探究特殊与一般思想在高考中的应用

2016-03-18甘肃王新宏

教学考试(高考数学) 2016年3期

甘肃王新宏

探究特殊与一般思想在高考中的应用

甘肃王新宏

纵观近几年的各地高考试卷的最后一道（或几道）选择题或最后一道填空题，不难发现这些把关题体现特殊与一般数学思想，这些试题集中考查了考生独立思考、自主探究的能力，很好地区分了考生的数学素养与思维品质，以及今后学习数学的潜质，既充分体现了考生的知识技能和思维方法，也给灵活多变的思维，收放自如的想象留下了更大的发挥空间．

数学思想方法的考查是对考生的数学知识更高层次上的考查，特殊与一般思想是课标课程高考课程的数学思想之一，高考数学中对它的考查方式主要有：通过寻求特殊值、特殊点、特殊数列、特殊的位置关系等来研究解决不确定问题、运动变化问题、抽象问题等．

解题时若能注意到问题的特殊性，进而分析考虑有无可能把待解决问题转化为特殊问题或极端情形，不仅是可行的，而且会事半功倍．

一、特殊化思想PK一般化思想

在一些高考的把关小题上，既能用一般化的数学思想方法解决，又能用特殊化的数学思想方法解决，但一般性解决时，要么思维上有难度，要么运算上烦琐，考生较难找到解决问题的切入点，浪费了宝贵的时间，效率低下，反之若用特殊化数学思想解题，则有效地降低了思维的难度和运算量，效率又高，下面请读者自己辨别、思考、领悟．

1．在函数中PK

在求参数范围、函数图象等函数问题中，命题者精心策划，刻意安排考查特殊与一般的数学思想，看你能否想到通过构造特殊函数，寻找特殊点、特殊值来解决这类问题．

【例1】（2015·全国Ⅰ卷理·12）设函数f（x）＝ex（2x－1）－ax＋a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）

【解析1】（一般化思想）

设g（x）＝ex（2x－1），h（x）＝ax－a，由题知存在唯一的整数x0，使得g（x0）在直线y＝ax－a的下方；因为，所以当时，g′（x）＜0；当x＞时，g′（x）＞0．

【解析2】（特殊点）

仔细观察可发现f（0）＝a－1＜0，所以由题意知x0＝0，，结合已知得，故选D．

【点评】只要分析出x0＝0，问题也就随之破解．数学不是缺少美，而是缺少发现美的智慧．

【解析3】（特殊值）

【点评】特例排除法是解决一般化思想不好做而常用的行之有效的一种解题方法．

【例2】（2015·全国Ⅱ卷理·10）如图2，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x．将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（）

图2

【解析】（特殊值法）

【点评】小题要巧做，赢得时间就是赢得高分的保证．

2．在三角函数问题中PK

一些四边形中的三角函数问题或是涉及三角函数的图象问题，难以找到解决问题的切入口，可通过构造满足题意的特殊的三角形，让问题的实质原型暴露出来，或是绘出满足题意的一个特殊的三角函数图象，借助图象的直观性，快速准确地解决此类问题．

【例3】（2015·全国Ⅰ卷理·16）在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75o，BC＝2，则AB的取值范围是_____________．

【解析】（特殊图形）

如图3所示，延长BA，CD交于E，平移AD，当A与D重合与E点时，AB最长，在△BCE中，∠B＝∠C＝75°，∠E＝ 30°，BC＝2，由正弦定理可得平移AD，当D与C重合时，AB最短，此时与AB交于F，在△BCF中，∠B＝∠BFC＝75°，∠FCB＝30°，由正弦定理知，即，所以AB的取值范围是

【点评】填空题末题往往切入难且运算繁，区分度强．善于通过联想，把所求知识与自己所掌握知识恰当融汇，是一种数学能力的体现．

【点评】此题大部分学生缺乏找“特殊图形”的意识，难以优质高效地解决此题；通过长时间的教育教学，我们发现数学成绩优异的学生与普通学生相比，差别主要有两点，第一：会不会合理地将问题等价转化为熟悉的问题来解决；第二：会不会运用数形结合的思想方法解题．

3．在数列问题中PK

一些高考数列问题，初看比较抽象复杂，很难下手，如果使问题退化到最为简单的“原始”特殊数列就可化抽象为具体，变复杂为简单，问题也就迎刃而解了，总之，以退为进，退到一个能够下手处理的位置，从而达到解决一般问题的目的，可谓“退一步海阔天空”．

A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C．p是q的充分必要条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

【解析】（特殊数列）

取大家最熟悉的等比数列an＝2n，代入q命题（不妨让n＝3）满足，再取an＝3n代入q命题（不妨让n＝3）也满足，反之取a1＝a2＝a3＝…＝an＝0，满足q命题，但不满足p命题，故p是q的充分条件，但不是q的必要条件．

【点评】这类题，一般性方法很难解决，但特殊数列法思路简单，运算直接明了．能得分的方法都是好方法，取特例时，越简单越熟悉越好．简单也是数学的一种美．

4．在立体几何问题中PK

立体几何中有关运动变化的点（或图形）的问题，常考虑极限位置，特殊化处理，往往收到意想不到的效果，真叫人拍案叫绝，连声叫好．

【例6】（2015·浙江理·8）如图5，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′—CD—B的平面角为α，则（）

A．∠A′DB≤α B．∠A′DB≥α

C．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α

【解析1】（一般化思想）

如图6所示，设∠ADC＝θ，AB＝2，则由题意知AD＝BD＝A′D＝1，在空间图形中，连接A′B，设A′B＝t，在△A′DB中，过A′作A′N⊥ DC，过B作BM⊥DC，垂足分别为N、M，过N作NP瓛MB，使四边形BPNM为矩形，则NP⊥DC，连接A′P，BP，则∠A′NP就是二面角A′—CD—B的平面角，所以∠A′NP＝ α，在Rt△A′ND中，DN＝A′Dcos∠A′DC＝cosθ，A′N＝A′Dsin∠A′DC＝sinθ，同理，BM＝PN＝sinθ，DM＝cosθ，故BP＝MN＝2cosθ，显然BP⊥平面A′NP，故BP⊥A′P．

因为α，∠A′DB∈［0，π］，而y＝cosx在［0，π］上为减函数，所以α≤∠A′DB，故选B．

【点评】太烦琐了，这绝不是命题者的初衷，更不是数学的追求，根本无法体现数学的美与精神．

【解析2】（极限位置）

若CA≠CB，则当α＝π时，∠A′CB＜π，排除D；当α＝0时，∠A′CB＞0，∠A′DB＞0，可排除A、C，故选B．

【点评】大浪淘沙始见金，想得越深刻，思考得越开放，方法就越简单，越能体现数学的美与精神．

5．在圆或圆锥曲线问题中PK

一些有关直线与圆或圆锥曲线的问题中，总让人有蒙着一层神秘的面纱，或是雾里看花的感觉，题目中点多，未知的量较多，运动的点也较多，如何透过层层迷雾，摘掉它的神秘面纱，这就需要用特殊化思想找到特殊的点（或线、曲线），从而迅速破解问题．

【例7】（2014·湖北文·17）已知圆O：x2＋y2＝1和点A（－2，0），若定点B（b，0）（b≠－2）和常数λ满足：对圆O上任意一点M，都有｜MB｜＝λ｜MA｜，则（Ⅰ）b＝________；（Ⅱ）λ＝________．

【解析1】（三角换元）

在圆O上任意取一点M（cosθ，sinθ），则由｜MB｜＝λ｜MA｜可得（cosθ－b）2＋sin2θ＝λ2［（cosθ＋2）2＋sin2θ］，整理得1＋b2－

【解析2】（特殊点）

既然对圆O上任意一点M，都有｜MB｜＝λ｜MA｜，使得λ与b为常数，那么我们何不把点M取为特殊点呢？取M（1，0）与M（0，1）代入｜MB｜＝λ｜MA｜得：

【点评】大部分考生想不到特例法，主要原因是他对特殊与一般的数学思想理解得不够深刻，不够到位，再加上平时训练的又较少甚至没有，故想不到简便的解题策略．

6．在抽象函数中PK

在抽象函数中，只有根据具体情况巧妙赋值，方可化“腐朽”为“神奇”．

【例8】（2015·福建理·10）若定义在R上的函数f（x）满足f（0）＝－1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定错误的是（）

【解析1】（一般化思想）

二、有直接法可用吗？

在用坐标法求解的向量问题，大多数抽象函数问题，不确定函数问题，某些数列性质的探究问题，不是不想用一般化思想方法解题，而是有一般化思想方法可用吗？请看以下几例．

A．13B．15C．19D．21

【点评】坐标化是处理平面向量问题最简单，最有效的方法．

【分析】抽象函数问题，信息量比较大，所以会使有些学生在解答中出现慌乱，只有巧妙赋值，方可化“腐朽”为“神奇”．

【点评】巧妙赋值，合理转化变形是突破这类问题的关键．

【例11】（2015·浙江理·7）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）

A．f（sin2x）＝sinx B．f（sin2x）＝x2＋x

C．f（x2＋1）＝｜x＋1｜D．f（x2＋2x）＝｜x＋1｜

【分析】本题主要考查函数的概念，即对于任意变量x有唯一的y与之相对应；考生可通过举反例排除．

【点评】特值排除法是解决此类问题的一个良方．

【例12】（2015·北京理·6）设｛an｝是等差数列．下列结论中正确的是（）

A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0

B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0

C．若0＜a1＜a2，则a2＞

D．若a1＜0，则（a2－a1）（a2－a3）＜0

【解析】对于A与B，令a1＝2，a2＝－1，则a3＝－4，a2＋a3＝－5＜0，a1＋a3＝2a2＝－2＜0，但a1＋a2＝1＞0；对于C，由0＜a1＜a2，可知等差数列｛an｝为递增数列，所以a3＞0，且；对于D，设d为公差，则（a2－a1）（a2－a3）＝－d2＜0；故选C．

【点评】灵活应用等差数列的性质和基本不等式的知识是解决此题的关键．

三、特例探路，结合演绎推理得出一般结论

由特殊探路，让合情推理与演绎推理协同作战来解决一般性问题，解题的过程就会层次分明，显得非常优美，提高了数学思维的流畅性，这也是数学中特殊与一般思想的重要体现．

【例13】（2014·新课标Ⅱ理·16）设点M（x0，1），若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．

【解析】如图8，点M（x0，1）在直线y＝1上，且y＝1与圆O：x2＋y2＝1相切于点M（0，1），此时圆O：x2＋y2＝1上存在点N（1，0）或N（－1，0），使得∠OMN＝45°；当点M为（－1，1）或（1，1）时，作圆O的切线，得切点为N（1，0）或N（－1，0），使得∠OMN＝45°，满足题意；故当M（x0，1）中的－1＜x0＜1时，过点M（x0，1）作圆O的切线，切点为点N′，则∠OMN′＞45°，所以在圆O上存在点N，使得∠OMN＝45°；若x0＜－1或x0＞1时，过点M（x0，1）作圆O的切线，切点为点N′，则∠OMN′＜45°，所以在圆O上不存在点N，使得∠OMN＝45°．