高考、竞赛试题中备受青睐的“费马点”

☉山西省永济中学 李 琴

高考、竞赛试题中备受青睐的“费马点”

☉山西省永济中学 李 琴

近年来，越来越多的命题者对一些著名的数学问题进行挖掘改造，命制出不少好题，其中不少是涉及著名的“费马点（Fermat Point）问题”.费马点问题最早是由费马在一封写给意大利数学家托里拆利的信中提出的，托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题.

费马点：数学上称，到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.它是这样确定的：

（1）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是三角形的费马点；

（2）如果三个内角均小于120°，则在三角形内部对三边张角均为120°的点，是三角形的费马点.

平面四边形中费马点证明相对于三角形中较为简易，也较容易研究.

（1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P.

（2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D（P）.

对于更多边形的情况，求解费马点就是非常麻烦的，这里就不再赘述.众多命题者对费马点也情有独钟如：

题目1（2013年四川省高考文科试题第15题）在平面直角坐标系内，到点A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，-1）的距离之和最小的点的坐标是_______.

题目2（2007年全国高中联赛试题第7题）在平面直角坐标下中，有四个定点A（-3，0），B（1，-1），C（0，3），D（-1，3）及一个动点P，则|PA|+|PB|+ |PC|+|PD|的最小值为_______.

试题赏析：这两道题给出的都是平面上四个定点，求一个动点到这四个定点的距离之和的最小值及成立的条件即此动点的位置，这两题中给出的四个定点虽然坐标不同但是将这四点连接后都构成了平面内的一个凸四边形，所以此题抛去平面坐标系后的命题立意即为在平面内找一点使得其到一个凸四边形的四个顶点的距离最小及最小值是多少.

求解策略：题目1：设平面上一点P（x，y），则

|PA|+|PC|≥|AC|（当且仅当P点位于线段AC上时取等号），

|PB|+|PD|≥|BD|（当且仅当P点位于线段BD上时取等号），

所以|PA|+|PB|+|PC|+|PD|≥|AC|+|BD|（当且仅当P点位于线段BD与AC的交点时取等号），即当到四点距离最小时，P点的坐标即为直线AC与直线BD的交点，求得为P（2，4）.

题目2：同理可得|PA|+|PB|+|PC|+|PD|取得的最小值

试题探源：上述两题题主要考查的是距离之和的最小值问题，牵涉到的是两点间的距离公式，所以题源就在课后的习题中，题目如下：

题目3 （人教A版数学必修2第三章习题3.3B组的第8题）已知0＜x＜1，0＜y＜1，求证：并求使等式成立的条件.

题目赏析：本题看似是一个纯代数的不等式的证明问题，但是放在必修2第三章直线与方程的习题中，而且前面第三小节学的内容就是平面上两点间的距离公式，学生很容易从不等式左边的结构上看出形似两点间的距离公式，遂采用数形结合的思想构造，若令点P（x，y），A（0，1），B（1，0），C（1，1），O（0，0）则将不等式的左边转化为几何问题，即为四边形ABCO内部一点P到点A，B，C，O的距离，由题意得|PA|+|PB|+|PC|+|PO|≥|AB|+|OC|=（当且仅当P点位于线段AB与OC的交点时取等号），此时A，B，C，O四点构成了一个边长为1的正方形，由题意当点P位于其对角线的交点时，即即当时，取等号，左边取得最小值为课本的此题，立意较高，形式用不等式给出，既考查了两点距离公式，又让同学同时具备数形结合及转化的思想，既考查了最小的距离，又考查了最小距离时点P的坐标，同时兼顾题目1与题目2考查的内容，而题目1，题目2将题目3的条件强化，没有要求点P是四边形内部的点，且构成的四边形不是特殊的四边形，而是一般的凸四边形，用坐标给出几点的坐标，让同学解决起来更容易上手.

题目4 （2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷第5题：三角形中的费马点问题）设Z是复数，则|Z-1|+|Z-i|+|Z+1|的最小值等于_______.

试题赏析：设复平面上A（-1，0），B（1，0），C（0，1），问题转化为在复平面上求一点到△ABC三个顶点的距离之和的最小值，此点即为△ABC内部的费马点，经计算得最小值为

本题以复数为依托，考查费马点也是独具匠心，如果考生用代数思想求解的话就会非常麻烦，如果了解三角形内的费马点，一切迎刃而解.

题目5（2008年全国高考江苏卷第17题：费马点在实际生活中的应用）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC= 10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm.

（1）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数关系式；②设OP=x（km），将y表示成x的函数关系式.

（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短.

试题赏析：本题以实际问题为依托，考查函数概念、解三角形、导数等基本知识，考查学生的建模、解模能力、抽象概括能力、解决实际问题的能力.题中第（2）问求三条排污管道的总长度最短，即求：△ABP中的费马点问题，这样根据费马点定义，确定出O点的位置，即可求解.

题目6（2013年四川省高考理科卷第15题：平面内费马点的衍生推广）设P1，P2，…，Pn为平面α内的n个点.在平面α内的所有点中，若点P到点P1，P2，…，Pn的距离之和最小，则称点P为点P1，P2，…，Pn的一个“中位点”.例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点.现有下列命题：

①若三个点A，B，C共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点.②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点.③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一.④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.

试题赏析：本题所提出的“中位点”的概念源于“费马点”本问题在“费马点”的意义不变的情况下进行了适当的拓广，具有一般性，但是学生在理解的基础上解决这个问题不会很难，但是如果知晓“费马点”的上述特征，那么判断①和④的正确性就非常容易了.

题目7（2013年北大“百年数学”体验营试题第1题：四边形中费马点问题的衍生推广）在单位正方形ABCD内（包括边界）自由选取若干个节点（数目任意），并与A，B，C，D四点用直线练成一个连通网络（连通图），求这样的网络总长度的最小值，并证明你的结论.

试题赏析：本题在单位正方形中研究节点，节点数目任意所以需要对其进行讨论，对考生的要求较高，但本题试题设置及背景其实就是费马点的问题，所以（1）当网络没有增加节点时，最小值相当于正方形的三边长即为3.（2）当网络增加一个内部节点时即为本文的题目3问题，最小值即为当网络增加其内部的两个节点M，N时，问题转化为求（AM+BM）+MN+（CN+DN）的最小值，当保持AM+BM不变时，M在以AB为焦点的椭圆上运动，同理保持CN+DN不变时，N在以CD为焦点的椭圆上运动，调整M，N时知，当AM=BM，CN=DN时MN最小，即只有当M，N在AB（CD）的中垂线上时，总长度最短，此时，正方形中心在直线MN上，因此，M，N分别是△ABO和△CDO的费马点，易求得此时网络总长度最小是为当网络中增加三个或以上的节点时，易知必存在一个节点时多余的，即此时网络总长度比（3）中求得的最小值要大，所以综合得网络总长度的最小值为

结束语：一些著名的数学问题一直是命题专家青睐的题源，比如阿波罗尼斯圆、阿基米德三角形、斐波那契数列、毕达哥拉斯学派的形数理论等等，所以教师对这些经典问题首先自己要有所了解，然后在平时的教学中适当的传授给学生，既激发学生对数学的兴趣，又能让学生遇到此类问题时心中有谱，对学生的数学学习也是大有裨益的.