关注学生数学素养的提高——让数学在学生心里生根发芽

☉浙江省绍兴市第一中学 俞一凡

关注学生数学素养的提高
——让数学在学生心里生根发芽

☉浙江省绍兴市第一中学 俞一凡

数学素养于2000年首次出现在我国国家文件之中.在2000年颁布的《全日制普通高级中学数学教学大纲（试验修订版）》中指出：“使学生在高中阶段继续受到数学教育，提高数学素养，对于提高全民素质，为培养社会主义现代化建设所需的人才打好基础是十分必要的.”《普通高中数学课程标准（实验）》中也提到了：“高中数学课程应该在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足人的发展与社会的进步.”尽管数学课程标准如此强调数学素养的重要性，但它并没有给出数学素养的涵义.笔者因此查阅了一些文献，其中有文献指出，数学素养是指在已有数学知识经验基础上，经过数学教育的培养，内化数学文化，最终形成理性处理问题所需的数学能力、数学思想方法、数学应用意识和数学应用能力的综合表征，也有人提出，提高学生的数学素养，就是让数学的理性精神、思维方法和实际应用意识等深深地镌刻在学生的脑海中.笔者学习和阅读了相关的文献并结合自身的教学实践，认为数学素养就是学生能够用数学的眼光去看待问题、解决问题的能力，数学就好比一棵棵小树苗，老师将它栽进学生的心里，当这些小树苗在学生的心里生根发芽时，那么数学就真正地种进了学生的心里，也就是学生的数学素养真正地得到了提高.

事实上，笔者已经在教学实践中发现，很多学生在学习数学时，花费了很多的时间精力努力学习数学，但是数学成绩还是很难提高，而且在学习任何新的数学知识时都感到困难重重，学了新的又忘了旧的.究其根本原因，就在于这些学生在学习数学知识的同时其数学素养并没有得到提高.由此可见，提高学生的数学素养既是提高学生数学成绩的关键，也是教师教学的核心内容.下面笔者就概念教学和解题教学两个方面截取了两个教学片断来谈谈如何提高学生的数学素养，不当之处，敬请指正.

一、在概念教学中渗透数学学科的真理性

案例1“对数的概念”的教学片断.

对数概念的本质属性体现在“运算、等价、符号”这三个关键词上.指数式和对数式的等价，是对数概念的核心，蕴含着化归和转化的思想.在对数概念的教学中，就应该将对数概念的本质渗透其中，扎根在学生心里，在潜移默化中提高学生的数学素养.

师：同学们，在指数函数的学习中我们研究过这个问题：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%.写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系.

生：若设该物质最初的质量是1，则经过x年，该物质的剩留量为y=0.84x.建立这个函数关系式可以实现计算预测的功能，只要知道时间x就可以计算剩留量y.

师：反过来，如果我们测得了剩留量y，怎么求出所经过的时间x呢？比如剩留量为0.5，经过了多少年？

由此引出：“已知底数和幂值求指数”的研究课题.

师：0.85x=0.5中的x存在吗？唯一吗？能否借助之前所学的指数函数内容加以说明？

师生活动：引导学生利用指数函数图像和性质分析得出0.85x=0.5中的x存在且唯一.

设计思路：通过实例说明研究对数的必要性.引导学生用数学语言表述问题，回顾指数运算.由剩留量y求时间x，让学生发现我们要研究的问题的本质是“已知底数和幂值求指数”.让学生意识到这里的求x可能是一种新运算，联想加法与减法、乘方与开方等互逆运算，类比借鉴，明确需要建立一种新运算，这种新运算与指数运算有关.让学生感受到任何一个新问题的提出、新概念的引入、新知识的产生都是在已有知识的基础上进一步研究形成的，因此，新问题的提出、新概念的引入、新知识的产生总有它的现实或数学理论发展的需要.

师：既然这样的数存在，那么它是多少呢？我们如何表示它？解决的办法就是给它一个新记号，我们把0.85x＝0.5中的x记作x＝log0.840.5，读作以0.84为底0.5的对数.那么一般地，已知底数a和幂值N怎么求指数呢？

对数定义：一般地，如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫作以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫作对数的底数，N叫作真数.

师：在指数式中a，x，N的名称叫什么？它们与对数式中的哪些量相对应？通过学生的回答得出指数式与对数式互化的对应式.

师：根据对数的定义我们可以发现，ax＝N与x＝logaN两个等式所表示的是a，x，N这三个量之间的同一个关系.两种写法可以相互转化.

设计思路：明确指数式和对数式中a，x，N是同一个量，理解指数式和对数式的相互关系，互化也体现了等价转化的数学思想.指数式与对数式的等价转化是这节课的核心内容，不管是推导指数式的基本性质还是计算对数式中的相关量，都是利用了指数式与对数式的等价转化来解决的.

《高中数学课程标准》中指出：“数学概念教学要让学生在生成中感受数学本质，切实提高学生的数学素养，凸显数学教学的育人功能.”这表明：对数学概念本质属性和内在联系的揭示是概念教学的重要环节，也是提高学生数学素养的关键.

二、在解题教学中优化数学思维的缜密性

这是应用基本不等式求最值的一个典型题型，教师常常在这道题出现时给出“1”的代换这种解法，忽视了学生出现的错解及其错解背后反映的问题.下面笔者就如何利用这道题的纠错提高学生的数学素养作一些论述.

师：请问当x和y分别取什么值的时候能取到这个最小值？

师：这里用了两次基本不等式，而两个等号成立的条件并不相同，所以导致最终无法取到这个最小值.

师：在利用不等式求最值的时候要注意，不等式中的“≥”的涵义是大于或者等于，只要有一个能成立不等式就成立，但是在求最值的时候必须要等号成立才能取到这个最值，所以对于不等式，它确实是成立的，但是这里只是满足了的情况是不存在的，因为没有这样的x，y，使得的最小值.

设计思路：学生的这种错解是非常常见的，从表面上看，学生是忽视了“一正，二定，三相等”中的“三相等”，利用两次基本不等式，最终导致无法取到最值.实际上很多学生对于利用不等式求最值在最初的理解上就出现了偏差，认为如果有“一个式子≥一个常数”，那么这个式子的最小值就是这个常数，没有理解“≥”的涵义其实是大于或等于，并不代表一定能取到等于.

生：因为利用基本不等式求最值需要满足“一正，二定，三相等”，这里并没有满足“二定”，的乘积并不是定值而是一个变量.

师：记牢利用基本不等式求最值的三个前提条件没有错，只有在这个前提下才能利用基本不等式求最值.