人教A版选修2-1第一章常用逻辑用语的学习困惑

☉山西省永济中学 王有强

人教A版选修2-1第一章常用逻辑用语的学习困惑

☉山西省永济中学 王有强

数学是一门逻辑性很强的学科，表述数学概念和结论，进行推理论证，都要使用逻辑用语，学习一些常用的逻辑用语，可以使我们正确理解数学概念，合理论证数学结论，准确表述数学内容.现行的普通高中课程标准实验教科书数学人教A版选修2-1（下简称为教材）的第一章设置了常用的逻辑用语的四节内容，分别是：1.1命题及其关系，1.2充分条件与必要条件，1.3简单的逻辑联结词，1.4全称量词与存在量词.

由于数理逻辑既是数学的一个分支，也是逻辑学的一个分支，是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科，其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统，数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分，虽然名称中有逻辑两字，但并不属于单纯的逻辑学范畴，很多老师在进行本章教学及学生在本章学习时都感觉很苦恼，究其原因在于书本只给出一些定义，但在遇到一些问题时很难解决，且很多学生的语言功底差，很难对一些命题表达的意思理解，所以在学习中就感到力不从心，笔者认为既然是简易逻辑，就应该突出简易二字，将课本中一些很难理解的问题替换，这样既减轻学生的负担，也可让教师在教学中容易掌控，下文即对本章在学习中一些值得商榷的内容提出一点个人浅见.

一、教学中对命题主题思想很难理解到位

问题1：（教材第6页练习）写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假.第（2）题：“若一个三角形有两个边相等，则这个三角形有两个角相等.”

笔者在教学过程中，学生对该命题的否命题的回答出现了两个版本：

版本一：若一个三角形中没有两条边相等，则这个三角形没有两个角相等.

版本二：若一个三角形中有两条边不相等，则这个三角形有两个角也不相等.

在人教社出版的配套教师教学用书中提供的答案是版本二，版本一的角度是原命题条件是一个三角形有两条边相等即此三角形为等腰三角形，对其否定的话，否定成三角形中没有两条边相等，即三角形不是等腰三角形.而版本二对这个命题的理解是从其性质入手，即等边对等角，否定成边不等对角也不等，笔者觉得版本一更能符合其所要表达的意思.

问题2：（教材第6页练习）写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假.第（3）题：“奇函数的图像关于原点对称.”

对该命题的否命题的回答也出现了两个版本：

版本一：不是奇函数的函数图像不关于原点对称.

版本二：若函数不是奇函数，则其图像不关于原点对称.

版本一是教师教学用书提供的答案，其重点在于理解此命题是研究函数的图像，版本二则对命题的理解是研究奇函数的一个性质，笔者觉得此时教师教学用书即版本一更为理想.

二、教材中例题、习题的选用值得商榷

问题3：（教材第7页例4）证明：“若x2+y2=0，则x=y=0.”

关于此题的选用笔者觉得不太合适，书本给出的解答是应用逆否命题的真假来判断原命题的真假，其逆否命题为“若x，y中至少有一个不为0，则x2+y2≠0”，首先此命题的逆否命题很多同学都写不出来，更无从谈起证明，反观本题如果直接证明，其实思路更自然，更流畅，我们说数学是自然的，解题的思路更要自然，如果一定要用逆否命题的真假来证原命题的真假的话，对本题来说就是“为赋新词强说愁”了.

问题4：（教材第12页练习1）下列形如“若p，则q”形式的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？p是q的什么条件？第（1）题：“若平面α外有一条直线a与平面α内的一条直线平行，则直线a与平面α平行.”

在解答此题时，多数同学认为其逆命题是假的，究其原因是认为a∥α不能得到a与α内的一条直线平行，其错因是因为没有搞清楚这其实是一个特称命题，命题的原意即为“若平面α内存在一条直线与平面α外的一条直线a平行，则直线a与平面α平行”，如果把存在量词补充完整就好理解了，即p是q的充要条件，笔者觉得这部分的内容还没讲到全称命题、特称命题，本题放在这个位置给学生的理解造成一定的困难，建议后置.

三、命题中的大前提该何时提炼

问题5：（教材第8页习题1.1A组第2题）写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.第（1）题：“若a，b都是偶数，则a+b是偶数.”

在教学过程中学生给出的答案都是以逆命题为例：“若a+b是偶数，则a，b都是偶数”，而教师教学用书中提供的答案是：“若两个整数a与b的和a+b是偶数，则a，b都是偶数”，这里我们揣摩命题的原意应该是教师教学用书提供的答案更为理想，也就是原命题中提出a，b是偶数，得出a+b是偶数，其原意就是针对a，b的奇偶进行研究的，也就是有a，b都是整数的一个大前提需要提炼出来，但是我们在解决一些参数范围问题时，却不需要考虑这个前提，例如，命题p：函数是R上的减函数，若命题p为真，我们易得解得若命题p为假呢？我们要不要考虑有意义呢？答案是否定的，对命题p的全盘否定，即解出命题p为真时a的范围的补集即为命题p为假时a的范围，得或所以针对以上两题的情况，笔者觉得要“因题制宜”揣摩出题的意图，看是否需要提炼出大前提才行.

四、教材中定义该如何判断

问题6：（教材第10页练习第2题）下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？第（1）题：“若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行.”

在教师教学用书中给出的答案是p⇒q，究其原因是在人教A版必修2第86页最下方中给出的注释：若没有特别说明，说“两条直线l1和l2”时，一般是指两条不重合的直线，笔者觉得这条注释显得有些多余，因为很多时候我们解题时，不仅要考虑斜率，还要考虑截距，也就是要考虑重合的情况，所以笔者个人认为此处应是不满足充分性更符合我们平时解题的严谨性.

五.逻辑联结词该如何认定

问题7：将下列命题用“或”联结成新命题，并判断真假.

（1）p：方程x2-3x+2=0的根是x=1，q：方程x2-3x+2=0的根是x=2；

（2）p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等.

不少同学在解答（1）时，将命题改写成了“方程x2-3x+2=0的根是x=1或x=2”，改写成p∨q的形式后发现p∨q为真，而命题p与命题q其实都是假命题，前后矛盾，究其原因就是“方程x2-3x+2=0的根是x=1或x=2”中的“或”不是逻辑联结词，此命题也不是p∨q形式的命题，正确的写法是：“方程x2-3x+2=0的根是x=1或方程x2-3x+2=0的根是x=2”为假命题.

六、逆否命题该如何改写

问题8：（笔者在教学过程中讲到四种命题的时候，突然想到这样的一个问题）“在实数范围内，若x≥0，则x2≥0”的逆否命题该怎么写？

这个命题首先判断出是个真命题，若其逆否命题写成“在实数范围内，若x2＜0，则x＜0”明显是假命题，这与原命题的真假性就相反了，笔者想了很久，是否可以通过集合的角度给予解释呢？比如：命题中的条件x2＜0在实数范围内就等价于x∈Ø，由于Ø⊆（-∞，0），从而x∈Ø⇒x＜0，不知是否合适，或是有其他的解释方法，还请读者指正.

七、结束语

词语被称为语言的基石，而逻辑的基础是命题，因为只有在命题的层面上才涉及真假问题，而逻辑本身就是发现真相并将其从谬误中分离出来的学问，在命题异于理解的时候，我们可以轻易地分辨出真假，但是，如果命题本身表达得含混晦涩我们就会面临双重问题，因为我们必须先找出命题本身的含义，然后才能做出判断，由此可知，清晰有效的表达非常重要，所以建议编者在编订此处的教材时，尽量能照顾到学生的认知能力，将所给的问题换成易于理解的形式，消除歧义，方能让学生学起来不会一头雾水，从而能更好地理解最基础的简易逻辑.