自觉融于课堂，概念自然“懂了”

张浩

许多同学会有这样的感觉：在审题过程中似曾相识，但解题过程中却义千疮百孔.究其根源，主要是在课堂中对学习内容的理解上往往蜻蜓点水，习惯于简单模仿，没有自己的独立思考.尤其是对概念的理解，对问题的理解不够深刻，老师追问“懂了吗”，不假思索地回答“懂了”.

懂是有阶段性的.对于概念，同学们不仅仅要懂其本身，而且要懂它的来龙去脉；不仅要通过例题懂概念的局部，而且要通过课堂练习、课后作业懂其全部；懂这个概念为什么要提出来，从哪一个方面提出来，利用这个概念可以解决什么问题，为什么可以解决这些问题，如此等等.下面从《导数》中的一些问题，浅谈一下上述思考.

第一阶段：概念的生成，达到概念的“朦胧懂”

导数概念的建立是基于“无限逼近”的过程，这与初等数学所涉及的思想方法有着本质的不同.我们首先是学习平均变化率，平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，大部分同学对应该有一定的印象.紧接着结合图象学习瞬时变化率，这是导数概念的源头.同学们可以尝试画出逐步放大的图形.具体就是曲线上一点P附近的图形放大再放大，是“局部以直代曲”的思想根源.

第二阶段：例题的探究，达到概念的“局部懂”

在“朦胧懂”后，我们的头脑中往往有一个抽象的概念模型，这需要用具体例子来试一试，以判断对概念的“懂”的程度.因此例题的学习是一个具体化的过程，在这一过程中，不要怕出错，要敢于试，尤其要从不太懂的角度去探究，需要同学们结合刚刚学习的概念多角度去分析、解答.

例 已知f（x）=x?，求曲线y=f（x）在x=2处的切线斜率.

分析这是教材上的一道例题，背景是利用割线斜率逼近切线斜率与导数之间的相互关联，利用导数很容易求得斜率为4.

思考我们可以对例题进行多样化的挖掘、探究，比如作出图象加强直观；还可以取△x<0进行比较；有条件的同学还可以利用计算机分别演示数值逼近和图形逼近的过程，生动形象度和可信度大大增加.

以上从多个侧面探究导数的概念，通过例题，我们要弄懂例题中关注的局部，形成一个个“局部懂”.

第三阶段：练习的解答，达到概念的“变式懂”

在“局部懂”后，我们头脑中的知识和方法往往是杂乱无章的，需要梳理，尤其需要依白己的认知去梳理.因此我们要把握好课堂上老师留出的小段练习时间，将课堂上的练习题——例题的“变式”逐一击破.我们要在变式学习中，让一个个“局部懂”连起来.

练习（1）直线ι是抛物线y=0.5x?-4x+10在x=6处的切线，求直线ι在y轴上的截距；

（2）直线ι是曲线y=f（x）在x=4处的切线，且切点坐标为（4，5），又ι的纵截距为3，求f'（4）的值；

（3）分别求曲线y=x?+2x在点A（l，1）及点B（-1，-3）处的切线方程.

解（1）由题意得：y'=x-4，所以切线的斜率为2.

又因为切点坐标为（6，4），由直线方程的点斜式可得直线方程为：y-4=2（x-6），即为：y=2x-8.

令x=0得y=-8，所以直线ι在y轴上的截距为 8.

（2）因为ι的纵截距为3，所以直线过点（0，3），结合ι过切点（4，5），由直线方程的两点式可得ι的方程为，化解得ι的斜率为1/2，所以f'（4）=1/2

（3）易得：y'=2x+2，所以曲线在点A，B处的斜率分别为：0和4，对应的切线方程分别为：y=1和y=4x+l.

评注这是一组教材后的课堂练习题，相对例题而言更强调的是对概念本质的理解.抓住切点、切线、斜率等几个相关联的关键词，将导数的几何意义充分理解、消化、吸收，这组问题就迎刃而解了.

思考三个练习题从不同层面诠释了利用导数求切线时的各种关联，一方面利用方程组的理念也可以求解切线的相关问题，另一方面利用导数可以优化解题.但过程当中对概念的理解要透彻，从单纯的模仿到带有创造性的模仿，是一个飞跃.

该问题中有一个容易出现理解偏差的词“在……处”，这个词与“过……点”常常混淆，在练习中，要通过多次反复的强化，逐步融于自己的知识结构中，而不应该通过记忆来学习.说了这一问题，有可能一些同学要问：是不是要死磕一些词呢？不一定，有些概念的真正“懂”要经过多次反复，因此在课堂练习中更应该关注主流、重点，跟上课堂节奏，不应该在个别处“转圈”.

第四阶段：作业的自测，达到概念的“升华懂”

由于课堂上时空的制约，“变式懂”也只是在课堂中的懂，这种懂往往是瞬时的，课后，应该及时复习巩固，让“懂”升华.下面通过一个问题的探究，希望对大家有所启发.

问题设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0.

（1）求y=f'（x）的解析式；

（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=O和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.

略解（1）根据曲线y=f（x）在点（2，f（2》处的切线方程为7x-4y-12=0可知，（2，f（2））满足函数方程，且f；（2）=7/4，列方程组可求得

（2）求出f（x）在任一点（o，yo）处的切线方程，分别令x=0和y=x，求出切线与y轴及与y=x交点的坐标，表达出面积的关系式，再消去变量，求得定值为6.

思考本题旨在通过对导数的几何意义和解析几何中的定值问题的探究，提高对导数的整体认识，在提升推理论证能力和运算求解能力的同时，导数概念在头脑中也得到升华.

课堂上的理解程度受很多因素的影响，但追根溯源必须要对概念有深刻的理解，对典型问题要问一问为什么，对课堂练习要问一问像不像，对课后作业要问一问怎么做，作业做好后要问一问是否还有其他方法.

学习中的每个阶段，我们应该跟上甚至超越，这样才是真正的“懂”.