合理分类攻克导数含参问题

顾卫林

有关导数含参问题的分类讨论是历年高考的重点、难点，甚至在填空题中都偶尔来设置分类讨论问题.而对参数按什么标准进行分类讨论是我们学习的难点，下面我们就来梳理一下其中的常见问题.

一、方程f'（x）=0是否有根

例1 （2014年高考湖南卷理科第22题改编）已知常数a>0，函数f（x）=ln（1+讨论f（x）在区间（o，+∞）上的单调性.

点评 此类题对函数f（x）求导，导函数'（x）的正负不能确定，可把方程f'（x）-o有没有根作为切人点，寻找根存在的条件作为分类的标准.如导函数f'（x）的分母恒大于O，分子为含参的二次函数，即分△O讨论f（x）函数的单调性，若二次项系数含参，不要遗漏二次项系数能否为o.

二、若f'（x）=O有根，求出的根

是否在定义域或给定区间内

例2 （2014年高考四川卷文科第21题改编）已知函数f（x）=ex- ax?2-bx-1，其中a，b∈R.设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值.

略解 g（x）=ex-2ax-b，g'（x）=ex-2a.

（1）当a≤O时，g'（x）=ex-2a≥0，所以g（x）≥g（0）=l-b.

（2）当a>0时，令g'（x）=O，x=ln（2a）.

①当In（2a）≤o，即o

②当O

③当In（2a）≥1，即a≥e/2时，g'（x）≤o，g（x）在区间[0，1]上单调递减，所以g（x）min=g（l）=e-2a-b.

点评 此类题是方程f'（x）=0有根问题的延伸，根在不在定义域或给定区间内不能确定，可把根与定义域或给定区间的端点大小关系作为分类标准，逐类研究函数的单调性.

三、若根在定义域内且有两个，则

比较根的大小

例3 （2014年天津高考卷文科第19题改编）已知函数f（x）=x?-2/3ax?（a≠o），求f（x）的单调性和极值.

略解 f'（x）=2x-2ax?（a≠0），令f'（x）=o，得x=0或x=1/a

①当1/ao；x∈（1/a，0 ），f'（x）0，

所以f（x）的单调增区间是（-∞，1/a）和（o，+∞），单调减区间是（1/a，o）；当x一1/a时，f（x）取极大值、f（1/a，当x=o时，f（x）取极小值f（o）=o.

②当l/a>o，即a>o时，x∈（ -∞，o），f'（x）o；x∈（1/a，+∞），f'（x）

所以f（x）的单调增区间是（0，1/a），单调减区间是（-∞，o）和（1/a，+∞）；当x=o时，f（x）取极小值f（o）=o，当x=1/a时，f（x）取极大值f（/a）=·

点评 本题中方程f'（x）=O有两根，且两根均在定义域或给定区间内，其大小关系不确定，可把根与根的大小关系作为分类标准来研究函数的单调性与极值，需要注意的是求最值时极值与区间端点的函数值，区间左端点与有端点的函数值大小关系不能忽视，大小不能确定时需要分类讨论.如例2中把求最小值改为最大值就需要讨论区间端点的函数值大小关系.

综上，确定有关导数的含参问题，可以按“方程f'（x）=0有没有根”，“方程f'（x）-O的根在不在定义域或给定的区间内”，“方程'（x）=o有多个根，比较根的大小关系”来确定分类标准（即“有没有”、“在不在”、“大不大”），体现了分类讨论思想的本质：化整为零，积零为整.