关于幂函数教学的思考

2016-02-16湖北省武汉市黄陂区第六中学

中学数学杂志 2016年1期

☉湖北省武汉市黄陂区第六中学　梅　磊

关于幂函数教学的思考

☉湖北省武汉市黄陂区第六中学梅磊

幂函数这部分内容在高中数学教学中可谓是波折较多，传统教材对这一块要求较高，但过渡教材删除了这一部分内容，新课标教材又重新增加了这一节内容，而上海高中数学教材一直有这一部分内容.单从这个变化过程也体现了幂函数在整个高中数学中的地位是不可或缺的，也是指数函数和对数函数不可替代的.

《全日制中学数学教学大纲（修订本）》要求：使学生掌握幂函数的概念及其图像、性质.《普通高中数学课程标准（实验）》建议：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x，y=x2，y=x3，的图像，了解它们的变化情况.利用计算工具，比较指数函数、对数函数及幂函数的增长差异.结合实例体会不同函数类型增长的含义.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用.《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》指出：知道幂函数的概念，以及所研究的幂函数的幂指数以简单的幂函数为例，研究它们的性质，体验研究函数性质的过程和方法.

新课标教材只讲5个具体幂函数性质，给人一种只见树木，不见森林的感觉，使得本来可以整理成的体系支离破碎，给学生以盲人摸象的感觉，不利于学生的知识体系、方法体系的形成和发展，而且严重缺乏“数学味”.

新课程改革实施后，有些内容作了一些形式上的淡化，其目的是便于学生的理解和掌握.但学生若没有弄清内涵，反而影响了其对基本内容的理解，所以淡化形式不能淡化内涵.

人教A版教材在必修1第二章小结中提出：讨论一类函数的性质，实际上就是探究这类函数有哪些共同的特征.你能根据这样的思想，结合函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，的图像，讨论一下幂函数y=xα（α∈R）的基本性质吗？

笔者认为仅结合函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，的图像，不易得出幂函数y=xα（α∈R）的基本性质.

而函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，只含上述5种情况.

好在是人教A版教材有下列两道习题，又增加了两种情况：

第二章复习参考题A组第10题：已知幂函数y=f（x）的图像过点试求出此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性.（隐含幂函数

既便如此，仍然不易得出幂函数y=xα（α∈R）的基本性质，笔者认为最好再补充人教B版教材的一道例题和两道习题.

因此本人通过对传统直板PBL连接件进行结构改进，提出了一种新型PBL连接件——波形PBL连接件，如图2所示.同时本文仅对贯穿钢筋在波形PBL连接件中的影响进行研究.

特别要指出的是人教B版教材§3.3幂函数例2是一个很好的例题，先分析函数的定义域和奇偶性，再作出其图像，最后得到单调性.

人教A版教材试图强调对学生数形结合能力的培养，先作图，再观察，再总结.这不适合我们平时所讲的函数研究的方法，如果学生对所给函数一无所知，他们怎么描点作图呢？显然是通过函数解析式特点，定义域、单调性、奇偶性等代数方法解决一些性质作研究，为描点作图作准备，再描点作图，从图像上更直观、更全面地了解和把握函数性质，因此函数图像及各方面性质本是一个相互促进、互动的过程，尤其面对一个新函数，应当先了解诸如定义域、值域、单调性、奇偶性等问题后，再来作其图像进一步研究.

在补充了上述例题和习题后，我们就可以得出幂函数y=xα（α∈Q）的基本性质.

首先通过学生的讨论明确幂函数的概念，形如y=xα（α∈R）的函数，称为幂函数.高中阶段我们只学习α为有理数的情况.

然后是幂函数图像的教学，应该通过幂函数的概念明确所有的幂函数在第一象限均有图像，我们的重中之重是了解幂函数在第一象限的图像，然后根据奇偶性判定在其他象限的情况，如奇函数除第一象限外再根据关于原点对称在第三象限找，偶函数再根据关于y轴对称在第二象限找，非奇非偶的就只有第一象限了，另外所有幂函数在第四象限均无图像.找好分界点，有利于了解幂函数y=xα（α∈Q）在第一象限内的基本性质：

（1）当α<0时，这一类幂函数的代表是y=x－1，它的图像在第一象限是单调递减且下凸的；

（2）当α=0时，这个幂函数就是y=x0，它的图像是一条水平的直线（去掉与y轴的交点），在第一象限就是水平射线；

（4）当α=1时，这个幂函数就是我们熟悉的y=x，一条递增的直线，也就是第一、三象限的角平分线，它的图像在第一象限是递增直线；

（5）当α>1时，这一类幂函数的代表是y=x2，我们所熟悉的抛物线，它在第一象限是递增且下凸的.

了解了这五类幂函数的图像在第一象限的情况，也就了解了所有幂函数的图像在第一象限的情况，再根据奇偶性即可判断有关幂函数的图像在其他象限的情况.

再如，研究函数y=x3的图像，首先明确它的幂指数是属于第五类，在第一象限是下凸的（根据课本结论过原点及（1，1）），很容易画出其在第一象限的草图，再根据所学幂的知识判断它为奇函数，关于原点对称，把图像在第三象限的部分补全就可以了.

当然若函数非奇非偶，那么其图像也就只有第一象限了.

讲了这些，学生很容易自己了解这个程序，拿到一个幂函数后，首先根据分类找到第一象限的情况，然后判断奇偶性，把图像补全.此外，让学生多画几个幂函数的图像也不难发现随着幂指数的变化，幂函数的图像在第一象限是有规律的.

实际上，幂函数只要突破了图像这一关，性质也就自然很简单了，因为画图像的过程已经分析了一些性质，其他性质通过图像也不难得到.

以上笔者对幂函数教学作了一些思考和探讨.笔者的思考也许是幼稚的，认识也许是肤浅的，但总可以抛砖引玉，供方家批评指正.

1.中华人民共和国教育部.全日制中学数学教学大纲（修订本）［M］.北京：人民教育出版社，1990.

2.人民教育出版社数学室.高级中学课本·代数·上册（必修）［M］.北京：人民教育出版社，1990.