计数原理“门诊部”

余永波●

云南省绥江县第一中学(657700)

计数原理“门诊部”

余永波●

云南省绥江县第一中学(657700)

数学老师开办了一个“病”题诊所,专门收治学习中的患病题,下面就分类加法计数原理和分步乘法计数原理中的常见疾病开出如下处方单,望同学们小心预防.

症状一、混淆概念

例1 一个包内有7本不同的小说书，另一个包内有5本不同的小说书，从这两个包内任取一本书的取法有( ).

A.7 种 B.5种 C.12种 D.35种

错解 共有7×5=35种不同取法，故选D.

分析:病因在于审题时，误认为所求的是从两个包内各取一本书的不同取法，从而错误选用分步乘法计数原理进行求解.

正解 事件是从两个包内任取一本书，完成这件事有两类办法，第一类有7种不同取法，第二类有5种不同取法，则共有7+5=12种不同取法，故选C.

例2 学校阅览室有多种不同的《考试指南报》若干张，其中必修1的5张，必修3的8张，必修5的10张，李老师想每个模块借阅1张报纸，则有____种不同借阅方法.

错解 共有5+8+10=23种不同借阅方法.

分析 病因在于审题时，误认为所求的是李老师想借阅1张报纸的不同方法，从而错误选用分类加法计数原理进行求解.

正解 事件是借阅3张报纸，且每个模块各借1张，完成这件事需要分3步，每一步的方法种数分别是5,8,10，故共有5×8×10=400种不同借阅方法.

注:若完成一件事情是有几类不同的方法，且每一种方法都能独立的完成这件事情，则用分类加法计数原理；若完成一件事情需要分成几个步骤，且每一个步骤都依次完成才能完成这件事情，则用分步乘法计数原理.

症状二、标准不一，分类重复

例3 某学校高三理科实验班周二上午安排语文、数学、英语、物理四门不同的学科，考虑到多种因素，第一节排数学或第四节排物理，那么一共有多少种不同的排法？

错解 由于第一节排数学或第四节排物理，所以需要分类处理.(1)第一类：数学排第一节，分三步完成，先排第二节，从语文、英语、物理中任选1科有3种不同方法，再排第三节，从剩余的两科中任选1科有两种不同方法，第四节只能排剩下的1科有1种方法，所以第一类共有3×2×1=6种不同排法；(2)第二类：物理排第四节，同理有3×2×1=6种不同排法.故根据分类加法计数原理，共有6+6=12种不同的排法.

分析 病因在于当数学排第一节时，可能物理排在第四节，此时有2种不同方法，同样当物理排第四节时，可能数学排在第一节，此时也有2种不同方法，但是它们是相同的.所以本题的解法中没有注意到这样分类出现的重复排法，故应减去2种方法.

正解 方法1 由诊断可知共有6+6-2=10种不同的排法.

方法2 由于第一节排数学或第四节排物理，所以需要分类处理.(1)第一类：数学排第一节、物理排第四节,分两步完成，先排第二节，从语文、英语中任选1科有2种不同方法，第三节只能排剩下的1科有1种方法，所以第一类共有2×1=2种不同排法；(2)第二类：数学排第一节、物理不排第四节,分三步完成，先排第四节，从语文、英语中任选1科有2种不同方法，再排第二节，从剩下的2科中任选1科有2种不同方法，第三节只能排剩下的1科有1种方法，所以第二类共有2×2×1=4种不同排法；(3)第三类：数学不排第一节、物理排第四节,同(2)类似，共有2×2×1=4种不同排法.故根据分类加法计数原理，共有2+4+4=10种不同的排法.

注:使用分类加法计数原理解题时，要注意检验分类标准，要做到分类正确，且不重不漏，即每一类的交集是空集，所有类的并集是全集.

症状三、选错元素，混淆分步

例4 4名同学报名参加数学、物理、化学学科竞赛，若要求每科竞赛必须有1人且只能有1人参加，问有多少种不同的报名方法？

错解 第1名同学可以从数学、物理、化学中任选1科报名，共有3种不同的方法.同理第2、第3、第4名同学的报名方法各有3种不同的方法，所以由分步乘法计数原理共有3×3×3×3=34种不同的报名方法.

分析 病因在于对于完成报名这件事选错了元素，分步错误，因为假如4名同学都选数学学科报名，4步都做完，但是不满足条件每科竞赛必须有1人参加.

正解 完成事件“数学、物理、化学竞赛必须有一人且只能有1人参加”，故元素“学科”必须用完，元素“同学”可以重复，则应以元素“学科”为主分步完成，数学、物理、化学分别有4种选择，由分步乘法计数原理知共有4×4×4=43种不同的报名方法.

注:对于一类元素可以重复选取的计数问题，需认真理解题意，弄清事件，弄清哪类元素必须用完，弄清哪类元素可以重复使用，就以必须用完的元素为主进行分步完成事件，再用分步乘法计数原理来求解.

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