以思想方法为线索设计数学混合式微课程

【摘 要】同一数学思想方法蕴含于多个数学学科中，每一门数学学科也含有多种数学思想方法；设计微课时先确定重点要体现的思想方法，根据数学思想方法选择微课内容，通过学习资源、活动与评价促使学生理解蕴含于知识中的思想方法并会应用，实现深层次学习。

【关键词】微课程 数学思想方法 混合式

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2016）01C-0137-03

信息技术的发展推动教育形式变革，将教育模式与教育理念带入“微课程时代”，各级各类微课程制作与评比活动蓬勃开展。在众多网络提供的数学微课程中，可以看到设计者在设计微课程的学习资源时，对于新技术的运用非常成熟，视频、音频、动画等各种素材兼备，但比较其中优秀者与普通者，可以发现：好的微课程需要体现本学科的核心元素——蕴含于知识中的思想方法。如果仅停留在知识堆积、素材拼搭的程度，这样的微课程缺乏灵魂，不能振聋发聩、促人深省。

数学思想是指人们对数学内容本质的认识。数学方法是在数学思想指导下，进行数学活动过程中所采用的各种措施、方式、途径等。数学方法是数学思想的具体化。实际中两者通常结合在一起称为“数学思想方法”。数学思想方法蕴含于数学知识与数学活动之中，掌握一定的数学知识是领会数学思想方法的前提；而掌握数学思想方法之后能更深刻理解数学知识，促进深层次学习和应用。下面以线性代数和概率论与数理统计为例，分别探讨以思想方法为线索设计数学混合式微课程。

一、线性代数微课程设计研究

（一）线性代数中的数学思想方法

1.化归思想

化归思想是将现有问题转化为较易解决的问题或已有解决方案的问题的数学思想。如：解方程中通过恒等变形将一般方程化为最简形；几何证明中通过逻辑演绎推理论证的过程；解析几何中通过坐标变换将曲线方程化为标准型的过程等。线性代数主要研究三大问题：解多元线性方程组、化二次型为标准型、化简多元线性变换，这三个问题中均含有化归思想，可归结为矩阵的转化问题。如：在线性变换Y=AX最简化过程中，需对矩阵A作相似变换P-1AP转化为它的相似矩阵；在线性方程组AX=b的求解过程中，需用初等变换将矩阵A转化为它的等价矩阵。

2.数形结合思想

数形结合思想是综合应用代数方法与几何方法，以形明数、以数析形的数学思想。一方面通过直观图形阐明数量间关系，另一方面根据数量关系分析几何图形特征与变化规律。解析几何是数形结合的典范。通过向量建立点与有序数组间的一一对应关系，将位置量化，进而将曲线及曲面看作动点的轨迹，建立曲线及曲面的方程。线性代数中许多概念与解析几何相呼应。三元线性方程的行向量对应三维欧式空间中的向量，构成三维行空间。推广到n元，在n维欧式空间中应用坐标、正交、基、维数、子空间等概念，确定n元线性方程组解的存在性，解的形式等。解析几何为线性代数提供直观解释，这是数形结合思想的一大应用。

3.近似替代思想

近似替代思想是在局部用简单函数替代复杂函数的思想。在一元函数近似计算中，需要讨论在某个点的邻域内用一次函数近似替代复杂函数，即在局部用直线近似替代复杂曲线问题。将近似计算问题从一元推广到多元，就产生多元函数的近似替代问题，它促进线性代数的产生。多元光滑函数当自变量改变很小时接近于某个线性函数，就是它的全微分。多元光滑函数的全微分是自变量增量的线性齐次函数。因而研究多元函数局部性质的问题转化为研究多元线性函数问题。

（二）以数学思想方法为线索设计线性代数微课

线性代数课程中主要的数学思想方法是化归思想，下面以化归思想为例，探讨如何将思想方法作为贯穿教学内容的线索设计微课程。

在设计教学内容“解多元线性方程组”时，说明对多元线性方程组的系数矩阵做初等变换的目的和结果，指出系数矩阵的最简形有利于快速确定基础解系。在设计教学内容“线性变换”时，说明通过对线性变换的系数矩阵做相似变换可以将线性变换的矩阵化简，从而能得到相对简洁的形式。在设计教学内容“二次型”时，说明通过对二次型的对应矩阵做合同变换，将二次型的矩阵化简为对角形，从而化简二次型表达式。

以微课“矩阵乘法”为例，矩阵乘法是一种特殊运算，属于基本概念课。如果不呼应整体课程蕴含的化归思想，将是一节平平淡淡的课。但如果在设计中考虑到矩阵乘法是实现化归思想的基本步骤，矩阵的各种变换都是通过矩阵乘法实现的，那就赋予这节课灵魂。在这节微课中，首先通过实例说明矩阵乘法产生的背景，从实例中提出问题：从“各单位需求原料表与各种原料价格表”这两张数表中，如何快速得出每个单位需求原料的总价格？通过这个问题引导学生思考这种矩阵间的运算该如何操作，共同分析后得出将需求表与价格表中对应数据先相乘再相加的运算规则，并将这种运算定义为矩阵乘法。“需求表与价格表”实例表明在实际工作中运用矩阵乘法能够简化运算，同时指出由于实际意义不同，矩阵左乘与右乘不一定都能实现。而后将内容深化，说明矩阵乘法是矩阵变换的基本形式，为后文讲述矩阵变换做铺垫。最后介绍矩阵乘法在计算机作图方面的应用：改变图形形状、图形锐化、图形加密等。

二、概率论与数理统计微课程设计研究

（一）概率论与数理统计中的数学思想方法

1.随机思想

随机思想是用确定性方法来研究不确定性现象的数学思想。随机变量是概率论中的重要概念，用随机变量X属于某个实数集S来表示随机事件，则概率P{X∈S}随之唯一确定。这样以数集S为自变量，以概率P{X∈S}为因变量得到随机变量X的取值规律。在此基础上定义离散型随机变量的概率分布律、分布函数和连续型随机变量的概率密度、分布函数。

2.极限思想

极限思想是指在运动变化过程中研究无限逼近问题的数学思想。在概率论中，大数定律与中心极限定理都用到了极限思想。伯努利大数定律表明当n充分大时，事件“频率与概率P的偏差小于ε”是几乎必定要发生的。它说明了频率的稳定性，奠定概率论的基础。中心极限定理表明当n充分大时，独立同分布随机变量X1，X2，…，Xn的算术平均近似服从正态分布。这一结果是数理统计中大样本理论的基础。

3.统计推断思想

统计推断思想是根据随机样本统计特征估计、推测总体概率特征的一种数学思想。数理统计以概率论为基础，通过分析样本数据，从而对研究对象总体的分布、数字特征或总体间的性质做出估计和判断。常见的统计方法有：参数估计、假设检验、方差分析、回归分析等。作为数理统计的延伸，统计学在社会科学中应用广泛。著名数学思想家M·克莱茵说过：对于统计学来说，如果仅仅进行收集、统计并不是一种新思想，它的新颖之处在于统计方法能够作为一个重要的方法来处理社会科学问题。

4.公理化思想

公理化思想是从尽可能少的原始概念和公理或公设出发，利用纯逻辑推理原则，把一门数学学科建立成为演绎系统的数学思想。公理化思想是常见的数学思想方法，在概率论中表现得较为突出。

概率中最基本的三个概念为：样本空间Ω、事件域R和概率P，它们描述了一个随机试验的基本组成部分，是概率论中的原始概念。其中概率P被定义为建立在样本空间Ω中事件域R上且满足三个条件：非负性、规范性、可列可加性的实值函数。概率定义中的三个条件就是三条公理，由这些公理出发可推出概率的其它一些性质，如：不可能事件的概率为0、有限可加性、减法公式等，进而导出一般加法公式、条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式等，形成完整的公理化结构系统。

5.模型思想

模型思想是把所考察的实际问题抽象为数学问题，根据数量关系构造数学模型，研究模型以解决问题的一种数学思想方法。数学模型是由数字、字母、符号组成的描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。模型思想广泛存在于各个数学学科中。概率论与数理统计课程与实际联系紧密，其中大量的概念、公式来源于诸如古典概型、各种随机变量、参数估计、假设检验、可靠性等问题的研究，解决这些问题需要用到模型思想。模型思想实际就是应用数学的思想，是最重要的数学思想。

（二）以数学思想方法为线索设计概率论与数理统计微课

在概率论中，实现思维从确定性到不确定性的转变是一方面，采用确定性方法分析、研究不确定性现象是另一方面，蕴含其中的主要是随机思想。在教学设计中既要注重案例分析，通过案例分析揭示随机现象的特征及其中蕴含的规律；又要强调用确定性方法分析不确定性现象的特点，研究随机变量的概率分布、数字特征等特性，对随机现象整体规律做出描述。

如微课“贝叶斯公式”，贝叶斯公式描述两类随机事件分别先后发生时条件概率间的关系，是根据先验概率计算后验概率的概率公式，是概率教学中的难点。贝叶斯公式中用到条件概率、乘法公式、全概公式，是对概率公式的综合应用，也是对各类随机事件的综合事件的整体处理。设计好“贝叶斯公式”这节课是促进思维从确定性到不确定性的转变的关键步骤。在微课设计中，首先讲解案例“刺杀里根总统”，辩护律师指出凶手Hinckley患有脑萎缩，因而为Hinckley做无罪辩护。通过这个案例提出问题：已知美国正常人患脑萎缩的概率为0.02，精神病患者患脑萎缩的概率为0.3，精神病患者占美国总人口的1.5%，分析凶手Hinckley患有精神障碍的可能性。经过分析研讨，得出判断Hinckley是否患有精神障碍的公式，即贝叶斯公式。然后指出在“概率论”中有一类问题需要根据已有的条件概率来反推当前提条件发生转换时的概率，解决这类问题就需要用到贝叶斯公式。最后介绍贝叶斯公式在生产与决策方面的应用。

同一数学思想方法蕴含于多个数学学科中，每一门数学学科也含有多种数学思想方法。设计微课程时先确定重点要体现的思想方法，根据数学思想方法选择微课程内容，在每节微课中采用典型素材进行设计。案例分析中提供的两节微课分别以线性代数中的化归思想和概率论与数理统计中的随机思想为主导思想，通过典型素材教学活动引发学习者深度思考，促进学生理解蕴含于知识中的深层思想方法。这样的微课不再是“知识+练习”的“记忆+训练”模式，它启发学生理解基本思想、掌握基本概念与理论，将二者融汇贯通，达到对知识的深化理解。

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