Optimization,简称DPCO），并应用经典的MDO测试函数验证了其有效性。最后，将其应用于35000DWT原油船航行性能多学科优化以体现其工程实用性。

1 多学科协同优化算法

1.1 协同优化算法的数学描述及求解流程

协同优化算法是1994年斯坦福大学教授Kroo等针对单级优化方法在解决大型复杂系统工程时出现的低效率和大计算量问题，提出来的具有两级结构的多学科优化策略。CO将优化问题分为两级：一个系统级和并行的多个学科级。系统级的数学描述形式如下：

图1 标准CO流程Fig.1 Flow chart of traditional CO

1.2 协同优化计算困难的原因

协同优化算法中系统级独特的一致性等式约束条件形式被认为是造成其收敛缺陷的直接原因[29]。具体分析如下：

（1）在最优解处，系统级解域不光滑。

Fiacco和McCormick认为非线性规划最优解域光滑的非退化条件是一阶充分条件、线性独立约束条件和严格互补性条件。CO系统级L-2范数严格一致性等式约束在最优解处不可导，无法满足非退化条件，基于梯度的优化方法无法保证解的收敛性。

（2）系统级约束在最优处矩阵为奇异矩阵，导致系统级优化的Kuhn-Tucker条件无法满足。

系统级Kuhn-Tucker为：

（3）对于实际的复杂MDO问题，子学科数目往往多于系统级共享变量数目，使得系统级约束条件数大于系统级共享变量数，极大地限制了系统级优化的自由度。同时，系统级一致性约束与系统级目标直接关联性不强，难以确定系统级的有效集。

2 改进的协同优化算法

2.1 改进协同优化算法的结构

前文分析了造成CO优化困难的主要原因是其系统级一致性约束表述，如果能够将系统级一致性约束最优化问题转化为一个无约束优化问题，则系统级优化将不存在上述计算困难，这将是非常有利的。本文的方法正是基于这种设想提出来的。它的思路是：在原系统级优化问题的目标函数中，引入某些反映约束影响的附加项，构成一个新的无约束最优化问题的目标函数，通过合理选择附加项，可以使这个新目标函数的无约束最优点序列收敛到原问题的最优点。

原系统级优化问题为：

现转化为下述无约束优化问题：

式中：f（ z）为原设计问题的目标函数；s为在目标函数和约束影响项之间起加权作用的参数，称为罚系数；λ为惩罚放大因子；为一致性约束条件。由上式可知，当探求点zk位于非可行区域时，即约束条件不满足时，s取值越大，f（ z,s）就越大，因此对于不满足约束是一种“惩罚”。反之，当探求点zk位于可行区域时，不论s取何值，附加项均为0，f（ z,s）取得与f（ z）相当的值，也就是说约束条件满足时不受“惩罚”。

系统级一致性约束的目的即是满足一致性约束条件下系统级目标最优，因此合理选取罚系数，对优化收敛性能起决定性的作用。罚系数取值过大，一致性约束在总的目标函数中占有比重较大，一致性较易得到满足，但目标函数减少缓慢；反之，罚系数取值过小，原目标函数在总的目标函数中占有比重上升，目标函数迅速减少，但“惩罚”作用不明显易导致一致性差异过大。所以，固定的罚系数不适合此问题的求解。本文基于系统级迭代过程的几何分析，给出了两种不同的基于差异信息的动态可调罚系数。

（1）学科设计点之间的差异性：

以两学科一维设计问题为例，系统级在第k次迭代所得优化解为zk，并将zk传递给学科1和学科2，学科级的优化目标为学科级设计变量与zk的距离最短，则必位于gi之上，且满足与gi在处的切线垂直。如图2所示，用r为半径的圆表示下一个系统级优化设计点zk+1与学科级间的允许最大差异性范围。两圆相交部分即为系统级可行解域。随着优化过程的进行，r逐渐变小，直至重合。若定义，i=1,2,…n，j=1,2,…n，则优化整个过程中，s总能动态反应一致性差异信息。

（2）系统级与学科设计点之间的差异性：

同样以两学科一维设计问题为例，图3所示为第k次迭代所得优化解为zk与学科级的差异示意图。随着优化迭代的进行不断向zk靠拢直至重合，即若定义s=max（ xi-z）2，i=1,2,…n，则优化整个过程中，s总能动态反应一致性差异信息。

通过上述两种一致性差异信息s构造罚系数能保证系统级目标函数逐步逼近最优解。在优化初期，系统级设计变量与学科级共享变量相差较大，即一致性差异过大时，惩罚力度也大，一致性差异在总目标函数中占主导地位，促使一致性差异将迅速下降，随着优化的进行，罚系数下降，惩罚力度减轻，目标函数的收敛加快。

图2 学科间一致性差异的几何示意Fig.2 Geometrical description of discrepancy information between disciplines

图3 系统级与学科间一致性差异的几何示意Fig.3 Geometrical description of discrepancy information between system and disciplines

2.2 算例分析

典型函数优化问题，其数学模型为[30]：

按照协同优化的思想，将该优化问题分为一个系统级和两个学科级。协同优化算法的系统级数学优化模型如下：

式中：z1，z2为系统级设计变量为系统级一致性约束。

（2）子学科1的优化模型：

（3）子学科2的优化模型：

采用DPCO算法对系统级表述形式进行改进，改进后的系统级优化模型：

子系统级优化数学模型表述不变。

由文献[30]可知，当β=0.1时，优化问题的理论最优解x*为（0.198，1.980），目标函数f*为3.960。为检验本文方法的收敛性，取三组不同初始点，选取标准CO、文献[29]提出的松弛CO和文献[31]改进的CO进行比较研究。四种优化方法系统级和子系统级都采用序列二次规划法（NLPQL），优化结果如表1所示。

表1 优化结果比较Tab.1 Comparison of the optimization results

由表1可以看出，针对3个不同的初始点，DPCO总能收敛至理论最优解附近，即收敛鲁棒性较好。其他三种方法在优化迭代过程中存在一定的计算困难，难以确保优化结果收敛。

3 船舶航行性能多学科协同优化模型与求解

本文讨论一艘载重量35000DWT油船，主机选用一台MAN6S42MC7，常用功率5 076 kW/110 r/min，球艏中心至龙骨高度hb=4 m，附体湿表面积SAPP=50 m2，球艏横截面积ABT=20 m2，船艉横截面积AT=16 m2，海水温度15°，采用AU型4叶螺旋桨，单桨，敞水式尾部，矩形舵板。

3.1 学科分析

根据总体概念设计流程，按照多学科协同优化设计思路，将散货船概念设计分为以船舶造价为系统控制层协调浮性与稳性、舱容性、快速性（阻力和推进）和操纵性四个子学科级，如图4所示。

多学科协同优化具体描述如下：

图4 船舶概念设计多学科协同优化结构框架Fig.4 Frame of conceptual design of ship in CO

（1）系统级优化问题：其中船舶造价采用分项估价法，将船舶分成船体钢料Ws、舾装设备Wo和机电设备Wm三大项。分项的价格均根据其重量乘以每吨价格估算。由此可以写出船价估算公式：

式中：rs，ro，rm为船体钢料，舾装，机电设备每吨的价格。本文取rs=0.5万元/t，ro=0.8万元/t，rm=1.5万元/t。（2）学科1浮性与稳性子学科优化问题：式中第一个约束表示重量W和排水量Δ相等，考虑船舶初步设计阶段误差，在实际优化过程中，控制两者的相对误差ε在5%以内。即其中W由空船重量W和载重量DWT两个部分组

L成，空船重量WL按照船体钢料Ws、舾装设备Wo和机电设备Wm计算：a.船体钢料的重量估算

b.舾装重量估算

c.机电设备重量估算

式中：P为主机额定功率（kW）。

（3）学科2舱容性子学科优化问题：

式中：Vtk为货油舱能提供的容积（m3）；VD为货油区能提供的总容积（m3）；Vcn为货油所需容积（m3）；Vbn为压载舱所需容积（m3）。其中大型油船压载水舱容积Vbn为30%DW-40%DW。

（4）学科3快速性子学科优化问题：

式中第一个约束为螺旋桨推力平衡约束，其中RT为船舶总阻力，采用Holtrop阻力公式估算[32]：

n为转速；t为推力减额分数，对于单桨船，采用霍尔特洛泼公式：

KT为推力系数，采用上海交通大学AU型螺旋桨经验回归公式[32]

第二个约束为螺旋桨转矩平衡约束，约束中的KQ为扭矩系数。采用上海交通大学AU型螺旋桨经验回归公式[33]：

在实际优化过程中将上述两个等式约束同重力浮力等式一样做松弛处理。

第三个约束为螺旋桨空泡约束条件。对于单桨船，K=0.2，Tp为螺旋桨推力，Tp=RT/（1-t）。Z为螺旋桨桨叶数。po+ρgh为桨轴线处静水压力。pv为水的汽化压力。

（5）学科4操纵性子学科优化问题：

约束式中第一个约束中C′为直线稳定性衡准数。由下式计算：

式中：Nv′、Nr′、Yv′、Yr′为无因次力矩系数和水动力系数；m′和λ11′为船体质量和附加质量的无因次系数。

附加质量系数采用回归公式：

表2 设计变量及目标优化结果Tab.2 Results of optimum

第二个约束中D′为相对回转直径，对于敞水式尾部，相对回转直径的计算采用Lyster和Knights的回归公式[34]：

式中：δ为舵角，Ab为艏部浸湿面积，Trim为船舶纵倾。

3.2 优化结果分析

为了验证本方法的有效性，对全系统采用整体集成的单学科优化思路求解，优化算法采用序列二次优化算法，优化结果列于表4中。传统CO因协同失败而未列出优化结果。由对比结果可以看出，DPCO与传统优化方法所求得结果基本一致，表明本文方法适用于船舶性能综合优化问题。

4 结 论

（1）协同优化算法作为多学科优化设计优化中应用最广泛的求解策略，针对标准协同优化算法的不足，通过引入两种能反映学科与系统级间差异信息的动态因子，将系统级有约束优化问题转化为无约束动态惩罚数优化，通过两个经典测试算例验证了该方法能有效改善标准协同优化的优化性能。

（2）以油船总体性能优化设计为例，综合考虑船舶航行性能和经济建造性之间的耦合关系，建立概念设计阶段的多学科协同优化框架。以改进的协同优化方法为求解策略，有效地避免了传统协同优化在求解此复杂系统优化问题无法收敛的缺陷，得到了稳定、可靠的优化解，对处理船舶多学科优化问题并行计算和分工协作提供了有价值的解决方法。

（3）在实际工程运用中，学科分析可以引入各类先进的数值仿真软件来提高设计精度。然后，利用近似技术（响应面近似技术、Kriging模型和径向基函数模型）将高精度分析结果引入到多学科优化过程中进行迭代分析，这样可以获得更加合理准确的设计方法。

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Application of improved multi-discipline collaborative optimization in ship conceptual design based on dynamic penalty factors

ZHOU Qi1,2,JIANG Ping2,XU Hui2,CHEN Li2,HUANG Wei-gang2
(1.School of Mechanical Science and Engineering,Huazhong University of Science&Technology, Wuhan 430074,China;2.China Ship Development and Design Center,Wuhan 430064,China)

Facing the shortcomings of traditional collaborative optimization,such as time-consuming,being sensitive to the initial points and not converging.An improved collaborative optimization is presented and then is applied to ship conceptual design.The main feature of the proposed method is converting systemlevel consistency constrained optimization problem to an unconstrained optimization problem based on penalty function.To ensure the efficiency of the proposed method,two types of dynamically adjustable penalty factors which always reflect the different information are presented.The effects of dynamically adjustable penalty factors are reflected in the optimization process.In the early stage,the larger the difference between the system-level design variables and discipline shared variables is,the larger the punishment is.So that the consistency difference would dominate the overall objective function and prompt the consistency differences decline rapidly.As the process of optimization,dynamically adjustable penalty factors decreased,the convergence of the objective function would be accelerated.Comparing with the traditional collaborative optimization and other typical improved methods via a numerical example,the better convergence,stability andreliability of the presented collaborative optimization are demonstrated.Finally,this improved collaborative optimization is used to solve an oil tank conceptual design optimization problem that with a cost system and four performance sub-disciplines and a satisfied optimization result is also achieved.

multi-discipline design;collaborative optimization;penalty factor;discrepancy information; conceptual design of ship

U662 TP301.6

：A

10.3969/j.issn.1007-7294.2016.10.007

1007-7294（2016）10-1269-12

2016-03-20

国家青年科学基金项目（51505163）；国防基础科研重点项目（A0820110001）

周 奇（1990-），男，硕士；蒋 平（1981-），男，副教授，通讯作者，E-mail:chuanbo701@126.com。