筒形件冷挤压凹模强度设计及结构优化

鲁志兵　王成勇　张心怡　张　鹏　王思艳　王　源

合肥工业大学,合肥,230009



筒形件冷挤压凹模强度设计及结构优化

鲁志兵王成勇张心怡张鹏王思艳王源

合肥工业大学,合肥,230009

摘要：基于厚壁圆筒理论,分析了整体式凹模工作载荷特点，讨论了单纯通过增加壁厚来提高模具强度的局限性。为提高承载能力，探讨了多层预应力组合凹模方案。基于第四强度理论，推导了n层组合凹模承受内压的数学表达式。采用Lagrange乘子法对组合凹模参数进行了优化设计,推导了n层组合凹模各层最佳径比分配、凹模极限内压、套缩界面残余压力及最优过盈量等设计变量的计算式。以三层组合凹模为算例，运用理论分析和数值模拟相结合的方法，对上述n层组合凹模的各设计变量计算式进行了验证，结果表明两者的结果吻合较好。

关键词：挤压凹模；强度设计；结构优化；Lagrange乘子法

0引言

在金属挤压过程中,凹模起着容纳金属坯料和控制金属流动的双重作用，型腔内壁承受较大的挤压力，容易开裂失效。为提高凹模强度，常采用预应力组合凹模结构。如何合理选择组合凹模层数，如何合理设计组合凹模的分层半径以及层间过盈量，是预应力组合凹模设计的关键，目前尚缺少成熟的理论。

罗中华等[1]采用疲劳强度设计理论和最优化设计方法探讨了三层压配组合凹模的设计方法。李燕等[2]以弹塑性力学理论为基础通过保角变换对组合式扁挤压筒的应力及位移分布进行了计算并对其结构进行了优化。Hur等[3]采用理论分析和数值模拟相结合的方法,研究了双层、三层组合凹模的结构优化方法。然而，现有组合凹模的研究局限于三层及三层以内，未涉及更多层的结构优化设计。

本文基于厚壁圆筒理论，分析了整体式凹模承载能力的局限性，采用拉格朗日乘子法，对多层组合凹模结构参数进行优化，最后通过一个算例，对所推导的公式进行了验证，并分析了各层应力沿径向的分布情况。

1筒形件冷挤压凹模工作载荷失效分析

圆筒的外内径之比Rb/Ra>1.2时称为厚壁圆筒，工程中可将筒形件冷挤压凹模简化为内外受压的厚壁圆筒模型来进行受力分析[4],如图1所示。

图1　内外受压的厚壁圆筒模型

凹模沿轴向应变较小,可以忽略,故可将其视为平面应变问题来处理。在进行受力分析时，所有分量均采用极坐标(r,θ)表示。当厚壁圆筒同时承受内压pi和外压pj作用时,在弹性范围内，环形截面上任意半径r处产生的径向应力σr和周向应力σθ由Lame公式[4]得出：

(1)

(2)

式中，σz为轴向应力。

2整体式挤压凹模受力分析

当挤压凹模为整体式时，有pj=0,假设整体式凹模产生屈服时的最大承载能力pemax=pi，K=Rb/Ra。在内壁处(r= Ra),σθ-σr有最大值,由式(1)可知:

(3)

由式(2)有

进而得到整体式凹模产生屈服时的最大承载能力：

(4)

当K由小到大取不同值时,绘得凹模pemax/σs与K值的关系曲线,如图2所示。

图2　凹模pemax/σs与K值的关系曲线

由图2可知:

(1)对于选定凹模材料，σs为定值,pemax的值与Ra无关,仅与K值有关,当K值增大时，pemax增大；

(2)对于整体式凹模,K为4~6较为合理。当K>6时,随着K的增加,pemax增加不明显；

由式(1)，可得整体式冷挤压凹模在弹性范围内沿壁厚方向任意一点处的周向应力σθ和径向应力σr的表达式：

(5)

由式(5)得,在内壁处(r= Ra)处,周向应力取最大值。最大周向应力σθmax与K的关系式如下：

(6)

将式(5)代入式(2)得环截面上任意半径r处产生的等效应力表达:

(7)

(8)

图3　σθmax/pi及与K值的关系曲线

由图3可知:

(2)当K<4时，随着K值的增大，σθmax和

综上所述,在实际生产中,考虑到材质的影响，一般取总径比K为4~6为宜。当挤压凹模承受的单位挤压力超过1100MPa时，为了提高凹模强度，防止纵向裂纹产生，生产中普遍使用预应力组合凹模。

3多层冷挤压组合凹模受力分析

3.1多层组合凹模结构及弹性解

多层组合凹模是利用过盈装配将两个或多个不同直径的同轴筒体缩套在一起,形成多层筒体,套合后外层筒体收缩使内层筒壁产生压缩残余应力，以提高凹模在工作时的弹性承载能力[6]。同轴套缩多层组合凹模结构示意图[7]见图4。

图4　同轴套缩多层组合凹模结构

根据式(1),第m层圆筒弹性解的周向应力(σθ)m和径向应力(σr)m的表达式如下[9]：

(9)

3.2多层组合凹模优化设计数学模型

在组合凹模的优化设计中，要求最大限度地发挥材料性能。本文以内层凹模和预应力圈在工作内压下同时屈服为目标进行优化，以第四强度理论为设计准则，当每层筒体内壁处的等效应力同时达到材料的屈服极限时即组合凹模失效。

根据上述要求及式(9),在极限状态下,第m层内壁屈服时的应力表达式为

(10)

将式(10)改写成如下形式：

(11)

则有

(12)

将式(12)中各式叠加,得

(13)

按照假设,K为常数,则多层组合凹模中存在的数学优化模型如下：

(14)

(15)

对式(15)求偏导并令偏微分均等于0,有

(16)

于是，可得到

(17)

式(17)构成了一个非线性方程组。

3.3多层组合凹模优化结果及其分析

3.3.1总径比K的最佳分配

求解式(17),得各层径比Km的最优解表达式为

(18)

3.3.2组合凹模所能承受的极限工作内压分析

将式(18)代入式(13)可得多层组合凹模的极限工作内压pimax表达式:

(19)

由式(19)可知,当组合凹模总径比K和总层数n确定后,组合凹模极限工作压力pimax的大小与层的顺序无关，与各层材料的屈服应力有关。此式也适用于各层材料相同的组合凹模，根据式(4)和式(19),绘出了10层以下相同材质的组合凹模pimax/σs1与总径比K之间的关系曲线，如图5所示。

图5　组合凹模pimax/σs1与总径比K之间的关系曲线

从图5可知：

(1)当K和σs1一定时,组合凹模的层数越多，组合凹模极限工作内压pimax越大。即当凹模安装尺寸一定的情况下,采用m层组合凹模比m-1层组合凹模能承受更高的工作内压；

(3)在凹模安装空间尺寸允许的情况下,当组合凹模的总径比K>6时,在一定范围内仍能明显提高组合凹模的极限工作压力。

3.3.3组合凹模界面套缩残余压力分析

(20)

将pimax代入式(12)叠加，得极限工作压力下第m与第m+1层间分界面处的接触压力为

(21)

将套缩后的多层组合凹模视为整体筒体进行分析,根据式(1)可得，在pimax作用下,第m层与第m+1层套缩界面处产生的压力pm为

(22)

由式(19)~式(22)得

(23)

3.3.4组合凹模最优过盈量设计

对于两层以上的组合凹模而言，套缩压力并不等于套缩界面残余压力，还与其余外层套缩压力在该界面处产生的径向压力有关。多层组合凹模一般由内向外过盈装配，即先将凹模套缩在第2层预应力圈上，形成双层组合凹模，然后把双层凹模视为整体式凹模套缩于第3层预应力圈上，按照此配合顺序，将n-1层组合凹模套缩于n层中，形成n层组合凹模。故n-1层与n层配合面处的套缩压力即为套缩产生的界面残余压力。第1层到n-1层间的套缩残余压力是本层套缩压力与其余外层套缩压力在该套缩界面处产生的径向压力的叠加。由式(1)根据力的叠加原理得，第m层与m+1层间套缩压力psm表达式为

i=m+1,m+2，…，n-1

(24)

对于双层组合凹模而言,由文献[10]可知,组合凹模在不承受工作内压时，套缩压力ps与层间半径过盈量δ之间的关系式如下：

(25)

式中,E为弹性模量;R0为套缩界面半径;Ri、Rj为双层组合筒体的内外半径。

将第1层到第m层筒体按照先后顺序装配完成后套缩于第m+1层筒体，此时可将第1到m层筒体视为内筒，第m+1层视为外筒，故在套缩压力psm作用下,由式(25)得第m与m+1层间半径过盈量δm为

(26)

3.4三层组合凹模优化及应力分析

3.4.1最优凹模参数设计

本文优化的三层组合凹模内径Di=80mm，材料为高速钢W6Mo5Cr4V2，其屈服强度σs1=1250MPa;中层预应力圈材料为30CrMnSi，其屈服强度σs2=885MPa;外层预应力圈材料为5CrNiMo，其屈服强度σs3=729MPa,各层材料的弹性模量均为E=200GPa，总径比K=4。由式(19)解得组合凹模的极限承载压力pimax=1013.8MPa,由式(18)、式(21)、式(23)、式(26)求得组合凹模的优化参数，如表1所示。

3.4.2三层组合凹模应力场分析

本文基于ABAQUS软件，利用表1中的优化设计参数，对三层组合凹模装配过程进行有限元仿真分析，得到了凹模在1013.8 MPa工作内压下的周向应力、径向应力沿壁厚方向的分布曲线，如图6所示。

表1　三层组合凹模的优化设计参数

(a)周向应力分布

(b)径向应力分布图6　应力沿壁厚方向的分布曲线

从图6a中可以看出，凹模过盈装配后，在不承载的情况下，第1层周向残余应力为压应力，第2、3层为拉应力，其数值在各层内壁处达到最大值且沿着壁厚方向减小。凹模承载后，第1层的周向残余压力能部分抵消工作应力在壁厚方向上产生的拉应力，从而降低了凹模纵向开裂的倾向。根据力的叠加原理，叠加后第1层的周向应力部分由压应力转变为拉应力，第2、3层的周向拉应力值相对增大。

从图6b中可以看出，凹模过盈装配后，径向残余应力均为压应力，在整个组合凹模的内外壁处应力值为0，且沿壁厚方向变化不均匀。凹模承载后，径向最大压应力值位于第1层凹模的内壁处，且沿壁厚方向呈现减小的趋势。

为了验证有限元模拟结果的正确性，将各层内外壁处的应力值进行了对比分析，如表2所示。从表2中可以看出，优化数值解和理论解比较接近，相对误差较小，有限元分析结果和理论分析结果得到了相互验证。

表2　三层组合凹模中各层内外壁应力值对比

4结论

(1)整体式凹模的弹性承载能力随壁厚的增加而提高，凹模总径比K取4~6为宜，在工作状态下内壁处的等效应力和周向拉应力数值最大，且其最大值随壁厚的增加而减小，当K>6时承载能力增加不明显。

(2)本文基于第四强度理论，考虑了中间主应力对材料屈服的影响,能较好地反映材料的屈服特性，接近于工程实际应用。采用Lagrange乘子法对多层组合凹模进行优化设计，推导出各层最佳径比、凹模极限承载压力以及最优过盈量的计算公式。

(3)通过对三层组合凹模的优化设计，借助有限元建模分析验证了理论推导公式的正确性。

参考文献：

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(编辑袁兴玲)

Strength Design and Structural Optimization of Cold Extrusion Die for Cylindrical Workpieces

Lu ZhibingWang ChengyongZhang Xinyi Zhang PengWang SiyanWang Yuan

Hefei University of Technology,Hefei,230009

Abstract:Based on the theories of thick-walled cylinder, the mechanical characteristics of integral die under working conditions were analyzed and the calculation results show that it is difficult to increase the die strength only by increasing the wall thickness. In order to improve the load supporting capacity of the die, the scheme of prestressed multilayer the die was discussed. Based on the fourth failure criteria,a mathematical expression of n-layer combinatorial die under internal pressure was deduced. Lagrange multiplier method was used to obtain the optimum design parameters of combinatorial die. The design formulas of optimum diameter ratio of each layer, the limit loading pressure，the residual pressure in shrinkage interface and optimum radial magnitude of interference were investigated. Through the optimum design of three-layer combinatorial die, the derived formulas was verified using two methods of theoretical analysis and numerical simulation.The investigation shows that the simulation results are consistent with the theoretical ones.

Key words:extrusion die;strength design; structure optimization; Lagrange multiplier method

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51275146)；教育部科学研究重大项目(311025)；安徽省自然科学基金资助项目(1208085ME71)；留学回国人员科研启动基金资助项目

收稿日期：2015-01-23

中图分类号：TB125DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.23.018

作者简介：鲁志兵，男,1990年生。合肥工业大学材料科学与工程学院硕士研究生。主要研究方向为塑性成形及模具CAD。王成勇,男,1972年生。合肥工业大学材料科学与工程学院博士、副教授。张心怡，男，1990年生。合肥工业大学材料科学与工程学院硕士研究生。张鹏,男,1990年生。合肥工业大学材料科学与工程学院硕士研究生。王思艳，女,1990年生。合肥工业大学材料科学与工程学院硕士研究生。王源,男,1991年生。合肥工业大学材料科学与工程学院本科生。