高考易错题自测AB卷——函数

河北 郭天总 赵世杰

高考易错题自测AB卷
——函数

河北 郭天总 赵世杰

A卷

一、选择题

1．函数y＝f（x）的图象与直线x＝a交点的个数为（ ）

A．必有一个 B．1个或两个

C．至多一个D．可能两个以上

2．下列各函数中，与y＝2x－1是同一个函数的是（ ）

A．（2，3）

B．（2，4］

C．（2，3）∪（3，4］

D．（－1，3）∪（3，6］

4．已知f（x）＝2＋log3x，x∈［1，9］，则函数g（x）＝［f（x）］2＋f（x2）的值域为（ ）

A．（6，13）B．（－3，＋∞）

C．［6，13］D．（－3，13）

A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．既不是奇函数也不是偶函数

6．设函数f（x）满足f（－1）·f（1）＜0，则方程f（x）＝0在区间［－1，1］内（ ）

A．没有实根

B．有唯一实根

C．有2个实根

D．不能确定有无实根

8．已知函数f（x）＝（a2－a＋1）loga＋1x是对数函数，则实数a＝（ ）

A．a＝0或a＝1B．a＝1

C．a＝0D．a＞0且a≠1

10．已知函数f（x）＝（k2－1）x2＋2x－3在区间（－∞，2］上单调递增，则实数k的取值范围是（ ）

11．设函数y＝f（x）的定义域为R，则函数y＝f（x－1）与y＝f（1－x）的图象关于（ ）

A．直线y＝0对称

B．直线x＝0对称

C．直线y＝1对称

D．直线x＝1对称

12．若不等式（a2－4）x2＋2（a－2）x＋1＞0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（ ）

A．a＞2B．a≥2

C．a＜－2D．a≤－2

二、填空题

13．函数y＝－x2＋2 mx＋5在［1，＋∞）上为减函数，则实数m的取值范围是________．

14．定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足对任意的x1，x2∈（0，＋∞）（x1≠x2），有（x2－x1）（f（x2）－f（x1））＞0．则满足的x取值范围是_______．

15．已知函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）在区间［－2，2］上的最大值不大于2，则函数g（a）＝log2a的值域是________．

16．如果函数y＝a2x＋2ax－1（a＞0，a≠1）在区间［－1，1］上的最大值是14，则a的值为________．

B卷

一、选择题

1．设集合M＝｛－1，0，1｝，N＝｛－2，－1，0，1，2｝，如果从M到N的函数f满足条件：对M中的每个元素x与它在N中对应的f（x）之和都是奇数，则函数f的个数是（ ）

A．8 B．12 C．16 D．18

2．已知函数f（x）＝｜x－1｜，则下列函数与函数f（x）是同一函数的是（ ）

A．m＞1B．m＜1

C．m≥1D．m≤1

5．下列四个函数中，奇函数的个数是（ ）

A．1B．2C．3D．4

6．定义在R上的奇函数f（x）满足当x＞0时，f（x）＝2 014x＋log2014x，则在R上函数f（x）的零点个数为（ ）

A．1 B．2

C．3D．4

8．已知函数f（x）＝（a－2）ax（a＞0且a≠1），若对任意，都有，则a的取值范围是（ ）

A．（0，＋∞）

B．（0，1）∪（1，＋∞）

C．（0，1）∪［2，＋∞）

D．（0，1）∪（2，＋∞）

9．已知关于x的方程y＝loga（x2－2ax－2）在区间［－2，－1］上是增函数，则a的取值范围是（ ）

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

11．已知奇函数f（x）满足f（x）＝f（2－x），则下列直线一定是函数f（x）图象对称轴的是（ ）

A．x＝－2B．x＝－1

C．x＝2D．x＝4

12．函数g（x）＝ax2－2ax＋1＋b（a＞0）在区间［2，3］上有最大值4和最小值1．设，若不等式f（2x）－k·2x≥0在x∈［－1，1］上有解，则实数k的取值范围为（ ）

A．（0，＋∞）B．（－1，＋∞）

C．（－∞，1）D．（－∞，1］

二、填空题

13．已知函数f（x）＝ax3－x2＋1在（0，1）上有增区间，则a的取值范围是________．

14．关于x的方程log2x2－2（｜x｜－1）2＝0根的个数为________．

15．已知a＞0且a≠1，f（x）＝x2－ax，当x∈（－1，1）时，均有，则a的取值范围是________．

16．已知函数f（x）＝ln（a·3－2x＋2·3－x＋1）的定义域为（1，＋∞），则实数a 的值为________．

【参考答案与提示】

A卷

1．C 【解析】当a在y＝f（x）定义域内时，交点的个数有1个，当a不在时，交点的个数有0个．选C．

【易错警示】函数的定义要求“对于定义域内每一个x在值域中都有唯一元素与之对应”．本题解题过程中容易忽视“a不在函数y＝f（x）定义域内”或误认为交点个数可以无数个，造成错选A或D．

2．C 【解析】A项、B项与y＝2x－1定义域不同．D项与y＝2x－1对应关系是不同的．

【易错警示】此类问题容易犯的错误是先化简再判断，两个函数是同一函数的充要条件是它们的定义域和对应法则分别相同．在判断两个函数是否为同一函数，不能对函数解析式化简．

【易错警示】本题中容易出现将x≠3漏掉的情况，另外对于求解与对数函数有关的复合函数的定义域时，容易忽略对真数大于0的要求．

4．C 【解析】g（x）的定义域为［1，3］，又∵g（x）＝（log3x＋3）2－3，∴函数g（x）的值域为［6，13］．选C．

【易错警示】求函数的值域，应先求函数的定义域；有关函数的单调区间类问题，应先考虑函数的定义域，因为函数的单调区间为函数定义域的子区间．

5．A 【解析】当x＜－1时，－x＞1，则f（－x）＝－（x2－2）；当｜x｜≤1时，f（－x）＝0；当x＞1时，－x＜－1，则f（－x）＝－（－x2＋2），所以f（－x）＝－f（x），即函数f（x）为奇函数，正确答案为A．

【易错警示】对于分段函数奇偶性的判断，要弄清“x”与“－x”所分别对应的解析式．

6．D 【解析】f（x）在［－1，1］内是否连续和单调都未知，故不能确定f（x）＝0在［－1，1］内的零点个数．

【易错警示】连续不断的函数在区间［a，b］内有f（a）·f（b）＜0时，函数在区间（a，b）内至少有一个零点；连续不断的单调函数在区间［a，b］内有f（a）·f（b）＜0时，函数在区间（a，b）内有且只有一个零点．本题中很容易忽视连续性与单调性的条件，从而错选B．

7．B 【解析】由已知可得

【易错警示】本题中最常见的错误是混淆分段函数的分类标准，将f（1＋2x）错误地写成f（1＋2x）＝从而错选C．在高考中对类似知识点的考查较多，而且有一定难度．

8．B 【解析】由题意得a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1，又a＋1＞0且a＋1≠1，所以a＝1．

【易错警示】指数（对数）函数是形式定义，要求系数为1，底数大于零且不为1．

9．C 【解析】据题意知3a－1＜0且0＜a＜1，及x＝1时

（3a－1）×1＋4a≥loga1，解得，选C．

【易错警示】“分而不断”是分段函数的最重要特点，因此对于分段函数中的已知单调性求参数取值范围问题，不但要保证函数在每一段上是单调的，还要注意保证函数在整个定义域内是单调的，即要注意在定义域分界点附近的单调性．

10．D 【解析】k2－1＝0时，满足条件；k2－1≠0时，有综上选D．

【易错警示】本题容易忽略k2－1＝0，对于二次项系数含参数的二次函数问题，应对参数分类讨论，分类讨论的标准就是二次项系数与0的关系．

11．D 【解析】f（x）、f（－x）的图象向右平移1个单位分别得到f（x－1）、f（1－x）的图象，选D．

【易错警示】有关函数图象的对称问题，一定要分清是“一个函数图象的对称性”与“两个函数图象的对称性”．

12．B 【解析】a2－4＝0时，经检验a＝2满足条件；a2－4≠0时，则综上得a≥2．

【易错警示】对于二次项系数含参数的一元二次不等式问题，应对参数分类讨论，此题容易犯的错误是忽略对a2－4的讨论，另外要能够正确区分含有参数的“能成立”与“恒成立”问题．

13．m≤1 【解析】y＝－x2＋2 mx＋5的对称轴为x＝m，由数形结合可知m≤1．

【易错警示】本题容易错误理解为函数y＝－x2＋2 mx＋5的单调减区间是［1，＋∞），从而得出m＝1的错误结论．在解题中要注意，“在区间上单调”指该区间是函数相应单调区间的子区间；“单调区间是”指该区间就是函数的相应最大单调区间．

【易错警示】在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域．

【易错警示】解决简单的指数方程或不等式的求解问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．

【易错警示】在使用换元法解决问题时，要注意引入的新元的取值范围，另外注意不要忽略对底数a进行分类讨论．

B卷

1．D 【解析】x为－1，1时，在N中只能对应－2，0或2，当x＝0时，N中只能对应－1或1，故选D．

【易错警示】“从M到N的函数f”具有“唯一性”、“方向性”，即要求M中每一个元素在N中“有且只有”一个元素与之对应，但不要求N中的每一个元素在M中有“对应”或“唯一对应”，故找函数f的过程要分为“三步”而不是“三类”，所以用乘法计数原理，而不是加法计数原理，很容易错选A选项．

2．B 【解析】两个函数是同一函数的充要条件是它们的定义域和对应法则分别相同．A选项与f（x）的定义域不同；C、D选项与f（x）的对应法则不同．选B．

【易错警示】本题中C选项的定义域与对应法则看似与函数f（x）相同，但其分段的分类标准与函数f（x）不相同，要注意辨别，不能错选C选项．

【易错警示】在复合函数中求抽象函数定义域有关问题时，由于没有告诉函数解析式，进行运算时要注意两个原则：一是定义域总是给定函数中自变量取值范围的集合；二是同一对应法则内的变量因式取值范围的集合相同．

5．B 【解析】（1）中f（x）的定义域不关于坐标原点对称；分x＞0，x＜0讨论可知（4）是偶函数，选B．

【易错警示】判断函数奇偶性时，首先要看函数的定义域是否关于原点对称；若定义域不关于原点对称，则f（x）为非奇非偶函数，其次判断f（x）与f（－x）、－f（x）的关系，也可转化为判断f（x）±f（x）是否为0，简化求解过程．

【易错警示】奇函数f（x）若在x＝0处有定义，则f（0）＝0．利用这一性质解决与奇函数有关的问题可以起到事半功倍的效果．

【易错警示】本题的关键是如何正确找到分段函数的分类标准，易错将分段函数y＝f（x）＋f（2－x）按数“2”分成两段．

9．B 【解析】∵a＞0且a≠1，∴u＝x2－2ax－2在［－2，－1］内单调递减，∴0＜a＜1且（－1）2＋2a－2＞0，选B．

【易错警示】复合函数单调性问题重在将其分拆成简单函数后分析简单函数各自单调性，分拆后很容易忽视原函数的定义域，特别是在求解与对数函数有关的复合函数问题时，要注意保证真数大于零．

10．C 【解析】a＝－1不满足充分性；反之，a＝0时满足，a＜0时，即选C．

【易错警示】对于二次项系数含参数的二次函数、一元二次方程、一元二次不等式问题，应对参数分类讨论，此题容易犯的错误是忽略对a的讨论．

11．B 【解析】f（x）图象关于直线x＝1对称，又f（x）是奇函数，则f（x）图象关于直线x＝－1对称．

【易错警示】在对称性问题中若有f（a＋x）＝f（b－x）成立，则函数f（x）图象关于直线对称；若有成立，则函数f（x）图象关于点对称．

【易错警示】在函数中常见到含有参数的“能成立”与“恒成立”问题，在审题中一定要注意理解题意．若k≤f（x）有解，则k≤［f（x）］max；若k≤f（x）恒成立，则k≤［f（x）］min；若k≥f（x）有解，则k≥［f（x）］min；若k≥f（x）恒成立，则k≥［f（x）］max．

【易错警示】在解题中要注意，“存在单调区间”指该区间内有相应单调性，也可能有别的单调性，即该区间内可能既有增区间，也有减区间．

14．4 【解析】令f（x）＝log2｜x｜，g（x）＝（｜x｜－1）2，这两个函数均为偶函数，当x＞0时，数形结合知两函数图象交点个数为2个；同理，当x＜0时，也有两根．综上，满足条件的根的个数为4．

【易错警示】本题在对log2x2－2（｜x｜－1）2＝0进行变形时，容易得出log2x＝（｜x｜－1）2的错误结论，这是在对含对数的式子进行变形时不等价而产生的错误，在做题时要特别关注变形的等价性．

15．1＜a≤2 【解析】x∈［－1，1］时，0＜a＜1时，，解得时，，综上可得1＜a≤2．

【易错警示】对于指数函数的底数a（a＞0且a≠1），在不清楚其取值范围时，应分a＞1和0＜a＜1进行讨论，另外要能够正确区分含有参数的“有解”与“恒成立”问题．

16．－15 【解析】∵不等式a·3－2x＋2·3－x＋1＞0的解集为（1，＋∞），令m＝3x得m2＋2 m＋a＞0（m＞0）的解集为（3，＋∞），∴3是关于m的方程m2＋2 m＋a＝0的根，代入可得a＝－15．

【易错警示】函数f（x）的定义域为某区间，则该区间为函数有意义的最大范围；函数f（x）在某区间上有意义，则该区间是函数定义域的子集．另外在使用换元法解决问题时，要注意引入的新元的取值范围．

（作者单位：河北省邯郸市永年县第二中学）