小议引导导数教学中的条件转换

☉江苏省南通市通州区金沙中学 陈玲钰

小议引导导数教学中的条件转换

☉江苏省南通市通州区金沙中学 陈玲钰

众所周知，导数是一种用来研究函数单调性和最值的工具，有了导数这样的工具，给我们研究更为复杂的函数带来了很大的方便.对于刚刚接触导数的学生而言，其在认知改变上有着极为严重的困扰，主要原因是：第一，对于导数概念还不完全理解，导数概念相比其他概念而言，形式化程度还是较高的；第二，用导数解决问题，主要依赖导数的工具性作用，在诸多考题对于导数的考查，更多的是体现在其后续如何转化导数题中的条件，这一点对于初学者往往更难掌握，本文举例说明.

一、基本工具性作用的转化

导数最基本的工具性作用是用来研究函数单调性.从直观图形中，我们可以看出，函数在单调递增过程中每一点处的导数均为正值，在单调递减的过程中每一点处的导数均为负值.利用导数这一极为方便的单调性判别方式，对于更为复杂的函数我们不再需要研究其图像来分析单调性，只需要通过一阶导数的正负性的研究即可达到目的.

例1 已知函数f（x）=plnx+（p-1）x2+1，当p＞0时，讨论函数f（x）的单调性.

注意：利用导数工具对于单调性的判别，学生往往已经将这样的条件转换变成一种下意识的处理，笔者认为在处理过程中求出导函数并非是重点和难点，难点在于后续如何对导函数进行介入讨论（现阶段而言，一般导函数模型围绕二次函数为主），这种二次函数的讨论模型主要围绕张口、对称轴、判别式，与二次函数经典讨论区别不大.

二、模式识别条件的转化

在很多场合，对于“模式识别”这一词语褒贬不一.有些专家对其嗤之以鼻，认为模式识别是在教学生套用题型，是一种“教死书”、“死教书”的体现，认为这种方式教导的学生没有创新能力.对此过于偏激的批评模式识别，笔者持保留意见.至少从中学生数学学习的理解和接受，以及中学数学无法摆脱应试的两个方面来看，模式识别还将长期存在于当下中学数学教学中，其合理性在于：学生对知识尚处在起步认知阶段，必须通过一定的解题训练才能对本质有更深的认知，在这样的训练过程中模式记忆和识别是必不可少的，因此导数教学中如何解决一般性的条件转化为已有知识体系中的模式是关键.

解析：由已知得g（x）=ln（x+1）+3-（-2x2+4ax+3）= ln（x+1）+2x2-4ax，所 以g′（x）

设h（x）=4x2+4（1-a）x+1-4a，对称轴为

综上所述，实数a的取值范围是a≤0.

注意：与例1不同，本题是已知单调性求解参数，从导数的角度来说，单调递增即导函数在区间上大于等于0恒成立，对于学生脑海中“恒成立”问题是中学数学中比较常见的模式，其条件转换完毕即思考常用的处理方式——参变分离，这里要指出一点，因一般问题涉及的是非常数函数，所以导函数大于等于0是满足的，切勿忘了等号的选择.从条件转换处理来说，涉及单调性问题的求解一般均合理地转化为导函数的恒成立，在脑海中如何处理恒成立模型便成了一种典型的模式识别，将类似的函数最值解决一系列问题.

例3 已知函数f（x）=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求证：对于区间［-1，1］上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤4；

（3）若过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围.

分析：本题是一种陌生问题转化为熟悉问题的模式识别.第（2）小题中如何理解“对于区间［-1，1］上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤4”？这种任意性决定了研究的充要条件是函数f（x）在［-1，1］上的最大值与最小值的差小于等于4即可，这种转换是经过对“任意性”三个字的思考后得到的，进而将条件转化为闭区间上最值的处理；第（3）小题的这种条件转换对于学生而言有些生疏，如何处理三条切线？是求出其三个斜率，还是图中研究怎样存在切线的位置？其实，要找到切线最合理的方式是找到三个切点，即为什么存在这样的三个切点！因此条件的转化是研究有且仅有三个实根即可.

解：（1）f（x）=x3-3x.

（2）即求函数f（x）在［-1，1］上的最值，略.

（3）f′（x）=3（x2-1），设切点M（x0，y0），则M的纵坐标

因为过点A（1，m）可作曲线的三条切线，所以关于x0的方程有三个实根.

设g（x0），则g′（x0）0，得x0=0或x0=1.

所以g′（x0）在（-∞，0），（1，+∞）上为增函数，在（0，1）上为减函数.

所以关于x0的方程有三个实根的充要条件是得-3＜m＜-2.

注意：上述例3中的第（3）小题，笔者给学生做过测试，很多学生在如何转化“三条切线”这一条件上没有领悟到函数与方程的思想，其实这样的问题在函数零点问题研究中比比皆是，很多时候解决某函数零点问题转化为不同函数的交点，不同函数交点可转换为某一函数零点，在有了导数的背景之后，这种转化的思想还需在教学中由教师不断的渗透和加强.

从上述案例来看，导数教学本身难度并不大，其较难在于如何将问题顺利地转化为上一阶段函数中的基本问题，在函数问题解决中常用的知识寻找合理的转化途径，找到问题解决的优化方式.这种条件转化的经验需要在解题中不断积累，也需要教师加以关注和总结.

1.柴贤亭.数学教学中的导数问题设计［J］.教学与管理，2012（10）.

2.鲍建生，等.导数变式教学研究［J］.数学教学，2013（1）.

3.吴志雄.培养高中生数学应用意识的策略与思考［J］.中学数学研究，2010（5）.