概念辨析，在学生的认知拐点处——以“无理数”的概念复习为例

☉山东省莱芜雪野中心中学　刘　军



概念辨析，在学生的认知拐点处——以“无理数”的概念复习为例

☉山东省莱芜雪野中心中学刘军

认知拐点，是指学生概念学习过程中容易出现偏差的地方，也就是学生容易出现认知失误的节点.概念辨析是数学概念教学的重要环节，也是引导学生剖析认知拐点的绝佳时机.因此，在概念教学中，我们应抓住这一环节，详细分析概念的认知拐点，提高概念学习的效度.现结合“无理数”的概念复习谈谈笔者的做法和思考，希望给您带来启示.

一、教学背景分析

无理数引入后，数域得到扩展，数的分类与识别增加了新的干扰因素.识别无理数，是一个新的知识，既是教学重点，也是学生认识的难点.人教版八年级上册教材中，对无理数所下的定义是：“无限不循环小数叫无理数”.许多学生对概念认知并不深刻，识别无理数时纠缠于数字的“外形”，不能抓住定义中“无限不循环”的本质，陷入识别误区，出错不少.其中较为典型的失误有：（1）含根号的数都是无理数；（2）含有π的数都是无理数；（3）“没有”循环节的数都是无理数；（4）人为构造的有规律的数都是无理数.

二、例题设置及分析

1.例题设置

A.1 B.2 C.3 D.4

2.设计意图

在学生获得“无限不循环小数又叫无理数”这一概念之后，教师安排了一定数量的“无理数识别”的例题，并将一些无理数的常见形式进行了归纳，然而，由于过于关注了形式，而忽略了“无限不循环”的本质，导致很多学生出现无理数识别失误.为了帮助学生在无理数识别中由“重形式”向“重实质”转变，在概念复习课上，教师设置了这样一道选择题，意在通过学生的解答与交流，让其重拾概念，理清本质，实现对概念的深度认知.

三、例题教学过程

学生活动：自主解答例题，并将自己的选择在组中做个交流.

3分钟后，小组交流结束，教师组织学生进行全班交流.

师：这里有几个无理数呢？

生1：5个.

师：哪5个？

生1：是呀！

师：何以见得？

师：你们同意他的说法吗？

生（齐）：不同意！

师：为什么呢？

师：说得非常好！遇到根号时，我们应先对其化简，如果能够将根号去掉，那么原数应该是一个有理数；如果根号不能去掉，那结果就是无理数了！同学们，根据这样的分析，-是无理数吗？

生（齐）：是！

师：这道题中还有哪些数是无理数呢？

生3：π.

师：对！那么，含有π的数一定是无理数吗？

生4：不一定！

师：你能举个例子吗？

生4：（π-1）0化简结果为1，是个有理数.

师：很好！显然，并不是所有含π的数都是无理数，还是要看我们化简的结果，如果化简的结果中仍然还有π，那就是无理数了.到底是不是无理数呢？

生5：是的！

师：为什么？

生5：它是无限不循环小数.

师：真是无限不循环小数吗？

生5：真的！我都除到小数点后面5位了，还没发现循环节.

师：看来，你还是不够执着.再多除几步，会有收获的！

师：很好！最后一个数是无理数吗？

（学生普遍有点儿犹豫，私下里交流着什么）

师：你们在想什么呢？

生7：这个数和前面的有规律的无理数差不多，它也是在两个1之间逐次添加了一个零，我感觉是无理数.

（部分学生附和着）

师：它真是无理数吗？我们一起来回顾一下无理数的概念“无限不循环小数又叫无理数”.很显然，无理数首先应该是个无限小数，0.1010010001是无限小数吗？

生（恍然大悟，齐答）：不是！

师：那么它还是无理数吗？

生（齐）：不是！

师：怎么改，就可以变成无理数了？

生8：在后面添上省略号.

生9：最好将规律也交代一下.

师：好的！你们考虑得很周全.现在看来，这道题中到底有几个无理数呢？

师：通过刚才的分析和交流，你有什么启示？

生11：对于含有根号的数，要先试着化简，看结果的形式再去归类.

生12：π是无理数，但含有π的数不一定就是无理数.

生13：找分数的循环节要执着，不能半途而废，难找未必就没有，我记得小学时找过的循环节，比还要难找，但当时我们都找到了.

生14：要辨别一个数是不是无理数，首先看这个数是有限小数还是无限小数，在无限小数的前提下，再去确定是循环还是不循环.

生15：找寻无理数，不能只看形式，要关注“无限不循环”这一实质.

师：你们说得太棒了！概念学习中，我们要更多地关注概念的本质，而不是附着于概念之上的外在的形式，希望这能给你们今后学习其他概念带来启示.

四、教学反思

1.概念教学要重实质、轻形式

概念教学，是数学教学的主要内容.在学生抽象、归纳概念的过程中，我们应突出对概念实质的教学，淡化概念外在形式的教学.通过概念教学，要让学生真正掌握概念及其应用的“内核”，去除一些外在的表面形式的干扰，避免出现“以貌取人”形成解题失误的现象.在本文所给的案例中，学生正是由于“很好地”掌握了无理数的外在形式，在对“含有根号的数”“含有π的数”“有规律的小数”这些类别的数进行归类时，出现了大量的错误.这一现象的形成，无疑与学生获得概念时形成的思维定势有很大的关系，他们关注了概念的外形，而忽略了概念的实质，对无理数概念中的“无限不循环小数”这一实质理解不清、把握不到位，从而“以貌取人”，出现失误.所以我们在今后的概念教学中，一定要重视对概念内涵的清晰解读，让学生能够明明白白知晓概念的应用价值所在.

2.设计例题要靠主线、易拓展

例题是概念辨析的主要工具，它承载着帮助学生理清概念的“内核”、形成应用概念能力的重要任务.因此，我们设计的例题应该紧靠教学主线，是对教学主线深度解读下的知识、技能、数学思想和活动经验综合整合以后形成的教学工具.用于概念辨析的例题，是学生固化概念过程中的帮手，它理应服务于学生巩固概念和应用概念.所以我们设计的例题除了不偏离教学主线，还应利于知识技能的应用和拓展.说白了，就是要有一定的综合性.本文中这道例题，看似简单，实则蕴含了学生可能出现的诸多错误，这得益于教者课前对学情的细致分析.通过精心设计，教师将学生在无理数识别中出现的所有失误直接呈现在题目之中，为教学实施埋下了伏笔.如针对学生错误认为“含有根号的数都是无理数”这一现象，教者直接将反例安排在其中；针对“有规律变化的小数都是无理数”这一错误结论，教者将0.1010010001这一有理数也插到数组之中.如此编排设计，给教者的教和学生的学留下了很大的空间，丰富的教学对话如约而至，推动着学生的认知进一步前进！

3.辨析概念要找时点、抓机遇

概念辨析是概念教学的一个重要环节，但它并不是概念教学的起始环节，一般处在学生获得概念之后.在这一教学节点上，我们一般会设计一定量的练习，通过解答与交流，帮助学生深刻理解概念的内涵和外延.初步的应用，让学生加深对概念的认识，但也给学生的理解与应用带来了很多新的“陷阱”.所以概念辨析一般安排在学生获得概念并尝试应用概念后的一段时间内.究竟安排在哪个教学时点上，取决于教学内容、学生学习状况及教师把握教学契机的能力.当教学内容较难时，我们应找回点安排概念辨析，并且安排多次辨析；当教学内容比较容易时，我们可以在学生即将遗忘时安排辨析，此时的唤醒将会有利于学生深入理解概念.在这么多影响因素中，学生的学习状况是确定概念辨析时点最主要的因素.学生学得好，对概念的本质把握的非常清楚，我们的辨析就可以少一些，简单一些；学生掌握的不好，那么我们的辨析就可以多一些，综合一些.总之，概念辨析的时点需要教师去把握，应由教师根据教学内容和教学现状进行合理设定.一般地，概念辨析的时点应该安排在学生认知的拐点处.在这一学生应用概念时易于混淆的节点上，“呈现有效的例题，通过师生互动教学活动实现概念辨析的价值最大化”应该成为一线教师的追求.

参考文献：

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.王晓峰.经历过程感悟思想学会思考——基于数学思考的“有理数与无理数”的再设计［J］.中学数学（下），2014（9）.