“超级全能生”2016高考全国卷26省联考（甲卷）（本试卷适用于使用全国卷Ⅱ地区）

“超级全能生”2016高考全国卷26省联考（甲卷）（本试卷适用于使用全国卷Ⅱ地区）

（时间：120分钟 满分：150分）

［编者按］本次考试由新东方优能中学、《教学考试》杂志社共同发起组织，全国26个省市的数十万考生参加，试题创新度较高，吻合高考命题趋势，本刊特刊发以供广大读者考前模拟检测，希望对大家备考有所帮助。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1．（理）已知集合B＝｛1｝，C＝｛3｝，A∪B＝｛1，2｝，则（ ）

C．A∪C＝｛1，2，3｝D．A∪C＝｛2，3｝

（文）已知集合B＝｛1｝，A∪B＝｛1，2｝，则A＝（ ）

C．｛1，2｝D．｛2｝或｛1，2｝

A．－1－2iB．－1＋2i

C．1＋2iD．1－2i

3．（理）掷一枚均匀的硬币4次，则出现正面的次数多于反

面的次数的概率为（ ）

（文）掷一枚均匀的硬币4次，则出现“3次正面朝上，1次反面朝上”的概率为（ ）

4．“xy≠0”是“x≠0”的（ ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

5．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回3个伙伴；第2天有4只蜜蜂飞出去各自找回了3个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂．（ ）

A．972B．1 456

C．4 096D．5 460

6．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图与侧视图完全一样，俯视图的外框为正方形，则这个几何体的表面积是（ ）

A．80－2πB．80

C．80＋4πD．80＋6π

A．y＝－tanx

C．y＝sin2x＋cos2x

D．y＝2cos2x－1

A．f（x）＝ax＋b

B．f（x）＝xa

C．f（x）＝logax（a＞0，a≠1）

D．f（x）＝x2＋ax＋b

12．以下关于x（x≥0）的不等式ln（x＋1）＋kx2－x≥0的结论中错误的是（ ）

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．等腰直角三角形的直角顶点位于原点，另外两个点在抛物线y2＝4x上，则这个等腰直角三角形的面积为________．

14．（理）若关于x的不等式－x2＋x＞mx的解集为｛x｜－1＜x＜0｝，则二项式（1＋mx）2016的展开式中x的系数为____________．

（文）若关于x的不等式－x2＋x＞mx的解集为｛x｜－1＜x＜0｝，且函数f（x）＝x（x－m）2在x＝n处有极小值，则n＝_____________．

15．（理）等比数列｛an｝，an＞0，a1＝256，S3＝448，Tn为数列｛an｝的前n项乘积，则当Tn取得最大值时，n＝_____________．

（文）等比数列｛an｝，an＞0，a1＝256，S3＝448，Tn为数列｛an｝的前n项乘积，则T17＝_____________．

16．（理）已知向量a＝（m，n），b＝（1，1），满足a·b≥2，且a·（a－2 b）≤0，则a·b的取值范围是____________．

（文）已知向量a＝（m，n）（m≥0，n≥0），b＝（2，－3），c＝（3，－2）满足a·b≥－3，且a·c≤3，则｜a｜的最大值为____________．

三、解答题（本题共6小题，共70分）

17．（12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若

2sinB－sinC＝2sin（A－C）．

“骰子”有6个面，相对面点数的和为7，如果将一摞骰子摆起来，只看到最上面的骰子朝上一面的点数就可以知道这一摞骰子“看不见”的所有面的点数之和（若有a颗骰子，最上面一粒骰子朝上的点数为b，则“看不见”的点数之和为

（1）求cos A；

18．（12分）（理）某超市某种面包进货价为每个4元，实际售价为每个4．5元，若当天不能卖完，就在闭店前以每个3元的价格全部处理．据以往统计日需求量x（单位：个）的情况如下：

日需求量x __（0，400］（400，600］（600，800］（800，1 000］____频率____ ___0．2 0．4 0．3 0．1____

若某日超市面包进货量为600．

（1）若以日需求量x所在区间的中间值为估计值，根据上表列出当日利润y的分布列；

（2）估计超市当日利润y的均值．

（12分）（文）某毕业班统计全班40名学生报名参加学科竞赛和报名参加自主招生的数据如下：（1）从该班随机选1名同学，求该同学仅报名参加其中一项的概率；

报名参加学科竞赛未报名参加学科竞赛_报名参加自主招生6 28________ 2 4________未报名参加自主招生

19．（12分）已知三棱柱ABC—A1B1C1，侧棱AA1垂直于底面ABC，∠ABC＝，AB＝BC＝AA1＝4，D为BC的中点．

（1）若E为棱CC1的中点，求证：DE⊥A1C；

（2）（理）若E为棱CC1上异于端点的任意一点，设CE与平面ADE所成角为α，求满足时CE的长．

（2）（文）若E为棱CC1上异于端点的任意一点，当三棱锥C1—ADE的体积为时，求异面直线DE与AC1所成角的余弦值．

（1）求椭圆C的方程；

（1）求函数的单调性；

请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（10分）选修4－1：几何证明选讲如图所示，AB为圆O的直径，BC，CD为圆O的切线，B，D为切点．

（1）求证：AD∥OC；

（2）若圆O的半径为1，求AD·OC的值．

23．（10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知A，B（不与原点O重合）分别在圆C1：（x－2）2＋y2＝4与圆C2：（x－1）2＋y2＝1上，且OA⊥OB．

（1）若以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当A的极角为时，求A，B的极坐标；

（2）求｜OA｜·｜OB｜的最大值．

24．（10分）选修4－4：不等式选讲

如果关于x的不等式｜x－3｜＋｜x－4｜≤｜a｜的解集为空集．

（1）求实数a的取值范围；

（2）若实数b与实数a取值范围完全相同，求证：｜1－ab｜＞｜a－b｜．

参考答案

1．（理）B （文）D

2．A

3．（理）C （文）B

4．A 5．C 6．C 7．C 8．B

9．（理）D （文）D

10．（理）B （文）A

11．D 12．B 13．16

14．（理）4 032 （文）2

15．（理）8或9 （文）1

18．（理）解：（1）若以日需求量x所在区间的中间值为估计值，则其分布列为

当x＝200时，y＝200×（4，5－4）－（600－200）×1＝－300；（3分）

当x＝500时，y＝500×（4，5－4）－（600－500）×1＝150；（4分）

当x＝700时，y＝600×（4，5－4）＝300；（5分）

当x＝900时，y＝600×（4，5－4）＝300．（6分）

所以当日利润y的分布列

（2）Ey＝－300×0．2＋150×0．4＋300×0．4＝120（元）．（12分）

（文）解：（1）设从该班随机选1名同学，该同学仅报名参加其中一项的事件为A，则．（4分）

（2）设报名参加自主招生的同学中任取2人，恰好1人两项都报名的事件为B，设参加两项的2名同学分别为a，b，仅参加自主招生的4名同学分别为c，d，e，f，（6分）

从报名参加自主招生的同学中任取2人有ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，共15种．（8分）

其中恰好1人两项都报名的情况的有ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，共8种（10分）

解得T（0，1）．（10分）

当直线l0的斜率不存在时，易知A（0，1），B（0，－1），则圆的方程为x2＋y2＝1，

易知过T（0，1）（11分）

综上所述，存在定点T，其坐标为T（0，1）．（12分）

21．解：（1）y＝f（x）的定义域为｛x｜x＞0｝，（1分）

令f′（x）＞0，x＞1，令f′（x）＜0，0＜x＜1，（3分）

所以原函数的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0，1）．（4分）

（2）由（1）知y＝f（x）的最小值为f（1）＝0，（5分）

22．解：（1）连接BD，OD，∵CB，CD是圆O的两条切线，∴BD⊥OC．

∴∠ODB＋∠DOC＝90°．（1分）

又AB为圆O的直径，∴AD⊥DB，∴∠ADO＋∠ODB＝90°，（2分）

∴∠DOC＝∠ADO，（4分）

∴AD∥OC．（5分）

（2）∵AO＝OD，∴∠DAO＝∠ADO＝∠DOC，（6分）

∴Rt△BAD∽Rt△COD，（8分）

AD·OC＝AB·OD＝2．（10分）

23．（1）圆C1：（x－2）2＋y2＝4的极坐标方程为ρ＝4cosθ，（1分）

圆C2：（x－1）2＋y2＝1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，（2分）

所以y＝f（x）的最小值为1，（3分）

所以｜a｜＜1．（5分）

（2）由（1）｜a｜＜1，所以｜b｜＜1，（6分）

因为（1－ab）2－（a－b）2＝（1－a2）（1－b2），（8分）

而｜a｜＜1，｜b｜＜1，

所以a2＜1，b2＜1，（9分）

所以原不等式得证．（10分）