试卷讲评课：有的放矢与变式跟进

☉江苏省南通市通州区新联中学　赵　霞



试卷讲评课：有的放矢与变式跟进

☉江苏省南通市通州区新联中学赵霞

应该承认，在目前教学现实下，试卷讲评课是广大一线教师经常要上的一种常态课，虽然也偶见一些研究文章，但并没有得到应有的关注和研究.特别是从已发表的一些文献来看，大家普遍关注的是错题如何纠错，难题如何突破等.但对试题讲评过程中如何突出重点，切实做到有的放矢，并在讲评之后对错误率高的试题给出变式再练，显然是提高试卷讲评教学效率的关键所在.本文以最近一次模考试题的讲评为例，给出相关较难试题的讲评过程，并附对该题的变式跟进，供研讨.

一、模考试卷讲评叙事

由于全卷一共有3道试题有一定难度，批阅时发现也是学生出错率较高的，所以试卷讲评时我们把重点定位在这3道试题上，请看讲评记录.

A.1 B.2 C.3 D.4

图1

图2

图3

讲评记录：解这道题的关键是证明“S是PB的中点”，提供两种思路启发学生思考.

第一种思路：如图2，在BC上取一点T，使CT=BS，可证△OCT≌△OBS，从而得出OT⊥OS，OT=OS；进一步，在△ACQ中，发现OT∥AQ，OA=OC，所以T为CQ的中点；再证得△OCQ≌△OBP，从而得S为BP的中点.

第二种思路：如图3，过点B作BG∥OP，交OS的延长线于点G.先证△OBG≌△AOQ，从而得BG=OQ=OP；再证△OPS≌△GBS，即可得S为PB的中点.

变式再练：如图4，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AC的中点，M、N分别在AC、BC（M、N与A、B、C都不重合），DM⊥DN，DP⊥BM交BC于P.

图4

（1）求证：DM=DN；

（2）线段DP、BM能否互相垂直平分？（直接回答）

（3）在AC上取一点Q，使AQ=CP，连接DQ，试分析DQ 与DP的数量和位置关系，并说明理由；

（4）在（3）的条件下，求证：DQ∥BM；

（5）求证：点P为CN的中点.

考题2：（第18题）如图5，在△ABC中，AD是角平分线，DF⊥AB 于F，DM⊥AC于M，AF=10cm，AC= 14cm.动点E以2cm/s的速度从点A向点B运动，动点G以1cm/s的速度从点C向点A运动，当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动.当运动时间为s时，△DFE与△DMG全等.

图5

讲评记录：先分析出△ADF≌ADM，有AF=AM，于是CM=4cm，这时设运动时间为ts，可以用含t的式子表示如图5所示的EF=10-2t，MG=4-t，根据△DFE与△DMG全等可列出关于t的方程，解出t；接下来还需要考虑点E、G随着运动时间的变化，它们的位置可能会有不同的情形，如果这样开展多种可能的分类讨论，当然也能获得问题解决，然而能否找到更为简洁、统一的方法呢？回答是肯定的，这就是把EF的长用|10-2t|表示，MG用|4-t|表示，从而得到|10-2t|=|4-t|，再转化为两种可能的方程：10-2t=4-t或10-2t+4-t=0，问题获解.

(2)基准指代,与环境要素中的基准指代相似,是以先行要素为基准时间来确定照应要素的具体时间,例如“27日傍晚6时左右”←“随后”.

变式再练：如图5，在△ABC中，AD是角平分线，DF⊥AB于F，DM⊥AC于M，AF=10cm，AC=14cm.动点E 以2cm/s的速度从点A向B点运动，动点G以1cm/s的速度从点C向点A运动，当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动.

（1）求证：AF=AM；

（2）设运动时间为ts，小明认为：当t=2时，△DFE与△DMG全等，你觉得呢？请说明理由.

（3）当△DFE与△DMG全等时，求运动时间t.

考题3：（第26题）如图6，在平面直角坐标系中，已知两点A（m，0）、B（0，n）（n>m>0），点C在第一象限，AB⊥BC，BC=BA，点P在线段OB上，OP=OA，AP的延长线与CB的延长线交于点M，AB与CP交于点N.

（1）点C的坐标为：_________（用含m、n的式子表示）；

（2）求证：BM=BN；

（3）设点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G，求证：D、G关于x轴对称.

图6

图7

讲评记录：如图7，过点C向y轴引垂线段CH，可证△BCH≌ABO，从而得CH=OB=n，BH=OA=m.于是点C的坐标为（n，m+n）.在此基础上发现CH=PH，从而得到等腰直角三角形PCH，于是∠HPC=∠APO=45°，于是∠CPA= 90°，从而易证△BCN≌BAM，第二问获得突破.第三问需要先构造图8，作出点D、G之后，作DE⊥y轴于E点，作GQ⊥y轴于Q点，易证DE= CH，GQ=CH，即点D、G的横坐标相等，还需要解决OE=OQ.比如设BH=BE=m，PE=n，分析出EO=m+n，OQ=m+n，从而问题获得突破.

图8

（1）点C的坐标为：_______（用含m、n的式子表示）；

（2）求∠BPC的度数；

（3）求证：BM=BN；

（4）判断CP与AM的位置关系，并说明理由；

（5）若∠BCP=22.5°，且CN=6时，求PM的长；

（6）当m=2、n=5时，设点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G，直接写出点D、G的坐标.

二、试卷讲评课的相关思考

上面我们再现了一份模考卷讲评记录及讲评之后对重点讲评考题通过变式之后跟进再练，追求了较好的订正效果.以下再围绕试卷讲评课，从怎样“有的放矢”、如何“变式跟进”两个角度给出相关思考.

1.批阅、分析试卷“在先”，有的放矢“在后”

当下组织考试一般都是限时、独立完成，学生答题情况反映了他本人在规定时间内的解题能力、应试策略等综合水平.这时教师需要在亲自批阅之后，深入分析学生的答题情况，特别是在条件许可情况下，要对不同学生的答卷情况进行有针对性的分析，提出精准的评估意见.比如精准指出学生出错的深层次原因，是数学知识或概念的缺漏，还是非智力因素造成的出错等.需要集中讲评的考题是在上述个性化分析之后综合考虑的，这也就是试卷讲评课时教学内容的精选，可见我们所谓的“有的放矢”并不是凭感觉，而是由前期阅卷、分析等获得的“大数据”决策下的专业取舍.

2.启发、追问讲评“在先”，变式再练“在后”

在确定需要集中讲评的考题之后，需要精心预设讲评的方式，特别是预设解题念头的启发（像上文题例中的讲评记录中所述及的，解题关键是什么，如何突破难点等），并提前制作好PPT，通过动画方式渐次呈现一些启发式的语句、追问的语句，促进学生在教师讲评时积极思考，把更多学生的思维卷入到这些难题讲评中来，而不是“教师只顾讲，听与不听是学生的事”.在预设讲评之后，精心编制变式再练，以供讲评之后学生理解之后，检测订正效果之用，值得注意的是，我们提倡编制的“变式再练”是在课前备课时一并考虑的，而不是试卷讲评之后再构思或设计变式练习，因为课前在预设“变式再练”时，也是教师对考题的深入理解，特别是对考题深层结构的深入思考.而这些深入思考的结果，都会在讲评、启发、追问时得到体现，根据笔者的实践经验，这对于提高讲评考题的效果是十分有益的.

参考文献：

1.章建跃.理解数学是教好数学的前提［J］.数学通报，2015（1）.

2.肖维松.回到概念：解题教学的一种取向——以2014年江苏泰州卷第25题教学为例［J］.中学数学教学参考（中），2014（7）.

3.罗增儒.数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2008.

4.【美】波利亚，著.怎样解题［M］.阎育苏，译.北京：科学出版社，1982.