小议模式识别在解题教学中的实践和思考

☉江苏省昆山市第一中学 周维军

小议模式识别在解题教学中的实践和思考

☉江苏省昆山市第一中学 周维军

众所周知，模式识别理论的最初发展阶段中，所涉及的含义是指陌生情境中的问题，可以通过大脑思辨、分析、归纳和总结，通过转化，进而在自身头脑中找到原始的、固有的模型，最终将问题成功解决的一种理论.从模式识别理论最初的发展来看，它涉及的仅仅是一种类似问题的套用，也就是说，相当于我们现在所说的解题模仿.

近年来，随着解题教学的不断发展和模式识别理论的不断更新，模式识别理论也不再仅是简单的解题模仿.陕西师大罗增儒教授提出：“模式识别有三个层次：第一层次是简单的解题模仿，即我们讲解的问题可以让学生模仿着去解决；第二层次是从不同的数学问题中，找寻共性、发现最根本的模型，相比低层次的模式识别而言，第二层次的模式识别将数学整合性的知识融入到解题教学中；第三层次是模式识别的最高境界，一般来说涉及形式化的数学过程和结论，就是通过表象看到了数学的本质，也就是说最终的问题解决都转化为数学最根本的东西——数学概念.”本文将从案例的角度，从教学实践的角度，结合模式识别理论，谈一谈在教学设计中如何将模式识别理论和教学实践有机地整合在一起，不足之处敬请读者指正.

一、低层次的识别

大家知道，人类对于陌生事物的处理手段往往是依赖于经验的积累.比如，李时珍撰写的本草纲目，其中涉及了上万种的中草药，对于如此多的中草药，他都是通过类似的模仿手段去判别该草药有没有用？能不能治病？有没有毒等问题.中学数学解题也是如此，学生能不能解决这一问题，他首先思考的是有没有见过这样的问题？如果解决过类似的问题，他的脑海中第一时间就能跳出这样的问题模型，这种模仿就是模式识别的第一层次.我们相信，任何一个高中生从学习数学开始，他都有这么一种基本的能力：模仿、思考、尝试、解决、归纳、巩固模型.随着可用的模型越来越多，那么学生对基本问题的解决也越来越熟练，进而可以达到一个较为完善的问题解决框架.

案例1（2015年江苏卷11改编）数列｛an｝满足a1=1，且an+1-an=n+1（n∈N*），求数列｛an｝的通项公式.

分析：利用累加得an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）

模式识别：数列an+1-an=f（n）模型是递推数列中的重要模型，进一步研究一般化模型：an+1=pan+f（n）.

识别一：当f（n）=q（常数）时，即an+1=pan+q模型.

问题1：数列｛an｝满足a1=1，且an+1=2an+1，求数列｛an｝的通项.

分析：利用待定系数法an+1+x=2（an+x），易得x=1，因此，所以｛a+1｝是等比数列.n

识别二：当f（n）=kn+b（一次函数）时，即an+1=pan+kn+ b模型.

问题2：已知数列｛an｝满足a1=1，an=2an-1+n-2（n≥2），求通项an.

分析：令an+λn+u=2［an-1+λ（n-1）+u］，得an=2an-1+λn-2λ+u ，由待定系数得所以an+n= 2［an-1+（n-1）］（n≥2），即｛an+n｝是以a1+1为首项，2为公比的等比数列，得an=2n-n.此处同样是利用等比模型识别构造，可见问题解决方法的一般性.

识别三：当f（n）=an2+bn+c（二次函数）时，即an+1=pan+ an2+bn+c模型.

问题3：数列｛an｝满足a1=1，an+1=2an+n2，求通项an.

分析：由an+1=2an+n2及上述构造，令an+1+λ（n+1）2+ u（n+1）+v=2（an+λn2+un+v），整理得an+1=2an+λn2+（u-2λ）n+ v-u-λ，由待定系数得

识别四：当f（n）=qn（指数函数）时，即an+1=pan+qn模型.

问题4：数列｛an｝满足a1=2，an+1=ban+2n，求通项an.

分析：需要分类：（1）当b=2时，知an+1=2an+2n，令an+1+ λ（n+1）2n+1=2（an+λn2n），易得λ=-，所以｛an-n·2n-1｝是首项为1，公比为2的等比数列，可得an=（n+1）2n-1；（2）当b≠2时，同理，得an+1+λ2n+1=b（an+λ2n），λ=-，易得an=本题还有不同的处理方式，大家可以课后再做思考.

说明：很明显，对于学生学习数学新知而言，模仿是第一手段.将数学知识存储于头脑中，并在遇到类似问题时合理将其运用，这就达到了模式识别最基本的运用层次.对本题利用等比构造这单一知识点而言，模式识别有着极其高效的作用，可以通过结合变式教学的手段，使解题教学变得有效与高效.

二、中层次的识别

如果只能学会低层次的模式识别，那么模仿的手段和能力虽然得到了提升，但始终无法进入更高层次的问题本质的审视.比如说，在学习向量章节内容时，一个学生可以将向量章节中的基础题、基本技能熟练掌握和运用自如，所有的向量问题都已经在其头脑中有雏形，但是在解决空间几何和解析几何时，有时向量的工具性作用呈现出巨大的威力，此时教师在教学中若不加以引导，那么学生的模仿和识别仅限于低层次的，其没有办法将模式识别、模仿等手段运用到知识整合性的角度，大大降低了模式识别理论运用的有效性，因此在解题教学更为重要的环节中，要注重模式识别理论对于不同问题、不同背景、不同载体的运用和实践.

案例2对于向量我们知道有这样的性质：|a+b|2+ |a-b|2=2（|a|2+|b|2）.在△ABC中，若M是BD的中点，则有.同时把三角形模式用文字概括为：三角形两边的平方和=2×（中线的平方+第三边一半的平方）.利用这样的模型，可以解决知识中的整合性识别.

识别一：设F1、F2是双曲线=1（a>0，b>0）的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，O为坐标原点，若|PF1|∶|PO|∶|PF2|=5∶3∶3，则双曲线的离心率为__________.

分析：根据三角形模式可得（5a）2+（3a）2=2［（3a）2+ c2］，即8a2=c2，所以e=2.

识别二：在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x-a）2+（y-a+2）2=1，点（0，2），若圆C上存在点M，满足MA2+MO2= 10，则实数a的取值范围是___________.

分析：根据边长的三角形模式得MA2+MO2=2（MB2+ OB2），所以（MB2+1）=5，所以MB=2，所以点M在以B为圆心，以1为半径的圆B上，又点M在圆C上，所以两圆有交点，所以|CB|∈［r1-r2，r1+r2］，所以|CB|∈［1，3］，所以1≤a2+（a-3）2≤9，解得0≤a≤3.

说明：我们发现，存储于头脑中的各种模型模式，都是孤立的、单一的，如何将其整合在一起，识别在各种不同知识之间，是进一步提高模式识别运用于解题教学的关键.

三、高层次的识别

如果能将前两者合理的掌握，那么学生对于问题的解决，数学解题能力的提高都有一定的作用.可以这么说，大部分的问题都能通过前两者的模式识别加以区分，并合理解决.但是我们也知道，数学最终是形式化的，随着数学能力的加强，以后接触的更多的数学知识都是抽象的，仅仅通过模仿和整合还是远远不够的，这就涉及模式识别理论最高层次的运用.

案例3存在函数f（x）满足，对任意x∈R都能满足下列等式的是______________.

（1）f（sin2x）=sinx；（2）f（sin2x）=x2+x；（3）f（x2+1）=|x+ 1|；（4）f（x2+2x）=|x+1|.

分析：本题是模式识别最高层次的体现.考查函数概念，是如何识别这些问题的原型呢？从最基本的函数概念出发：对任意的自变量，经过对应法则f都有唯一的值与之对应即可.对于（1）试取x=0及x=，发现（f0）分别等于0和1，这与函数概念最基本的特征相违背，显然（1）是不成立的；对于（2）和（3），同理可得均不正确，因此只有（4）是正确的.

说明：模式识别最高层次的运用，其实可以认为它脱离了数学问题的表象，脱离了数学问题表象、情境的问题研究，其本质是对数学概念的认知.我们知道，数学中的核心概念形式化程度都非常高.比如函数概念，中学数学中各种各样的问题最终都可以归结为函数问题，从模式识别理论来讲，所有的问题都是在研究函数概念及其性质，找到了问题的共性.教学中将这样的教学思想渗透到学生的脑海中，久而久之可以提高数学核心概念的理解，也可以发展学生对于解题的认识.

从模式识别的不同层次，我们发现了其在解题教学中具备的不同能力训练的要求，从初级模仿到中级整合到高级脱离问题形式的识别，势必提高学生对于知识所使用模式的学习和理解，从模式识别中去提高对于数学知识的理解能力和运用能力是值得教学关注的，从这一点来说模式识别也将长期存在于中学数学解题教学中，并还将被教学继续发展.

另一方面，模式识别理论也受到大学其他专家褒贬不一的评价，很多专家教授对模式识别提出了非常猛烈的抨击，认为其思想僵化、指导学生套用模型、将学生的思维固化、教出的学生死板，没有创新能力，笔者认为他们没有用与时俱进、发展的眼光来看待模式识别理论.通过本文，我们对模式识别有了全新的认识，至少从现阶段中学数学教学的实践来看，模式识别必将长期存在，并在原有模仿的基础上有了进一步的传承和发展，将全新的模式教学理论和教学实践相结合，我们对于解题教学的认识有了从模仿到整合，到追求数学概念本质的全新认知.久而久之，既能提高教师专业化的水准，也能提高学生的解题能力，那么数学教与学将会起到更为巨大的作用.

1.罗增儒.数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2002.

2.沈恒.从高考解题谈模式识别［J］.中国数学教育，2011（8）.

3.邹黎华.例谈数学解题中的模式识别［J］.福建教育学院学报，2010（3）.F