数学教学要重视核心知识的“核效应”

☉福建省福州第三中学　林　风

数学教学要重视核心知识的“核效应”

☉福建省福州第三中学林风

数学教学内容虽然纷繁复杂、纵横交错，但每节课都有居于教学内容中心的核心知识，它们是每节课的主干，也是课堂教学的关键.正如章建跃博士所言“数学核心知识是数学课程内容结构和功能的基本单位”，这些核心知识具有超越课堂之外的持久价值和迁移价值的概念、方法和技能，是整个教学活动链条的关键链环，是推动教学活动的轴心和栖息地.当下数学课堂教学普遍存在“内容多但缺核心少味道，有知识但缺思想”的现象，多为繁杂冗余的知识技能枝节所羁绊，为反复重叠的题海所困扰，疲惫不堪却不得要领.如何在课堂教学中理解、寻找和把握核心知识，发挥核心知识的“核效应”是教学是否能够有效落实课程目标、体现数学本质和促进课堂有效生成的关键，笔者从以下四个方面浅谈一些教学体会和思考.

一、从数学内涵上理解核心知识的本质性

数学的概念、性质、定理和公式是教学的主要内容，从中寻找和把握数学的核心内容是课堂教学的重中之重.数学的核心知识是指位于学科中心的概念性知识（重要概念、原理、规律、理论等的基本理解和解释以及数学发展过程中所形成的基本思想和方法），这些内容能够展现当下学习的途径，具有前沿性、纲领性、思想性和延续性，是学科结构的主干部分.同时核心知识又具有双重特性，即表观特征和本质特征，表观特征是外在的、宏观的和表象的，而本质特征则是内隐的、微观的和本质的.

著名的数学家、数学教育家赫斯指出：数学教学的问题“并不在于教学的最好的方式是什么，而在于数学到底是什么……如果不正视数学的本质问题，便解决不了关于教学上的争议”，如何深刻理解和诠释教学内容中的核心知识是教学的首要任务.照本宣科、依样画葫芦的教学只能蜻蜓点水，浮光掠影，死背硬记，套题应试.重视知识的机械记忆和表层运用，以及知识在学习过程中的程序性和操作性的作用，死抠知识的一些“犄角旮旯”，力求通过大量的题型和练习让学生记住概念、定理、公式，掌握解题步骤，学会应用技巧，懂得应付考试，在一定的情况下可能可以帮助学生对知识的“工具性理解”.但是往往会肢解或淡化数学内在的“关系性理解”，因此难免隔靴搔痒，甚至相去甚远.

以《函数的单调性》为例，不少教师在单调性教学中把重点放在单调性的证明、单调区间的求解、含参数函数单调性的讨论，力求把“取点、作差、变形、定号、作答”形式化的操作作为教学的落脚点，开门见山，直奔解题，无疑这些内容也是本节课的重要组成部分，但仅此还不能体现概念的核心和本质.事实上，单调性是学习函数定义之后的一个重要核心概念，是反映函数变化规律的最基本的性质（第一个函数性质），也是学生在高中阶段遇到的第一个用数学符号语言刻画的概念，对进一步学习函数的其他性质具有示范和引领作用.因此需要从知识的特点、教材的地位和学生的认知特点出发思考《函数的单调性》是如何从浅表直观抽象到理性解析，从松散零散中贯通成一脉相承的知识链.教学中有两条关键的线索：①初中对函数图像性质的研究以直观感知的经验性认知为基础（能说出函数图像上升还是下降，并会画图说明），高中的单调性研究则以抽象的形式化（符号化）分析为手段，要求能用符号形式表述和理解函数的单调性，并能加以证明；②从函数的整体宏观的感知（图像）开始走向通过“算法”（数学化）研究局部微观法”，从函数三要素（函数的宏观感知）的学习到定义域上的某一区间上函数单调性的研究（微观图像上点的坐标之间的关系的研究），是从粗放型直觉性认知走向严谨性理性思维的开端，通过符号的算法进行推理论证，以保证结论的严密性，这种“算法思维”在后续的奇偶性、周期性和最值等学习中有着重要的意义，起到引领性和奠基性的作用.通过分析、提炼，最终落实到一根“线”，将它们串起来，即“两域、四数、两个不等”是单调性概念的特征属性，其中借助符号进行推理的“算法思维”本质是数学转化思想的体现.需要突破的难点就是“上升、下降、单调等名词的数学意义与学生的生活理解之间的差异，通过函数图像上升——“x越大，y也越大，即当x2>x1时，y2>y1，则f（x）为增函数”实现自然语言、符号语言和图形语言有机结合和有效融合.因此教学内容的核心就是在知识的发生、发展过程中让学生体会直观抽象和形式化思维，在知识与能力的交融中且行且清晰.如何用“任意”刻画无限、解决概念中自变量不能穷尽的矛盾，如何用符号语言（x1>x2时，f（x1）>f（x2）……等）表述“y随x的增大而增大”……而这些内涵仅靠解题是不能看到的.从定性到定量，从具体到抽象、从宏观到微观需要让形式化的概念抽象在文字语言、图形语言和符号语言的转化交融中自然地“生长”出来，而不是想当然地“天上掉下个林妹妹”，需要伴随归纳、抽象、概括的教学“慢”过程中，才能寻找和淬炼出知识表层下的核心内涵，洞穿知识的本质，使学生不仅获得知识，更多的是逐步提高学生自我分析、理性领悟的能力.

二、从教材的脉络上感悟核心知识的整体性

核心知识不是单一的、离散的、碎片化的，涵括的不仅仅是知识点，而且还综合了数学知识的结构和思想方法的内容体系，围绕核心知识建立起来的教材结构体系，是以核心知识为中心的“概念图”，包括纵向发展的主线和横向联系的节点，具有知识联系的联结性、紧密性、持续性和多向性特点.它所承载的知识和技能是学生发展所必不可少的知识网状体系.通过螺旋上升的组织形式，渐次加强所学概念和观念的深度以及复杂程度，使数学核心知识的发展过程与学生内部心理认知体验融合起来.我们重视核心知识在数学学习中的作用和意义不仅让学生能够掌握核心知识的基础性内容，还要着眼于促进培养学生一种思想观、辩证观和整体观，能够从整体上理解知识链上每个节点的意义与内涵，了解知识和方法的辩证转化过程，而不是简单地就事论事，热衷于奇技淫巧，一叶障目不见森林.

以直线的斜率为例，如果只是停留在具体概念辨识和解题技能的训练，局限在狭隘的解题一招一式中，拘泥于知识的枝节碎片里，可能觉得内容浅显，方法单一.其实，纵观教材的设置，本节内容体现了数学知识的发生、发展经历从粗到精、从单一到多元、从形象到抽象的过程，从几何感知（平面几何）—代数分析（解析几何）—三角函数的发展过程，从坡度（直角三角形）—倾斜角的正切值（三角函数）—斜率（坐标）.体现数学认知从具象到形象再到抽象的不断上升的过程，从实验几何（倾斜角）—平面几何（坡度）—三角函数（k=tanα）—解析几何这些脉络既贯穿着数学的本质与内涵，也蕴含着研究现实客观事物的方法，既是一种知识观，更是一种方法论，或许看不到具体的问题，也没有常见的题型套路，但却深刻地勾勒了直线斜率的知识内容的丰富性、联系的广泛性以及表现方式的多样性的特点.体现了数学既有特性又有交融的发展特点，从中可以感悟到数学的辩证观、发展观和思想观.让学生在大视野和顶层处中阅读、诠释和领悟数学的本质，涵养深嵌其间的数学理性精神、思辨品质和创新意识.在当下应试教学盛行的时候，数学教学更需要“不为浮云遮望眼，风物长宜放眼量”的视野和情怀.

三、在教学拓展中催发核心知识的生发性

数学核心知识的意义与价值在于它能产生“1+x”的扩容与增值的“核效应”，让教材具有更为广阔的宽度，让思维有升华的空间.数学知识一方面大道至简，另一方面又能衍化至繁，由核心知识滋长出来的知识的“衍生性”能在和具体情境、具体问题的对接中生发出一系列新知识.例如函数的奇偶性，函数f（x）图像成中心对称及其关系f（-x）=-f（x）是其表征和核心.由奇函数的定义知，f（-x）=-f（x）或f（-x）+f（x）=0；其图像关于原点（0，0）对称，由此出发可以衍生，关于x轴上点（a，0）对称的函数具有怎样的关系？（f（a-x）=-f（a+x）或f（a-x）+f（a+x）=0或f（x）+f（2a-x）=0）；再进一步关于平面上任意一点（a，b）对称的函数具有怎样的特征？（f（a-x）+f（a+x）=2b或f（x）+f（2a-x）=2b），由原点到x轴上的任意点再到平面上的任意点，图像的中心对称关系转化为函数解析式的关系：f（-x）=-f（x）→f（2a-x）=-f（x）→f（2a-x）=-f（x）+2b，从形式上看也是复合函数转化为函数f（x）的一种表征，奇函数的多元表征、辩证转化、数形结合在合情推理中自然推广，在数学关系解构和重组中熠熠生辉，那种脱离知识本源，盲目进行一题多解、一题多变和高考“母题”其实只得皮毛，未见本质，不得其味.只有超越对零散知识的片段式，零散式的模仿和记忆，在教学拓展和演绎生成中核心知识才能展现其广阔和厚重的教学意蕴，体现其特有的教学价值与意义.

四、在思想渗透中品味核心知识的精髓性

“核心知识其实就是一颗思想的种子，它是具有思维生发力的.”教学的意蕴在于超越具体的事例和知识对问题的一般性意义和内核能作出合理的抽象和深刻的概括，对知识进行过滤、筛选、提纯，把那些无用、冗余、偏多的“旁枝末节”剔除出去，让被教学花样遮蔽了的核心重现出来，将凝结在数学知识和技能中的数学思想内涵揭示出来.

以“曲线上一点处切线的斜率”为例，常见的教学思路大致是：曲线上一点处切线的斜率的定义叙述（教学中往往是一带而过）——提炼求法步骤（“一切三式”，即一个切点、三个表达式：切点在曲线上，切点在切线上，切点处的导数即为切线的斜率）——巩固练习.这种设计重知识轻过程，重技能轻内涵，重应试轻领悟，关注短期效益，缺乏知识的提炼和思想的提升，虽然可以“涨知识”，但是难以“涨智慧”，可谓“小数学”，其价值取向是知识取向和应试技巧.如果我们注意到认知的发展过程不只是知识的简单叠加和复合，它应当伴随核心内容的不断凸显和思维方式的逐渐孵化的历程，重视“一个概念、一个过程、一次探究、一种思想”，通过一系列的设问和追问，知识才能波浪起伏，意蕴深长.

教学剪影：设曲线y=f（x），y=g（x）均过点A、B两点.（1）两曲线在区间［xA，xB］上的平均变化率是否都是（否）——在区间［xA，xB］上的变化趋势都一样吗？（否）——如何刻画二者的变化趋势（缩小区间，即取极限令Δx趋于0），问—疑—思，切线斜率的思想内涵——以直代曲、割线逼近切线的内核才能逐渐显现出来，数学思想的张力才能得以伸长，再通过具体案例深化理解，求函数y=x3在（1，1）处的切线方程，并观察该切线与曲线公共点的个数，以此引起学生对相切问题认知的冲突，思考“Δ=0⇔相切⇔切线与曲线恰有一个公共点”这样一个似是而非的问题，通过示例“y=x3在（1，1）处的切线与y=x3的交点不止有一个”说明以往的对相切的认知不能迁移到一般的曲线上.用割线无限逼近的极限思想理解切线，不仅是微积分发展的过程，也是数学探究、思想进步、认知升华的过程.只有诠释核心知识的思想内涵的教学才能实现“大数学”教育的终极追求，只有透过文字和符号的表象思考其数学本真和思想内涵，这样才能登临教学的“智”高点.

1.石志群.对课堂教学“回顾与反思”的几点思考［J］.中学数学（上），2014（3）.

2.林风.从问题本质出发，演绎精彩“好数学”——一次讲评课的反思［J］.中国数学教育，2013（8）.

3.荀步章.“核心知识”基点：认知块问题串思维场［J］.教育科学论坛，2014（1）.

*本文是福建省电化教育馆教育信息技术研究课题（闽电教馆kt412）《基于t3的数学教学转型与优化的研究》的成果.