基于概率-凸集混合模型的汽车正面碰撞结构可靠性优化设计

李方义, 荣见华, 胡　林, 李凤玲， 易继军

(1. 长沙理工大学 桥梁工程安全控制省部共建教育部重点实验室，长沙　410114； 2. 汽车运输安全保障技术交通行业重点实验室，西安　710064；3. 长沙理工大学 工程车辆安全性设计与可靠性技术湖南省重点实验室，长沙　410114)



基于概率-凸集混合模型的汽车正面碰撞结构可靠性优化设计

李方义1,2, 荣见华3, 胡林3, 李凤玲3， 易继军3

(1. 长沙理工大学 桥梁工程安全控制省部共建教育部重点实验室，长沙410114； 2. 汽车运输安全保障技术交通行业重点实验室，西安710064；3. 长沙理工大学 工程车辆安全性设计与可靠性技术湖南省重点实验室，长沙410114)

摘要：基于概率和凸集模型研究汽车正面碰撞可靠性优化设计问题。根据汽车吸能结构厚度、材料参数等不确定参数类型，分别采用概率和多椭球凸模型进行描述，以汽车安全性可靠性指标为约束，考虑汽车吸能结构质量为优化目标，建立混合模型可靠性优化设计模型。采用拉丁方试验设计构造目标函数和约束函数的Kriging近似模型，利用功能度量法评定概率约束，通过基于移动因子序列优化与可靠性评定将嵌套优化解耦为单层次优化。实际算例表明算法具有较高的计算效率及精度，对实际设计工作有一定参考价值。

关键词：概率；凸模型；混合模型；序列优化与可靠性评定；优化

目前，安全性设计已成为现代汽车工业领域的研究热点，因此，考虑结构优化设计提高汽车碰撞安全性已经进行了广泛研究[1-2]。然而在产品设计、制造过程中，存在大量的不确定性，如几何尺寸、材料属性、载荷和边界条件等。这些不确定因素将影响汽车碰撞安全性，使得设计响应超出设计约束，导致设计可靠性大大降低[3]。故对汽车碰撞安全进行可靠性优化设计很有必要。

传统的可靠性优化设计以概率模型建模不确定性，需要知道不确定参数的精确概率分布。但对于复杂工程问题往往很难获得构建不确定参数精确概率分布所需的大量样本信息。在许多情况下，相对于精确概率分布信息，参数不确定性的幅度和界限更容易获得，我们称为未知但有界参数，这种不确定性适合用非概率凸模型来描述。目前基于凸模型的结构可靠性分析和设计得到学者的广泛关注[4-6]。

许多实际工程应用中，常常碰到这样的情况:一部分不确定参数信息量足够，适合采用概率模型描述；另一部不确定量由于缺乏足够的样本信息而仅知其扰动界限，适合采用非概率凸模型参数描述。因此，研究概率模型-凸模型混合可靠性分析与设计具有重要的实际工程意义[7-8]。

近年来，国内外学者研究随机参数与区间并存的结构可靠性评估问题。如区间分析方法[9]、两级功能函数[10]等。目前，混合模型可靠性优化设计仍处于起步阶段，部分学者研究此类优化问题。程远胜等[11]提出了在概率不确定性和非概率不确定性同时存在时的约束函数鲁棒性和目标函数鲁棒性的实现策略及结构鲁棒设计方法。Du等[12]提出了一种处理区间和概率混合情况的最不利可靠性优化方法。上述文献主要研究随机变量和区间变量共存的问题，但区间只是凸模型的特例之一。随后，亢战和罗阳军等[13]提出一种处理概率模型与多椭球模型混合情况下的结构可靠性优化设计方法，采用线性近似方法减少计算量，其研究是基于单循环策略来求解混合模型可靠性优化问题。Du 和Chen[14]提出另外一种解耦方法—序列优化与可靠性评定方法(Sequential Optimization and Reliability Assesment,SORA)，将优化与可靠性分析进行解耦分离，极大减少了计算量。因此，将该方法引入到概率模型与多椭球模型的混合可靠性优化问题中，开发一种适合于此类问题的高效解耦算法显得尤为必要。

本文基于移动向量的序列优化与可靠性评定方法研究汽车正面碰撞混合不确定可靠性优化设计问题。利用概率-凸模型混合模型描述汽车正面碰撞中不确定参数；以概率模型描述汽车碰撞主要吸能结构厚度；材料属于参数由于缺乏足够样本数据，采用多椭球凸模型对其进行描述。以混合模型可靠度指标为约束，建立混合模型的汽车正面碰撞安全可靠性优化设计模型。采用序列与可靠性评定方法求解该模型，将多重可靠性优化转化为序列优化环，每一环中包含一次优化问题和一次可靠性分析，将嵌套优化问题简化为一系列确定性优化问题求解，从而提高了汽车碰撞安全可靠性优化设计效率。

1混合模型的可靠性优化设计

1.1混合模型描述

采用概率模型描述随机变量y={y1,y2,…,ym}T，采用如下形式描述其概率特征分布，

y～{pj(yj),j=1,2,…,m}

(1)

式中：pj(yj)为随机变量yj的概率密度函数。

分析计算时，需将随机变量标准化，即

Fyj(yj)=Φ(uj)

(2)

式中，Fyj(yj)为随机变量yj的累积分布函数，Φ(·)为标准正态累积分布函数。

随机变量标准化也可表示为

u=T(y)或y=T-1(u)

(3)

对于有界变量x={x1,x2,…,xe}T，采用多椭球凸模型来描述[5]，即

i=1,2,…,e}

(4)

根据文献[12]，将多维椭球进行标准化，首先对Wi进行特征值分解

QTiWiQi=Λi

(5)

式中QTiQi=I，Λ为特征值组成的对角矩阵。

引入向量

(6)

代入式(4)中，原多椭球转换为单位多椭球

(7)

1.2基于混合模型的概率功能度量求解

结构所处的状态由极限函数(功能函数)G(y,x)来表示。G(y,x)>0表示结构满足功能要求。通过上述对不确定参数进行标准变换后，原极限函数G(y,x)映射为其标准化形式g(u,q)。

根据文献[12]，采用功能度量法，建立如下优化问题求解最小功能目标点。

s.t.　

(8)

式中：βt为预先给定的可靠性指标目标值。本文采用序列二次规划算法[15]进行求解。

1.3混合模型可靠性优化设计

在满足可靠性指标的前提下，建立如下混合模型的可靠性优化数学模型

findd,μy

s.t.β[Gj(d,y,x)]≥βt,j(j=1,2,…,N)

(9)

s.t.αj(d)≥0(j=1,2,…,N)

(10)

式中：αj(d)为目标功能值, 其计算如下

(11)

式(10)和(11)表示混合可靠性优化为一嵌套优化问题。针对复杂结构优化问题，两层嵌套求解难度大，计算效率低。

根据文献[12]，假设经过第k次优化迭代，在最优解处，运用Karush-Kuhn-Tucker条件，可以得到第k+1次不确定变量的最优解迭代更新公式，如下

(u(k+1)T,q(k+1)T)=

(12)

式中，Gu和Gq为功能函数的偏导数。

1.4序列优化与可靠性评定方法及求解流程

本文基于文献[14]将序列优化与可靠性评定方法(SORA)引入到混合可靠性优化设计问题中。基本思想是通过将近似概率约束转化为近似等价的确定性约束，将优化与可靠性分析两个过程进行解耦，先执行确定性优化，再执行可靠性分析。公式如下：

findd,μy

where

(13)

在初中数学课程标准中，要求学生能够通过对数学这门课程的深入学习，将所学知识应用在生活中。这就需要教师在教学中注重生活化。这样不仅能够进一步提高学生学习这门课程的积极性和主动性，还极大的提高其对问题的分析能力和解决能力。

基于序列优化与可靠评定方法的流程图如图1所示。每一循环包含两部分，首先是进行确定性的优化设计，然后进行可靠性的评定。在每一步循环中，首先将上一循环中获得的近似最小功能目标点yMPTP和最不利点x*替代确定性优化中的相关变量，进行确定优化，得到新的设计点。然后进行可靠性评定，用当前的近似最小功能目标点yMPTP和最不利点x*重新规划约束，并根据移动向量移动约束函数边界，以确保在可行域内进行接下来的确定性优化设计。重复循环步骤直到目标函数收敛且满足可靠度要求。

图1　流程图Fig.1 Flow chart

2测试函数

参考文献[16]，考虑如下混合可靠性优化问题：

find[μ1,μ2]T

minf=(μ1+3)2+(μ2+3)2

s.t.β(G1(y,x))≥3.0

β(G2(y,x))≥3.0

1 ≤μ1≤10, 0.01≤μ2≤10

where

G1(y,x)=y1(y2+x1)-x2

(14)

设计变量初值均取为μ1=μ2=(2,2)，计算结果如表1所示。由表可知，相对于两层优化，本文调用功能函数42次，双层循环调用功能函数558次，计算结果表明本文方法计算效率较高。表2给出了迭代过程，由表可知仅需6个循环，本文方法能迅速收敛于最优值。

表1　优化结果

表2　优化迭代过程

3汽车正面耐撞性可靠性优化设计

3.1问题描述

在整车结构安全设计中主要考虑使变形吸能部件在碰撞过程中最大可能吸收能量, 使得车体加速度峰值尽可能小, 从而达到保护乘员安全的目的[17]。因此，选取汽车车体前部关键吸能部件板料厚度为设计变量，如前纵梁、防火墙等，如图2所示。考虑整车轻量化，以吸能部件质量W作为设计目标。考虑碰撞安全性，以B柱加速度峰值GA和关键部件吸收能量GE为约束。

图2　设计变量 Fig.2 Design variables

由于板料制造精度以及冲压过程的影响，板材厚度存在波动性。工程实践中常用正态分布来描述板料厚度的分布情况[18]，因此，厚度作为概率型的随机变量，服从正态分布。在材料的实际生产中，材料的化学组成、热处理过程和制造过程等多方面的因素都会影响材料的特性，因此，材料特性是在一定的范围内波动[19]。选定图3所示部件材料的屈服应力作为未知但有界参数，假定其不确定性用一个超椭球描述，所有不确定量的性质列于表3中。

图3　材料不确定Fig.3 The material of considering uncertainty

故建立如下汽车安全的可靠性优化设计问题：

findμt1,μt2,μt3,μt4,μt5

minf(μt1,μt2,μt3,μt4,μt5)=W

s.t.β[GE(t1,t2,t3,t4,t5,σ1,σ2,σ3)≥42 kJ]≥βt,1

β[GA(t1,t2,t3,t4,t5,σ1,σ2,σ3)≤50 g]≥βt,2

0.5 mm≤μt1,μt2,μt3,μt4,μt5≤2.5 mm

(15)

表3　正面碰撞问题不确定变量描述

3.2有限元模型与Kriging模型

整车正面碰撞有限元模型如图4所示，该车有限元模型由196103个单元和200362个节点组成。在整车正面碰撞有限元仿真过程中，车辆以50 km/h的速度撞击固定刚性墙，整个系统的碰撞仿真过程在120 ms内完成，在4核CPU 2.40 GHz.2G内存的电子计算机上，采用商业软件LS-DYNA实施运算，单次碰撞仿真需耗时约2小时。图5展示了其中一种典型变形情况。

图4 正面碰撞的有限元模型Fig.4Finiteelementmodelofvehicle图5 正面碰撞变形结果Fig.5Thedeformationofthefullfrontalimpact

可靠度评估直接调用该有限元模型计算较耗时，因此，采用拉丁方采样构造目标函数和约束的Kriging

模型。Kriging 插值法在空间相关范围分析的基础上,用相关范围内的采样点来估计待插点属性值。在Kriging模型中，假定待求函数Y(x)的表达式如下

Y(x)=f(x)+Z(x)

(16)

式中，f(x)是关于x的已知函数(通常取为固定的常数)，Z(x)是一个高斯过程，f(x)提供模拟的全局近似，即Y(x)的数学期望。Z(x)用于估计f(x)的偏差以确保Kriging精确通过每个训练样本点，有关Kriging模型的构建方法见文献[20]。

3.3结果分析

吸能部件板料厚度t和材料参数σ同时作为输入变量，通过拉丁方采样生成65个样本点，利用LS-DYNA软件进行有限元分析得到样本点的响应值，部分样本点和响应值见表4。依据表4，构建目标函数与约束的Kriging模型，并通过多个验证点校核Kriging模型的精度。在此模型基础上进行混合可靠性优化设计。

表4　部分试验设计表

由表5可知，确定性优化结果得到吸能结构较轻，当存在不确定性参数时，整车吸收能量以及B柱加速度峰值的可靠性指标为负值，不满足可靠性要求。经过可靠性优化设计后，整车吸收能量以及B柱加速度峰值的可靠度指标为3.0，满足可靠性设计要求。图6给出了优化迭代历程，表明该算法具有良好的收敛性和稳定性。

表5　汽车正面碰撞的可靠性优化结果

图6　优化迭代历程Fig.6 Iteration history of optimization

4结论

本文基于概率-凸集模混合模型的可靠性优化方法研究了轿车正面耐撞性结构可靠性优化问题。采用基于移动因子的序列优化与可靠性评定方法对两层嵌套优化问题进行解耦，减少了计算量。通过测试函数和正面碰撞算例表明本文提出算法的正确性和有效性。本方法不仅可以应用到正面碰撞结构优化设计问题，还可以应用到侧面碰撞、偏置碰撞等优化设计问题，为整车安全性设计提供一种新的解决方案。

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Reliability-based optimization design of structure subjected to vehicle frontal impact based on probability-convex hybrid model

LIFang-yi1,2,RONGJian-hua3,HULin3,LIFeng-ling3,YIJi-jun3

(1. Key Laboratory for Safety Control of Bridge Engineering, Ministry of Education and Hunan Province,Changsha University of Science and Technology, Changsha 410114, China；2. Key Laboratory for Automotive Transportation Safety Enhancement Technology of the Ministry of Communication, PRC 710064, China;3. Hunan Province Key Laboratory of Safety Design and Reliability Technology for Engineering Vehicle,Changsha University of Science and Technology, Changsha 410114, China)

Abstract:In order to describe the different types of uncertainty parameters for the thickness and material parameters of absorbing energy structure, probability and convex set models were adopted. The reliability indices for vehicle frontal impact safety were chosen as the reliability constraints and the weight of absorbing energy structure was selected as the objective of optimization. Then, an optimization design of structures subjected to vehicle frontal impact was formulated. The Kriging models for obiective and constraint functions were constructed by using the method of Latin hypercube experiment design. A performance measure method was adopted to evaluate probabilistic constraints. The nested optimization was transformed into single-level optimization problem by using the sequential optimization and reliability assessment (SORA) based on shifting factors. Some practical examples show the efficiency and accuracy of the presented algorithm, which could supply some beneficial references to designers．

Key words:probability; convex model; hybrid model; sequential optimization and reliability assessment; optimization

中图分类号:U463.82;TH122

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.03.034

收稿日期：2014-08-07修改稿收到日期：2015-01-22

基金项目：国家自然科学基金(11302033;11372055;51408069);汽车运输安全保障技术交通行业重点实验室开放课题资助项目 (2014G1502013);湖南省教育厅科研项目(13C1033);长沙理工大学桥梁工程安全控制省部共建教育部重点实验室开放基金资助项目(12KB04)资助

第一作者 李方义 男，博士，副教授，1978年生