聚焦“基本数学活动经验”

顾继玲

（南京师范大学 教师教育学院，江苏 南京 210097）



聚焦“基本数学活动经验”

顾继玲

（南京师范大学 教师教育学院，江苏 南京 210097）

摘要：数学活动经验是经历数学活动过程沉淀下来的，因此数学活动经验的内容应从数学活动过程角度进行梳理．基本的数学活动经验主要是：在数学化的过程、问题解决的过程和反思的过程中所积累的数学活动经验．

关键词：过程；数学活动经验；数学化；问题解决；反思

《义务教育数学课程标准》（2011年版）将“双基”发展为“四基”，即“基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”．其实在《义务教育数学课程标准》（实验稿）中就已提及“数学活动经验”，认为数学知识包括数学事实、数学活动经验，将“数学活动经验”作为主观性知识纳入数学知识的范畴，但在《标准》（2011年版）中将“数学活动经验”明确地提出来，并和其它3个方面并列为数学课程目标，使它的作用和地位更加凸显．正因为此，关于数学活动经验的理论和实践成为当前数学教育、教学研究的热门话题．除了“数学活动经验”的理论探讨外，研究者思考更多的是数学教学中有哪些数学活动经验值得关注？哪些是基本的数学活动经验？又该如何帮助学生积累这些数学活动经验？这里试提出自己的想法．

1 已有研究评述

查阅相关文献可以发现，目前研究主要集中在数学活动经验的内涵、特征、类型、教育价值、促进学生积累数学活动经验的教学策略等方面，从具体论述中不难发现有一个特别的现象，即关于数学活动经验的特征、教育价值、教学策略方面不同专家学者的观点基本一致，但关于其内涵及类型则众说纷纭．如：

“知识说”：“数学活动经验属于学生的主观性数学知识的范畴，它形成于学生的自我数学活动过程之中伴随着学生的数学学习而发展反映了学生对数学的真实理解”[1]，“数学活动经验主要是一种个体知识”[2]．

“认识说”：“个体的数学活动经验是对以往数学活动经历在认知方面的感性概括（自觉或不自觉）”[3]，所谓基本数学经验，当是指在数学目标的指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识”，“大体上可以有以下不同的类型：直接数学活动经验、间接数学活动经验：创设实际情景构建数学模型所获得的数学经验、专门设计的数学活动经验、意境联结性数学活动经验”[4]．

“整体说”：“所谓某一个学科的基本活动经验，其实质在于，围绕特定的课程教学目标，学生经历了与学科相关的各类基本活动之后，所留下的直接感受、体验和感悟”、“学生的基本活动经验包含以下3类基本内容：体验性内容；策略性内容；模式性、方法性内容”[5]，“数学活动经验分为静态和动态两个层面．从静态上看，数学活动经验是知识，从动态上看，数学活动经验是过程，是经历”[6]；“数学活动经验是指学习者在参与数学活动的过程中所形成的感性知识、情绪体验和应用意识”[7]；“数学活动经验是学生从经历的数学活动过程中获得的感受、体验、领悟以及由此获得的数学知识、技能、情感与观念等内容组成的有机组合性经验”[8]．

究其原因，还是“经验”惹的祸，“经验”在教育学、心理学和哲学中都有一席之地，本身就有不同解释，再加上对“活动”、“数学活动”的不同诠释，出现众多界定和认识就不足为怪了．当然，内涵不清并不能阻挡人们研究的脚步，在众多文献中不乏精彩的观点，但是否意味着对数学活动经验的内涵就可以弃之不顾呢，答案是显然的．事实上，正因为内涵的界定不清，使人们在实践中有点无所适从，或抓不住重点，或干脆不予理会，针对此，有学者发出这样的呼吁“需要研究什么是‘基本数学活动经验’”[9]．

从《标准》（2011年版）总目标的呈现形式及《标准》解读来看，其设定的数学活动经验含义明显要高于知识、技能，因此“知识说”显得片面或易引起误解，“认识说”显得不够清晰，“整体说”又容易让人产生泛化之感，感觉“数学活动经验”包罗万象，以为反正数学教学本身就是一种数学活动，经验必定蕴含和产生于其中，就无所谓关注了，“如果把抽象思维、数学证明、探究解题都算作‘数学活动’，那就过于泛化．整个数学教学都是‘数学活动’，没有特定价值了”[4]．无可否认，活动是经验的来源，形成于人们的头脑之中，看不见，摸不着，但经验的内容究竟有哪些？从何梳理？

2 基于过程的数学活动经验

专家学者们在给数学活动经验分类时，有的按照经验的不同类别分类，有的按照学生参与数学活动的不同种类分类，有的按照布卢姆教育目标分类理论中的3个学习领域分类，……要么过于宏观，要么过于细微，宏观往往缺乏操作性，细微往往会难尽全，你提出“运算的活动经验”，我就可以提出“证明的活动经验”．研究者认为数学活动经验的提法和一般的经验相比有其特殊性，如一般经验强调动手实践获得直接经验，显然数学更多的应是思维操作，既然数学活动经验是经历数学活动过程沉淀下来的，何不从数学活动过程角度去分析界定呢？

弗赖登塔尔将数学学习活动概括为：实际问题抽象为数学问题；数学问题的逻辑组织（符号化）；数学原理的验证、推广（形式化、逻辑化）；数学理论的应用（反思、应用）．在此过程中，数学化的过程、问题解决的过程（包括应用）和反思的过程是尤为重要，“数学化”的过程体现了数学的来由，“问题解决”的过程体现了数学的思考和数学的应用，“反思”的过程则体现了数学的整体性和系统性．

“人们的数学活动经验是在做数学的过程形成的”[10]“数学活动经验是过程与结果相结合的产物”[2]，“数学活动经验”的设定是对过程性目标的进一步彰显，关注过程的数学教学，并不是指所有的学习内容都要让学生经历过程，而是一些重要的过程，上述3个过程无疑是重要的活动过程，因此，应关注这些活动过程中数学活动经验的积累，研究者认为这些即为基本数学活动经验．

2.1 在数学化的过程中积累数学活动经验

问题源于情境，“情境”是提出数学问题的背景．从学生的生活经验和数学经验出发创设问题情境，从中引出数学问题，可以让学生感受数学由无到有的过程，由此，学生不单可以得知数学产物的来历，更可掌握数学的独特思维和语言运用模式，体会数学与生活的联系，积累认识数学的经验．

案例：线段、射线、直线[11]

（1）展现现实生活中的数学现象，如绷紧的琴弦、黑板的边沿、手电筒、探照灯所射出的光线、笔直的铁轨， 抽象得到线段、射线、直线．——数学概念可以从实际生活抽象而来！

（2）如果你想将一根细木条固定在墙上，至少需要几个钉子？将细木条抽象为一条直线，钉子看成点，你得到什么结论？——动手操作活动可以帮助我们发现图形的某些性质！

（3）下图中哪棵树高？哪支铅笔长？窗框相邻的两条边哪条边长？你是怎么比较的？与同伴进行交流．

怎样比较两条线段的长短？

——两条线段长度相差很大，直接观察就可以了．观察难以判断，可以将一端重合进行比较，也可以用刻度尺分别测量进行比较．数学与生活经验是如此地一致！

这些经验必定会影响到学生后续的学习，如平行、垂直也是从实际生活抽象而来，我们可以寻找到很多实例；通过画垂线发现“平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，通过折纸发现某些图形的对称性；角和线段相比虽是不同的数学对象，但其大小比较方法又何尝不是一样呢！

当然，对数学化应包括两个方面：一方面是对客观现实的数学化，另一方面则是对数学本身的数学化．上面的案例可能更为突出第一个方面，也是以前关注不够的．对数学本身的数学化，同样要构建合适的活动去让学生经历这个过程．如为了让学生体会几何公理化思想，某些教材采用了两阶段的处理方式——先实验几何，后证明几何．在实验几何阶段，《标准》中“图形与性质”所要求的几何命题基本上都通过各种实验方式获得；到了证明几何阶段，再按《标准》的要求，建立一个局部公理体系，对一些结论进行证明，这样可以让学生初步体会公理化的思想，证明需要一个逻辑的起点，步步有据才行．再如在教学中还可以让学生尝试定义数学概念或定义数学运算，体会构造数学的过程，也可让学生感受数学本身的数学化．如设a、b都表示数，可以定义新的运算△，规定a△b＝4×a-3×b，同样可以定义其他运算※，规定a※b＝a×b+(a-b)．经历这样的过程，学生可以体会到一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算．当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应．只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算．原来数学是可以构造的！

2.2 在问题解决的过程中积累数学活动经验

“积累数学活动经验，需要从学生已有的经验和直观开始，让学生经历思考的过程，从中领会和感悟并形成一定的思维模式．”[12]在问题解决的过程中，学生要主动地运用相关数学知识和方法来解释或解决问题，尤其是遇到一个新的情境问题，该如何思考？有哪些策略可以选择？此时数学活动经验的提取和迁移得以体现．

案例：探索三角形全等的条件[13]

怎样判断两个三角形全等？利用两个三角形全等的定义需要知道6个条件．但是，是否一定需要6个条件呢？条件能否尽可能少呢？一个条件行吗？两个条件、3个条件呢？

探究什么？探究思路怎样？选用什么样的探究方法？探究两个三角形全等的条件，可以从条件由少到多，并按角和边进行分类，可以用画一画、剪一剪、比一比的方式展开探索．

在活动的过程中，学生不仅得到了“边边边”等的条件，同时体会了分析问题的一种方法，积累了数学活动经验．事实上这些活动的经验对其以后的学习是非常重要的，如在学习三角形相似的条件时，学生必定会联想起三角形全等时所采用的探索思路和方法．令人欣喜的是，在网上发现有学生的小论文“探索四边形全等条件”[14]，思路和方法与教材中的设计完全一致，虽是模仿，但试想在课堂上如果没有让学生经历这样的问题解决的过程，学生会有这样的研究问题的意识和解决问题的策略吗？研究者觉得很难．

与一般教学内容相比较而言，数学综合与实践活动和数学探究活动是展现问题解决过程的很好形式．数学综合与实践活动的内容具备综合性、实践性和探索性，其目标并非新知识的习得，它以“解决问题”的活动为主线，渗透探究性学习的思想和方法，培养学生的数学素养和数学能力是最终目的．正因为此，《标准》（2011年版）提出“数学综合与实践是积累数学活动经验的主要载体”[15]．数学探究活动的核心则是学生的主动探究，通过学生的“操作、观察、猜想、讨论、说理、归纳、应用”等手段，让学生主动探究数学概念、法则、性质和定理等，展示自己的想法，勇于创新，不断增强学生的主体意识，提高学生的主体参与能力，不仅使学生掌握知识，更使学生获得问题解决的能力．在其中，学生必将积累大量的数学活动经验．

2.3 在反思的过程中积累数学活动经验

弗赖登塔尔指出，“反思是重要的数学活动，它是数学活动的核心和动力”[16]．新的数学观念形成后，学习者就会试图用新的观念去重新认识已经积累起来的知识、技巧、方法和规律，把它们纳入刚刚建立起来的认知结构，这是一个反思过程．

一方面可以形成对数学内容系统的活动经验．具体数学内容之间存在着相互联系，但对许多重要数学知识的认识往往都不是一次完成的，需要在不同的学习阶段，从不同的角度，不断地对它们进行重组和反思．例如，对函数的认识，最初学生初步感受变化的过程、量与量之间的依存关系、“对应”现象，经历研究函数基本性质的过程，尝试根据函数的基本特征做预测的活动；其次，可以让学生从事函数内容的实质性学习：理解函数的基本概念（自变量、定义域等），画函数的图象，研究其相关的性质，借助函数的知识和方法解决问题；再次，让学生了解不同函数之间的联系，函数与其它数学内容（如方程、不等式等）的实质性联系，进而构建函数在初中数学知识系统中的地位．目前一些教材在章后都设置了“回顾与思考”、“小结与思考”等栏目，以问题的形式鼓励学生自己梳理所学的内容，并力图在不同内容之间寻找联系，也就是关注了数学内容系统的建构活动经验的积累．

另一方面可以形成对数学研究系统的活动经验．“数学知识系统又可分为数学内容系统和研究系统．数学内容系统，关注具体数学内容之间的联系，如概念的网络系统和命题的网络系统；而研究系统，则关注某个概念、命题或者学习主题的具体研究过程与方法，如面对平行四边形这样一个研究对象，需要研究哪些（定义、性质、判别等），这些知识之间按照什么研究顺序展开，如何研究等．”[17]目前对此方面普遍关注不够．事实上这两者是分不开的，这就如同数学内容和数学方法，数学内容中体现了数学方法，数学方法又以数学内容为载体，因此不仅要关注数学内容系统的建构，同时要关注数学研究系统的建构，这样才能形成对数学的整体认识．

对于数学研究系统的建构，一方面要关注学习内容的本质或一般性的规律，如要说明n边形的内角和等于(n-2)·180°，根据三角形内角和定理，把一个多边形分成几个三角形，问题就解决了．但分割的方法除了利用对角线把多边形分成几个三角形外，还可以有新的分法，如在多边形内任取一点，连接各顶点，也可以在多边形边上取一点，连接各顶点，不同的分割方法更能使学生认识知识的本质：不管点取在何处，只要将多边形分成多个三角形即可．再如，对于给定的某种正多边形，它能否拼成一个平面图形，而不留一点空隙？显然问题的关键在于分析能用于完整铺平地面的正多边形的内角的特点：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就铺成一个平面图形．另一方面要关注相似或并列的学习内容的类比研究，可以要求学生在学习之前回忆先前内容的研究思路和方法，鉴于新学习内容与先前学习内容诸多相似之处，提出自己对此内容的研究顺序和研究方法．

案例：特殊平行四边形

在学习特殊平行四边形有关内容之前，学生已经学习过平行四边形的概念、性质和判定，在学习过程中利用各种手段，如直观操作、图形的平移、旋转和轴对称，以及简单的说理和初步的推理，逐步探索平行四边形的对边、对角、对角线的有关性质以及平行四边形的常用判别方法，积累了一定的数学活动经验．因此在学习特殊平行四边形内容之前，可以提出如下一些问题，让学生自主建构后续学习内容的知识系统．

（1）平行四边形有哪些性质和判定？

（2）平行四边形的性质和判定是从平行四边形的哪些方面描述的？（对边、对角、对角线）

（3）在小学里我们学过哪些特殊的平行四边形？（矩形、菱形、正方形）它们和平行四边形有什么区别和联系？

（4）基于先前的活动经验，你想研究特殊平行四边形的哪些方面？（定义、性质、判定）你打算采用怎样的研究方法？

这样的反思，一方面复习了先前的学习内容，另一方面统整了后续的内容，让学生在学习之前就对研究的内容和研究方法有明确的意向．

反思不仅可以帮助学生形成对知识和方法的整体性认识，同时反思的过程也是数学活动经验内化的过程．“学生经历或参与了数学活动并不是就能自动地获得充足的数学活动经验，它还需要学生主动地对活动过程进行反思、总结和交流，及时概括所获得的经验，使已得经验条理化和系统化．”[18]

3 可以研究的问题

“数学活动经验”是一个较新的研究课题，很多理论与实践研究亟待开展．抛出一些问题，供大家探讨．

教师如何帮助学生发展数学活动经验？显化数学活动经验？

学生在积累数学活动经验后有什么特征和表现？

如何进行数学活动经验的水平划分和评价？

不同内容领域带给学生的数学活动经验有何差异？

经验也会有局限性，数学活动经验的局限性会有哪些表现？如何解决？

……

［参 考 文 献］

[1] 黄翔，童莉．获得数学活动经验应成为数学课堂教学关注的目标[J]．课程·教材·教法，2008，（1）：42．

[2] 王新民．论数学活动经验的基本内涵及其形成条件[J]．课程·教材·教法，2013，（11）：55．

[3] 马复．论数学活动经验[J]．数学教育学报，1996，5（4）：23．

[4] 张奠宙，竺仕芬，林永伟．“基本数学经验”的界定与分类[J]．数学通报，2008，（5）：4-5．

[5] 孔凡哲．基本活动经验的含义、成分与课程教学价值[J]．课程·教材·教法，2009，（3）：33-34．

[6] 单肖天，景敏．数学活动经验及其对教学的影响[J]．课程·教材·教法，2008，（5）：42．

[7] 王新民，王富英，王亚雄．数学“四基”中“基本活动经验”的认识与思考[J]．数学教育学报，2008，17（3）：18．

[8] 仲秀英．学生数学活动经验的内涵探究[J]．课程·教材·教法，2010，（10）：52-56．

[9] 张奠宙，赵小平．需要研究什么是“基本数学活动经验”[J]．数学教学，2007，（5）：封底．

[10] 徐章韬．青浦经验：数学活动经验的教育表达[J]．数学教育学报，2008，17（5）：6．

[11] 义务教育课程标准实验教科书·数学 七上[M]．北京：北京师范大学出版社，2012．

[12] 郭玉峰，史宁中．数学基本活动经验：提出、理解与实践[J]．中国教育学刊，2012，（4）：43．

[13] 义务教育课程标准实验教科书·数学 七下[M]．北京：北京师范大学出版社，2012．

[14] 探索四边形全等条件[EB/OL]．http://www.docin.com/p-587199476.html

[15] 义务教育课程标准（2011年版）解读[M]．北京：北京师范大学出版社，2012．

[16] 张奠宙．数学教育学[M]．南昌：江西教育出版社，1991．

[17] 章飞．将数学知识系统的建构纳为学习对象[J]．数学教育学报，2008，17（5）：65．

[18] 仲秀英．促进学生积累数学活动经验的教学策略[J]．数学教育学报，2010，19（5）：37．

[责任编校：周学智]

Focus on the Basic Experience in Mathematics Activities

GU Ji-ling
(College of Teacher education, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210097, China)

Abstract:Students accumulate experience in the process of mathematics activities.So the contents of the experience in mathematics activities should comb from the perspective of the process.In this paper, we point out the basic experience in mathematics activities.It contains the experience in the process of mathematization, problem solving and reflection.

Key words:process; experience of mathematics activities; mathematization; problem solving; reflection

作者简介：顾继玲（1971—），女，江苏建湖人，副教授，博士，主要从事课程与教学论研究．

基金项目：教育部北京师范大学基础教育课程研究中心课题——初中数学教师理解教材及创造性使用教材的研究（1411012）

收稿日期：2015–10–08

中图分类号：G420

文献标识码：A

文章编号：1004–9894（2016）01–0034–04