对2016年江苏高考压轴题的探究、溯源与启示

☉江苏省宜兴中学 刘国祥☉江苏省太湖高级中学 张 敏

对2016年江苏高考压轴题的探究、溯源与启示

☉江苏省宜兴中学 刘国祥☉江苏省太湖高级中学 张 敏

一、问题的提出

解答江苏省数学高考试卷后，让笔者眼睛一亮，也让笔者难以释怀的是一道填空压轴题.

题目 在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________.

本题以解三角形为载体，考查学生综合运用三角变换、基本不等式等相关知识分析、解决问题的能力，考查函数、转化、数形结合等数学思想，同时也考查学生的逻辑推理、数学运算等核心素养.仔细品味该试题，不论是从试题的背景、试题难度、命题立意，还是对数学思维能力的考查都很到位，可谓简约而不简单.

二、多视角探究

视角一：函数法

析果联因，即在结果和已知之间寻找内在联系.由于本题目标是求tanAtanBtanC的最小值，条件sinA= 2sinBsinC为正弦、余弦，变形方向：化弦为切，三元问题，自然联想到消元.

由sinA=2sinBsinC，得sin（B+C）=2sinBsinC，展开后等式两边同除以cosBcosC，得tanB+tanC=2tanBtanC，而目标函数出现了两个变量：tanBtanC和tanB+tanC，利用条件消元，可得一元函数.

解法一：设tanBtanC=x，tanAtanBtanC=y，得到函数关系转化成等号成立的条件是x=2，由解得tanA=4，所以故tanAtanBtanC的最小值是8.

解法二：设tanB+tanC=x，tanAtanBtanC=y，得到函数关系转化为等号成立的条件是x=4，以下同上.

视角二：基本不等式法

本题是一个三元变量的最值问题，如何转化成二元变量是关键.依据三角形中的结构特征，不难想到教材上的一道经典关系式（例题）：在斜三角形中，tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC.因此下列解法就顺理成章了.

视角三：解析几何法

题中的三角形是变化的，揭示在约束条件sinA= 2sinBsinC下的变化规律是问题的本质所在.

解法四：化边为a=2bsinC，变形为a2=2absinc=4S△ABC.设边BC上的高为h，易得a=2h，由此问题中的几何背景是边BC的长度是边BC上的高的2倍.设边BC=2，则高AD=1，以BC为x轴，边BC中垂线为y轴，建立坐标系，则点A的轨迹方程为y=1（-1＜x＜1，且x≠0），设点A（x，1）

上述几种解法的共同点是把三角问题转化为代数（几何）问题，再利用代数（几何）方法予以解决.这几种解法的思路也比较自然，涉及一些基本方法：代入、消元、换元，但作为压轴题，对考生的思维要求较高，需要对信息做一些整合.可见，这道试题既注重通性通法也兼顾能力要求，那多彩的解答背后有丰富的内涵.

三、寻根溯源，拓展探究

“问渠那得清如水，为有源头活水来”，这道考题的原形在哪里呢？我们翻翻课本，做做往年的高考题就知道了.

1.高考题背景

《数学课程标准》关于三角函数的教学建议指出：重视三角恒等变形在数学中应用，因为三角恒等变形有利于发展学生的推理能力与运算能力.以三角函数的恒等变形为背景来命制能力题，已经成为江苏高考的一大特色，而且常考常新.

例如，“2010年江苏高考第13题：在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则和“2014年江苏高考第14题：若△ABC的内角满足则cosC的最小值是__________”.

可见，2010年是边角混合的求值问题，侧重于余弦定理与三角恒等变换的结合；2014年看似是三角问题，但齐次式整体转化为边，侧重于余弦定理与基本不等式的结合；而2016年高考第14题是一个三角的最值问题，可以视为上面两题的姊妹题，它侧重于三角变换与基本不等式的结合，由于转化为边了，因此，思路更开阔，内涵更丰富.

2.课本题背景

2016年高考第14题是对教材中有关三角函数、解三角形、基本不等式的一些相关点进行重组、引伸、拓展，在知识的交汇点处巧妙设计，具体而言，它是由“必修5第17页第5题：在△ABC中，已知sinC=2sinAcosB，判断△ABC的形状”、“必修4第116页例4：在斜三角形ABC中，求证：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.同时课本给出探究题：一般地，当角A、B、C满足什么条件，能使等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立”和“必修5第88页例2：已知函数求此函数的最小值”三题整合而成，可谓源于课本又高于课本，起点低而落点高.其中，若能熟练掌握tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC这一经典结论，视角二的解法就很容易想到了.

3.变式与拓展

变式1：在锐角△ABC中，若sinA=2sinBsinC，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边长，则4tanB+tanC的最小值是____________.

变式2：在△ABC中，若sinA=2sinBsinC，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边长，则角A的范围是__________.

变式3：在△ABC中，若sinA=2sinBsinC，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边长，则的取值范围是____________.

变式4：在锐角△ABC中，若sinA=2sinBcosC，则tanAtanBtanC的最小值是____________.

其中，变式1～3是变化结论，变式4是变化条件.

四、高三复习教学的三点启示

1.回归课本

笔者以为，2016年江苏高考数学试题平稳、平和，注重基础，兼顾能力，回归课本，不少试题都是在知识交汇处命制.

数学课本既是教师上课、学生学习之本，也是数学知识、思想方法的重要载体；近年高考命题显示，课本也是高考命题之本.教材是高考试题的基本来源，是中、低档试题的直接来源，许多能力要求较高的试题也是对课本基础知识、典型例习题的再加工、重组、拓展和赋予新的背景的结果.它启示我们，高三复习应回归课本，不是简单的看课本，而是要深度挖掘课本例习题的功能，对其进行加工重组、拓展，打通课本与高考的绿色通道.

2.对接高考

高三复习必须重视对往年真题的研究.首先，高考真题具有典型性、代表性、严谨性和规范性；其次，高考真题凝聚着高考命题专家的智慧，有的看似简约但不简单，立意深远，有的背景深刻，有的内涵丰富.在研究的过程中，需要我们弄清其思想方法，领悟其典型的解题思路.再次，要探究高考题与课本题的结合点，善于在课本中找高考题的原型，通过分解、整合、拓展，引导学生在变化中发现不变的本质，如此也能给我们的高三复习注入活力，避免简单重复的乏味，从而提升复习教学的效能.

3.局部探究

因江苏卷每年都有一些试题对探究性的能力要求较高，这既符合高考的考查方向，也符合新课程的基本理念：倡导积极主动、勇于探索的学习方式，注重提高学生的数学思维能力.它启示我们：从高一开始，就要转变教学方式，对教材每一课后面的“探究·拓展”问题，每学期要选择性地进行几次.而在平常教学中，不妨让局部探究成为数学教学的常态，即根据教材的特点，围绕某个小专题或者是某个具体的数学问题，从一堂课中拿出5～15分钟的时间，在教师的组织、引导下，让学生用自我探究与合作交流的方式进行学习，体验过程，获取知识，培养能力.可以对新授课的难点概念，对重要的公式、定理实施局部探究，以充分展示数学知识的形成过程，理解规律；对习题课、复习课实施局部探究，有利于寻求解题突破口，构建便于提取的信息网络，从而培养学生的思维能力.

1.李鸿昌.2015年高考全国卷解析几何试题的深入思考［J］.数学通讯，2015（9）.

2.王安寓.对一道月考试题的研究［J］.数学通讯，2016（1）.

3.王华民.让局部探究成为数学课堂教学的常态［J］.中学数学教学参考（上），2008（8）.