高中生立体几何空间观念培养有效途径探究——基于空间观念的发展阶段特点

邓　靓

（喀什大学，新疆　喀什　844000）



高中生立体几何空间观念培养有效途径探究
——基于空间观念的发展阶段特点

邓靓

（喀什大学，新疆喀什844000）

摘要：空间观念是发展数学能力的基础，同时贯穿高中生立体几何学习的整个过程.本文主要阐述了空间观念的五个发展阶段，教师进行教学时，应充分关注这五个阶段，适当的引导学生通过观察、操作、结合经验、发展想象、联系实际等方式有效发展空间观念.

关键词：空间观念；观察；经验；想象

立体几何在整个几何知识体系中占有举足轻重的地位，它以平面几何知识为基础，是对平面几何知识的一种延生，在知识理解度上难于平面几何.新课标提出，高中阶段开设立体几何有着重要的意义：它能够发展学生对于空间理解和认识的能力，培养人的直觉思维与创新精神，同时对立体几何的学习这个过程，学生的逻辑推理能力也会得到发展，学生将会运用立体几何中所形成的思维去解决实际生活中遇到的问题.而要想学好立体几何，我们则要注重学生空间观念的培养.空间观念是人们对物体大小、形状及其物体相互间的位置关系在头脑中形成的表象，空间观念的形成是从物体的二维空间到三维空间的过渡，是人们从平面几何向立体几何的过渡.

1　高中生空间观念的发展阶段及表现

在数学能力中，空间观念是较为特殊的一种能力.它不仅具有数学能力发展的一般特点，还有其自身的特殊性，它将直觉建立在空间与图形上，通过直觉勾画出物体的空间结构.空间观念的发展跟随数学其他能力一起发展.高中阶段整个立体几何学习的过程中，学生空间观念发展由浅至深经过五个阶段：

1.1感知及辨认图形阶段

该阶段为学生学习立体几何的初级阶段.教学上一般采用的是将立体几何图形用实物等方式呈现出来，让学生的感知由抽象的图形到现实生活中具体图形的转变，从而建立两者间的联系.这一阶段要求学生能够根据立体图形的大概轮廓辨别出图形，同时能够将图形语言转化为文字语言并描述出来.这一阶段注重学生对立体几何图形的观察、触摸、操作（画图等），从而形成感知，然后在头脑中形成图形的基本轮廓.

1.2认知和分析图形阶段

在高中立体几何学习阶段，完成对几何体辨认之后则是对立体几何图形概念、定义、特性等的学习.立体几何是建立在平面几何知识基础上的更加抽象的图形，高中生具备了一定的平面几何基础，因此通过对立体几何初步的观察、感知及辨认后，以平面几何知识为基底，进行简单猜想，同时能够对图形特征进行简单的总结并定义等.

1.3推理论证图形阶段

这一阶段是学生空间观念形成及发展的关键阶段.当学生经过前面两个阶段对图形感知辨认以及认知分析的思维训练之后，则进入到了推理论证图形阶段.处于该阶段的学生通过定义、定理等知识对立体几何进行进一步的推理论证，将他们在前两个阶段所掌握的知识、形成的观念进一步深化及理解，推进空间观念的进一步发展，此时则能够初步形成几何直观能力.

1.4联系建构图形阶段

经过前三个阶段学生的空间观念得到了更大的发展，在能够形成几何直观能力的情况下，空间观念又将不断完善.该阶段的学生由于能够将一定的抽象几何体在头脑中形成具体的图形，因此他们对于立体几何图形的探索则会有更深厚的兴趣.他们能够体会到推理和证明的逻辑乐趣，能够运用从前所学的有关于几何体的知识解答问题；能够将平面几何中的四边形与立体几何中的四面体联系起来，同时可以分析出相同点与差异性，建构出多种四面体；能够灵活运用数学方法，探索立体几何图形的特征与数量的关系；能够举一反三，探索发现几何规律等.

1.5想象及创造阶段

经过前面四个阶段对立体几何知识的不断学习，学生对于几何体有了一定的了解，几何直观能力也不断的加强，在这一过程中，学生的空间观念不断成熟，他们不仅能够辨别几何体，分析及总结特征等，其空间想象能力及逻辑推理能力也在不断加强.他们会独立的在头脑中建构与几何体有关联的一切知识点，并能够重新排列分类，拓展出与原来知识结构体系类似的特征、性质，运用不同的方法对同一几何问题进行严密的推理论证.

空间观念的发展是具有阶段性的，但是每一阶段间却又不存在明显的界限.根据前四个阶段的发展可知，空间观念的发展与几何认知水平发展的次序性一样，前一阶段发展的完成为下一阶段的发展提供保证.因此高中生在培养空间意识时，应该充分关注其次序性，要重视每一阶段的培养，积累数学经验，才能够更好的培养空间观念.

2　高中立体几何教学中空间观念培养的有效途径

学生进入高中阶段，数学教材中第一次系统的介绍立体几何知识，此时，学生在日常生活中，已经对事物的立体图形有了一定的直观接触，但是却未形成系统的空间能力.因此，要想在高中阶段建立起空间观念，则需对空间图形有丰富的感知认知，通过观察、触摸等方式建立几何直观能力.根据前面所阐述的空间观念发展的五个阶段可知，对立体图形的最基本的观察、触摸等是空间观念能否发展及空间观念发展的如何的基础.高中阶段教师应该给予学生多种途径感知和认识立体图形，如在课堂中，将书本上的空间图形与现实生活中的图形联系起来，将抽象的图形具体化；可以让学生自己动手制作空间图形，通过分解重组的方式，掌握图形的特征，在头脑中形成与自己原有认知相联系的知识等.通过鼓励学生多动手操作，培养他们对立体图形的感知，加深他们对于抽象几何图形的理解，形成更加完备的空间观念.

2.1有目的的引导学生通过观察、操作等方式，感知空间图形，储备空间表象

空间观念的形成，往往和直观的空间图形有密切的关系.高中学生在初步接触立体几何时，对于抽象的几何图形总难以理解，无法由抽象的图形转变到具体的图形.而根据空间观念的发展阶段看，学生空间观念的形成，是由视觉上的冲突再到对具体图形的触摸，形成感知，再通过实际的动手操作，这一系列的过程之后，学生头脑中才能够形成对该空间图形的一个基本的轮廓，即有具体到抽象的转变过程.在这一过程中，学生通过看一看，摸一摸，折一折，画一画等实践活动形成感知，对空间图形有了一个比较清晰及丰富的认知，经过时间的沉淀以及对不同具体图形表象的积累，将会有利于高中生空间观念的形成.

2.1.1学会观察，积累空间表象素材

观察是一种目的明确、积极主动、时间持续的有计划的思维活动，在高中阶段，是学生积累空间表象素材的重要方法之一.学生通过对具体实物细致的观察，总结出实物的特征，同时能够发现与实物对照相同或者相似的立体几何图形也有想类似的特性，在这一过程中，不断积累相似图形，获得与之有关的几何图形的表象，从而树立正确的立体几何概念，促进空间观念的形成.如在学习空间几何体时，对于长方体、正方体、圆柱体等的认识，教师可以引导学生对日常生活中经常出现的有这些体型的物体进行观察，比如从近处的课桌、书本、灯管等到大而抽象的楼房等，让学生概括总结不同物体的特征，如长方体的书桌、书本都有六个面，12条棱等，让学生亲眼看一看，摸一摸，通过感官的触动，使具体的实物与抽象的空间体的形象能够在大脑中得到反映，此时学生对于反映在大脑中的对于与长方体相同特征的实物都能够快速的反映出来.这样，学生对于“体”这个概念就有了相对形象具体的了解，通过不断地对具体实物的观察，再在大脑中形成表象，在积累到一定程度时，学生则可以离开具体实物，抽象出空间物体，形成空间观念.

2.1.2动手操作，感知空间图形结构

高中阶段学习立体几何时，观察是培养空间观念的第一步，通过观察，积累空间表象的素材，第二步则是在观察的基础上，通过实际的动手操作，感知空间图形从抽象的书面图形到具体的实物间的变化，总结其不同于相同点.皮亚杰曾说过空间观念的形成也离不开实际的动手操作过程.动手操作其实也是学生对于原来观察的图形在头脑中形成表象后的一种推理验证的尝试过程，验证在自己脑中反映的图形与实际的图形间是否存在预设的关系，在不断的假设——操作——推翻假设——调整——操作——验证假设的过程中，积累直接经验，建立起空间观念.教师在教学过程中，应该多鼓励学生动手操作实际物体.如在讲授长方体时，教师可以结合教具，首先让学生仔细观察，例举日常生活中的长方体；接下来则可以让学生摸一摸长方体，如课桌、书本，引导学生对长方体的特征进行总结，量一量长方体每条棱的长度，引导学生发现实物中的长方体的12条棱并不在一个平面内，使他们明白相对棱的关系等；还可以组织学生用白纸板制作长方体，这样学生能够在制作的过程中发现长方体对面，对边间的关系，能够发现长方体也是长方形的组合.通过实际动手操作，由二维到三维的转变，由抽象到具体再到抽象的转变，学生在感知具体图形的过程中，头脑中也能够形成空间体的大致结构关系，空间表象和空间观念就会不断地发生并渐渐形成.

2.2与原有的认知经验相结合，进行简单猜想，建立空间观念

数学源于生活，又高于生活，新课标强调：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上”.高中阶段的立体几何是建立在平面几何知识基础上的，因此，对于高中初学立体几何的学生而言，而空间观念的发展同样也离不开学生原有的认知经验.这种经验可以是学生学习的平面几何知识为基础，即已有的几何知识经验；也可能是日常生活中所累积起来的与空间几何体有关的具体图形在脑海中形成的表象等，即生活经验；还可以是数学学习活动中积累的经验.

2.2.1充分运用已有的经验，产生观念冲突与联系

根据空间观念发展的五个阶段可知，高中生空间观念的形成与学生已有的几何认知经验有密切的关系.高中生拥有了一定的平面几何知识基础，同时也累积了丰富的空间表象素材，因此教师在进行立体几何教学时，要重视教学设计与学生已有的几何经验间的内在联系，要考虑如何激发学生原有的认知与新知识的冲突与联系，从而使新知识与原有认知能够自然的得到发展.如在教授正方体时，教师应该将正方体分解成六个正方形，从学生熟悉的平面几何知识入手，引导学生以原有的知识经验为基础，尝试着认识新的正方体.在这一过程中，学生的认知会产生冲突，如为什么正方形能够组合成正方体？正方体与正方形之间有什么内在联系？启发学生准确的形容正方体的特征，使学生对立体几何图形的认知更加深刻.

2.2.2进行简单猜想与验证，形成空间观念

高中生以一定的原有知识经验为基础，对于新的知识，即立体几何学习时，应该与原有几何经验相结合，大胆尝试猜想，并加以验证.在猜想——验证的过程中，认识新的立体几何图形，分析猜想的结果与实际结果间的差异，及时进行调整纠正，逐步形成空间观念.如学生在学习三视图的过程中，对于不同空间图形以不同方式呈现出来时，学生应该积极的将该图形与头脑中已有的图形表象相结合，大胆猜想它的呈现方式，之后结合实际的动手操作及观察，验证自己的猜想是否正确，在这一过程中根据所学的知识点分析支持以及否定猜想的各种条件，最后得出结论.这个反复的验证分析过程，有助于空间观念的逐步形成.

2.3发挥想象能力，发展空间观念

想象是促进思维发展的推进器，空间观念的发展自然离不开空间想象能力.高中阶段，当学生积累了丰富的空间表象素材，有了较为牢固的直观能力时，适时地通过想象，将脑海中形成的实物表象运用更进一步的思维活动内化，促进空间观念的发展.空间想象能力实则是建立在丰富的感知基础之上的，即通过对实物的细致观察、触摸、操作、验证，再与已有的知识经验想结合，在大脑中形成的新空间体的思维过程.教师应该有目的、有意识的引导学生大胆的发挥其想象能力，能够在头脑中有抽象图形的反映，并且可以及时的通过语言或者绘画的方式将头脑中想象出的结构用几何语言表述出来，这种训练将更进一步的促进空间观念的发展.如在学习“点、线、面”的相关知识时，对于“直线与平面的位置关系”与“平面与平面的位置关系”这一知识点的学习，学生刚接触时可能无法准确地理解，此时教师则应该鼓励学生将这一位置关系在头脑中想象出来，可以想象成一张纸上有一条直线穿过，两张纸相互交叉等，然后再将实物抽象出图形来，并在脑海中能够清晰的想象出此时纸与直线、纸与纸相交时的图像，这样不仅能够将抽象的问题形象化，加深了学生的理解，同时通过想象——呈现的这一过程，也是表象内化的过程.

2.4运用于实际，深化空间观念

根据空间观念发展的五个阶段可知，高中生的空间观通过观察、感知、操作、猜想、验证的一系列活动，有了较大的发展，但是对于抽象的文字语言如立体几何相关的概念、定理等，仍然是高中生学习立体几何知识一个最大的障碍，在这种情况下，学生的文字语言无法准确的转化成图形语言，在脑海中没有与之相对应的空间表象，这种障碍也会对其空间观念的进一步发展造成影响.我们学习数学，不仅仅是学习数学知识，更重要的是学习数学思想，并将这种思想与实际生活联系起来，作用于实际生活.因此，教师适当的鼓励学生带着目标参加实践活动，总结实践经验，这不仅有助于巩固发展空间观念，同时在将已建立的空间观念、数学思想运用作用于实际生活，解决实际问题时，也能够让学生认识到所学所想在实际生活中的价值，从而能够对学习立体几何又动力和兴趣.

教师可以在讲授了长方体、正方体等空间几何体的基本概念、定理定义等的基本知识之后，组织学生进行一次班内的动手实践活动，尝试制作小收纳盒、小课桌、小板凳等.学生在动手制作的过程中，则会遇到收纳盒需要多大面积的材料才能做好？这时学生会将计算空间体表面积的公式加以运用；制作小课桌如何才能将四条桌腿与课桌平面正好结合？学生会自己动手量一量，思考解决方法等.活动过程实际上是将所学运用于实际生活，将知识进行内化的过程.可见，当高中生掌握了一定的空间几何知识时，适当的作用于实际，不仅加深了其对知识的理解度，同时也巩固了学生的空间观念.

总之，高中生空间观念的形成和发展，要注重空间观念形成的每一阶段，把握住每个阶段的重点、各阶段间的内在联系，只有上一个阶段的能力得到充分发展时，下一阶段的能力才能够得到顺利发展.因此，教师在高中阶段，不仅要注重引导学生通过观察、操作、猜想、验证等一系列活动培养空间观念，同时也要重视空间观念的阶段性，知识的掌握、能力的培养以及思维的发展需要循序渐进，这样才能最大程度的发展空间观念，学生的空间观念得到发展，对于立体几何抽象的知识理解将会更加透彻，其数学思维能力也就自然而然的得到了深化.

参考文献：

〔1〕李玉龙，朱维宗.小学初步空间观念及其培养［J］.现代中小学教育，2008（10）.

〔2〕刘晓玫.构建促进学生空间观念发展的几何课程——基于小学生空间观念发展水平的研究［J］.课程.教材.教法，2008（10）.

〔3〕韩龙淑，吕传汉.空间观念的含义和特征及其教学策略［J］.数学教育学报，2010（6）.

〔4〕王林全.空间观念的基本构成与培养——兼谈美国如何发展学生的空间观念［J］.数学通报，2007（10）.

中图分类号：G642

文献标识码：A

文章编号：1673-260X（2016）05-0269-03

收稿日期：2016-03-19