带隔板的矩形截面渡槽内液体的晃动特性

房忠洁， 周　叮， 王佳栋， 刘伟庆

(南京工业大学 土木工程学院，南京　211816)



带隔板的矩形截面渡槽内液体的晃动特性

房忠洁， 周叮， 王佳栋， 刘伟庆

(南京工业大学 土木工程学院，南京211816)

摘要：研究带有刚性隔板的矩形截面渡槽中液体的微幅线性晃动特性。将因隔板而导致的复杂液体域分割为若干个形状简单且边界条件均一的子域，分别研究各子域内液体运动的势函数。利用叠加原理和分离变量法，导出每个子域内液体速度势的一般解。根据液体子域界面处速度和压力的连续条件以及自由液面处的表面波条件，得到含有待定系数的级数方程。对方程作Fourier展开，即可求得液体的固有晃动频率和振型函数。

关键词：刚性隔板；矩形截面；液体子域；广义特征值；固有频率；振型函数

渡槽是我国南水北调工程的重要渠系建筑物，在地震作用下，渡槽内液体的晃动会对槽体结构造成严重的破坏。在我国，大多渡槽地跨地震高发的华北、西北地区，因此研究渡槽结构的晃动特性十分必要。工程中，常用防晃板来抑制液体的晃动[1]，因此研究带有隔板的渡槽的晃动特性具有重要的实际意义。

研究渡槽的晃动特性的方法通常有三种[2]：①Housner[3]提出的弹簧质量模型，特点是物理概念明确且模型简单，但槽身刚度较低时结果偏小，低估了水体的晃动效应；②Westergaard[4]提出的附加质量模型，计算简单方便且应用广泛，但忽略了流体的晃动作用；③边界元法[5]和有限元法[6]，能充分考虑流体的运动特征，适用于求解复杂域内流体的晃动问题，但对网格运动算法有较高要求且计算量大。黄磊等[7]基于线性势流理论，采用Galerkin展开求解自振频率和速度势函数，得到二维月池固有频率和振型的半解析解，但到目前为止，还没有人采用解析法来研究带有隔板的渡槽晃动特性问题。本文采用流体子域法[8-9]，假设液体为理想流体、自由表面做线性微幅晃动，在隔板与渡槽均为刚性的条件下，将带有隔板的矩形截面渡槽中的液体分为四个子域，利用叠加原理和分离变量法，分别求解每个子域内液体的势函数，然后将其带入子域交界面及自由表面处的边界条件确定未知系数，使问题得到解决。

1基本方程

将渡槽简化成如图1所示的无限长矩形储液槽，设隔板、槽壁、槽底均为刚体，槽内部分充有无粘、无旋、不可压缩的理想流体。储液槽的宽为B，自由液面的高度为H，隔板长度为a，隔板的高度为h，忽略隔板的厚度。如图2所示，将液体分割成四个子域：Ωj(j=1,2,3,4)。设液体子域Ωj的速度势函数为φj(x,z,t)，根据流体动力学的理论，理想流体的速度势函数应满足以下Laplace方程[10]：

(1)

Ωj中任一点处的速度为：

(2)

由于槽体、隔板均为刚性，且液体表面做自由微幅晃动，则φj(x,z,t)(j=1,2,3,4)在槽体、隔板以及自由表面处的边界条件为：

(3)

(4)

(5)

图1 带刚性隔板的刚性矩形水槽截面Fig.1Rectangularrigidaqueductequippedwithabaffle图2 流体子域以及子域间的界面Fig.2Liquidsub-domainsandartificialinterfacesofthesystem

将子域Ω1与Ω2交界面记作Γ1，子域Ω3与Ω4交界面记作Γ2，子域Ω2与Ω4交界面记作Γ3，子域Ω3对应的自由液面记作S1，子域Ω4对应的自由液面记作S2。

根据相邻子域势函数在子域交界面上的压力连续条件得到：

(6)

(7)

2势函数求解

当液体自由晃动时且自由表面做微幅波动时，线性化后，液面上任一点的运动可以看作是简谐振动，显然其速度势也必是时间的简谐函数，可将速度势函数表达为[11]：

φj(x,z,t)=iωeiωtΦj(x,z)

(8)

将式(8)代入式(2)和(4)~(6)得到：

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

从式(10)~式(14)可以看出，振型函数Φj的控制方程为二阶线性偏微分方程，其边界条件亦均为线性，显而易见，可以利用叠加原理来求解Φj，每个子域的边界条件可以分为两类：齐次边界和非齐次边界。假设子域Ωj的非齐次边界条件个数为Kj，于是设

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

对于流体子域Ω2有：

(21)

对于流体子域Ω3有：

(22)

对于流体子域Ω4有：

(23)

为简化分析过程，引入下列无量纲参量：

(24)

利用分离变量法，可以求得液体各子域速度势的解：

(25)

(26)

(27)

Φ4(ξ,ζ)=A40+

(28)

(29)

式中：系数矩阵[D]、[K]和待定系数{A}可写成如下形式

3收敛性和比较研究

隔板长度与储液槽内液体的高度比分别为：β1=a/H=0.3,0.7。储液槽的宽度与储液槽内液体高度比为：β=B/H=1。取两个不同的隔板位置：α=h/H=0.6,0.8，考察10个不同的级数截断项数：7~16，计算前六阶的晃动频率。

表1　隔板位置α=h/H=0.6时，的收敛性

表2　隔板位置α=h/H=0.8时，的收敛性

表3　本文方法求得的与无隔板矩形截面

从表3中的数据可以看出本文得到的解与无隔板矩形储液槽的解析解非常接近，从而证明了本文方法的正确性和高精度。

4参数研究

将求得的系数{A}代入式(25)~(28)，得到速度势函数的振型Φj，将z=H代入Φ3和Φ4即得自由液面的振型函数Fn(n为对应频率的阶次)。分别取四种不同的隔板长度：β1=0.2,0.4,0.6,0.8和两个不同隔板位置：α=0.6,0.8，自由表面波高的前三阶振型如图5所示。从图中也可以看出，当隔板靠近自由液面时，隔板长度对晃动模态的影响增大。

隔板长度分别取β1=0.4,0.8，隔板位置取α=0.8，第一阶液体速度势模态的分布如图6所示。从图中可以看出隔板上下液体速度势的差别较大，说明隔板的存在对液体速度势的分布有较大影响，隔板越长，隔板上部液体的速度势越大。

图3　β1=0.2,0.4,0.6,0.8时，随α的变化曲线Fig.3 Sloshing frequencies (n=1,2)versus α for β1=0.2,0.4,0.6,0.8

图4　α=0.2,0.4,0.6,0.8时，随β1的变化曲线Fig.4 Sloshing frequencies (n=1,2)versus β1for α=0.2,0.4,0.6,0.8, respectively

图5　β1=0.2,0.4,0.6,0.8时的自由液面波高振型Fig.5 Wave height modes on the free surface forβ1=0.2,0.4,0.6,0.8, respectively

图6　β1=0.4,08时的液体速度势的分布Fig.6 The distribution of liquid velocity potential functions forβ1=0.4,0.8, respectively

5结论

本文研究了带隔板的矩形储液槽内液体的晃动特性，文中假设隔板与储液槽均为刚性，液体为理想流体。本文将流体划分为若干子域，保证子域的每个边界都有均一的边界条件，利用势函数叠加求得各子域振型函数的解析式，由边界条件和表面波方程导出频率方程。收敛性和比较研究证明了本文方法的正确性。

本文研究得到如下结论：隔板的存在总是降低液体的固有晃动频率，隔板越长，固有晃动频率越低；隔板越靠近自由液面，隔板长度对液体晃动固有频率和振型的影响越大。

参 考 文 献

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附录

Sloshing characteristics of liquid in a rectangular aqueduct with baffle

FANGZhong-jie,ZHOUDing,WANGJia-dong,LIUWei-qing

(College of Civil Engineering, Nanjing Tech University, Nanjing 211816, China)

Abstract:The small amplitude sloshing of an ideal fluid in a rectangular rigid aqueduct with a rigid baffle was studied. The complicated fluid domain caused by the baffle was divided into several sub-domains with simple shape and uniform boundary conditions. The velocity potential functions corresponding to each fluid sub-domain were studied. The general expressions for the modal shape functions of sub-domains were analytically deduced by using the method of separation of variables based on the superposition principle. According to the continuous conditions of velocity and pressure at the interface between two sub-domains and the free fluid surface wave conditions, the unknown coefficients in the velocity potential solutions were uniquely obtained. The natural sloshing frequencies and modal functions were numerically determined by using the Fourier series expansion.

Key words:rigid baffle; rectangular aqueduct; fluid sub-domain; generalized eigenvalue; natural frequency; modal shape function

中图分类号:TU352

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.03.027

通信作者周叮 男，博士，教授，1957年5月生

收稿日期：2014-11-17修改稿收到日期：2015-02-10

基金项目：国家自然科学基金(11172123)

第一作者 房忠洁 女，硕士生，1990年7月生