函数与导数背景下不等式证明策略探究

☉江苏省仪征中学 邓迎春

☉南京师范大学第二附属高级中学 张晓飞

函数与导数背景下不等式证明策略探究

☉江苏省仪征中学 邓迎春

☉南京师范大学第二附属高级中学 张晓飞

函数与不等式证明相结合的综合问题在近几年的高考试卷中大量出现，且常以压轴题的形式出现，对考生分析问题、解决问题的能力提出了更高的要求.通过对此类问题的分析，不难发现问题的求解往往都需要适当构造“辅助函数”，通过研究辅助函数的单调性、极值、最值来实现解题的目的.但试题的命制过程中，命题者往往在所给函数与所证不等式关系的确定上设置障碍，使得原函数的性质不易得到.而对学生来讲，求解这类题目的关键则是对函数及所证的不等式进行适当的转化变形，从而找到解题的思路.

一、标准解答

（1）求函数f（x）的最大值；

（2）证明：当k∈N*且k≥2时＜lnk.

本题第（1）问较为常规，利用导数即可顺利求解.现将标题答案展示如下：

解析：（1）函数的定义域为（0，+∞）.

所以，当k∈N*且k≥2时，

所以，当k∈N*且k≥2时

学生看到第（2）问时，不知从何入手.甚至在看到标准答案后仍感一头雾水.本题设置两问，这两问之间必定存在某种关联.因此问题求解的关键是探究出所证不等式与已知函数之间的关系，但本题二者之间的关系比较隐含，需要我们将函数或不等式进行等价变形来寻找关联.具体探究如下.

二、策略探究

1.执果索因，探究不等式成立条件

现以不等式的右半部的证明为例进行分析如下：

2.特殊化，搭建桥梁关键一步

所以当k∈N*且k≥2时

3.左右逢源，实现函数构造转化

所以，当k∈N*且k≥2时，ln

4.由因导果，明确函数转化方向

若从高视角审视问题，题目中设置两问，理论上来讲这两问之间必然存在某种联系.

一般地，在利用第（1）问的结论来求解第（2）问时，需要根据第（2）问的结构特征对第（1）问的结论进行等价转化，在转化的过程中要注意结构上的差异，尽量求同存异，一步步向目标靠拢.比如本例，也可取a＝2，则由第（1）问得到ln2x＜2x-1，那么对于，就要令2x-1＝来进行求解.

三、小试牛刀

（1）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；

（2）设m，n∈R+，且m≠n，求证：

本题第（1）问，利用导数法直接求解如下：

因为f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，所以f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即x2+（2-2a）x+1≥0在（0，+∞）上恒成立.

当x∈（0，+∞）时，由x2+（2-2a）x+1≥0，得2a-2≤x+

由（1）知g（x）在（1，+∞）上是单调增函数，又x＞1，所以h（x）＞h（1）＝0，即

问题得证.

总之，通过对上述两例的探究，不难发现，高考对函数、导数与不等式综合问题的考查，既注重基础，又重视能力.因此，训练中要重视基本题及其常用解题方法的训练，方能以不变应万变.F