“懂”是有层次的，“学”是有阶梯的

王军

我们常会遇到这样的问题：课堂上听“懂了”，课后不会做题，考试成绩也不理想，课堂听懂是学习取得好成绩的基本条件，但不是必要条件.我们常昕到做好题首先要审好题，再要能联想到相关知识（规律、概念、公式等），还要有扎实的数学基本功，课堂听懂只是初级的阶段，“懂”在每个人心底里是不同的.好多人的懂是“听懂了”，是感觉上的懂，是不假思索脱口而出的懂，没有深层次的思考后的表达，因此懂是有层次的.

那么究竟有哪些层次，这也是因人而异的，针对这一问题，本文对一节“用导数求切线”习题课的作业完成情况做了调查，并进行了深入的分析.

首先说说用导数求切线内容的地位与作用.求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点P（xo，yo）及斜率，其求法为：设P（xo，yo）是曲线y=f（x）上的一点，则以P为切点的切线方程为：y-yo=f'（xo）（x-xo）.

再说说布置作业前的基础.课堂上已例析了常见的类型及解法：（1）已知切点，求曲线的切线方程；（2）已知切线斜率，求曲线的切线方程；（3）过一点（未知切点），求曲线的切线方程.并且做了随堂练习，同学们总体反应还不错，都说已经听懂了.

作业是：

（1）求曲线y=x?-3x?+1在点（1，-1）处的切线方程.

（2）求与直线2x-y+4=0平行且与y=x?相切的直线方程.

（3）求过点A（O，16）且与曲线y=x?3x相切的直线方程.

（4）求过曲线y=x?-2x上的点（1，-1）的切线方程.

（5）已知P为曲线y=lnx上一点，求点P到直线y=x+4的最小距离，

下面从我班同学作业完成情况进行分析，大家也可以参考看看自己在哪个层次上，

第一层次：了解切线的求解步骤，简单模仿解答，整体认识模糊，

下面是个别同学的作业情况.

（1）由于课堂中有类似的例题，能解决.

（2）答案能写出，但过程不规范.有同学这样写，y'=2x=2，所以x=1，所以切点为（1，1），故切线方程为为y-1=2（x-1），即2x-y-l=0.

（3）大部分解决，少部分空着.

（4）出现了问题，认为点（1，-1）在曲线上就是切点，与（1）相同，因此只求出一解.

（5）没有动笔.

分析与思考：

（A）解决问题总是从模仿开始，教师选的前两道题比较容易，而且也与课上例题相似，因此，简单模仿已凑效.（3）不能解决，由于基础较弱，老师授课时，没能专心听课.遇到自己认为较繁琐的问题时，就不愿去做了.这些同学时间久了就会出现学习懈怠.（4）的问题是没有弄清切点的本质.

（B）这里的“懂”只是了解了一些步骤，学会了一些简单的模仿，是被动的接受，成为了课堂上的记录者、纯粹的听众.

（C）出现此类问题，我们需立足基础.

1）做好课前预习，掌握听课主动权.一方面要通读教材中的相关内容，把不懂的部分标注清楚，进行初步思考，上课时注意老师的讲解.另一方面还要将教材后边的习题初做一遍，把不会做的题做上记号，一起带到课堂去解决.这样做，就会增强听课的目的性，掌握听课的主动权，提高听课的效果.

2）课上专心听讲.上好课是学习的中心环节，上课的常规应该是：①上课前做好上课的心理准备；②注重例题，要集中注意力，紧紧跟上老师讲解的思路；③回答或讨论问题时要踊跃发言并认真做好课堂练习和笔记.

3）及时复习，把知识转化为技能.学完一课要及时归纳整理，以备查阅.同时区分出哪些掌握了，没有掌握的要寻求老师或同学帮助.当天及时复习整理，能够减少知识遗忘，易于巩固和记忆，经常复习能加深对知识的理解.

第二层次：分清问题的类型，能直接运用，理解问题的局部，

下面是大部分同学的解答情况

（1）（2）（3）能很好解决，（2）的解决是这样的：设P（xo，yo）为切点，则切点的斜率为y'|x=xo=2xo=2.所以xo=1.由此得到切点（1，1）.故切线方程为y-1-2（x-1），即2x-y-l=0.

（4）设了切点Q（xo，yo），但求解方程2xo?3xo?+1=0时遇到了困难.

（5）只是解决部分.有的同学尝试用上了距离公式：设P（xo，yo）为曲线y=Inx上一点，则无法继续下去.

分析与思考：

（A）听得懂课，（1）（2）（3）能很好解决，（4）（5）做不好原因有二：1.基本知识不牢固，只是了解，需要用到时不能灵活运用.2.仅限于听课，做题，不去琢磨，不思考，不理解其中的解题方法.比如（5）和（2）的关联.

（B）这种“懂”只是在教师的指引下懂的，还没有转化成白己的内在知识，离开教师的指引就会摸不着方向，这种情况一是要做一定的习题，在错误中去体会知识的内在含义，二是必须积极去寻求老师的指导，特别是解题方法和思路上的.没有真正理解所学内容，处于似懂非懂状态.

（C）基础问题掌握，要对知识的整体认识清楚，我们应该：

1）遇到新的知识，课前做好预习，对新知识主要解决的是什么问题有一定了解.

2）课堂上我们的思维活动要跟上老师的引导、点拨、讲解、分析的思路.首先弄清它的意思.搞清它的内涵和外延，看它是怎样提出来的，在什么条件范围内出现的.勇于质疑问难，不但求学会，更要求会学，会运用，同时也只有做到了既学会，义会学、会用，才能真正地理解课本的知识，达到举一反三，触类旁通的境地.

3）复习是一个起着承前启后作用的学习环节，是对知识的消化和巩固.每学完一课要及时回顾、复述、进行思维再现；思考它与哪些旧知识和方法形成交汇，如学习导数主要就是解决函数的一些问题，那么函数问题解决的一些方法就自然迁移过来.根据总结归纳，结合旧知，从而融会贯通，使白己的“懂”更进一步，

第三层次：知识理解清楚，基础扎实，掌握问题的全部.

下面是个别同学的解答情况.

（1）（2）（3）没有问题.

对于（2），甲同学利用“△法”加以解决，即设切线方程为y=2x+b，代人y=x?，得x?-b=0，又因为△=0，得b-1，体现出他抓住了前后知识间的联系，而且运算容易.

（4）也出现两种解答，乙同学用待定切点法：

设想P（xo，yo）为切点，则切线的斜率为

所以切线方程为

又知切线过点（1，-1），把它代人上述方程，

故所求切线方程为y-（1-2）=（3-2）.即x-y-2=0，或5x+4y-l=0.

评注 可以发现直线5x+4y1=0并不以（1，-1）为切点，实际上是经过了点（1，-1）且以（-1/2，7/8）为切点的直线.这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法.

（5）有的同学直接用距离公式：设P（xo，yo）为曲线y=Inx上一点，则d=进一步提出研究函数f（x）=x-lnx+4的最小值；另外有同学将（2）的问题理解很透彻，想到了数形结合，很好地解决了问题.同时对所学知识的运用有了很好的理解.

分析与思考：

（A）有效行动，享受成功，对新知识已经有较好的运用，能将新旧知识进行融合，对问题的整体掌握，“懂”达到了一定的层次.

（B）对新知识整体掌握了，我们还应做些什么？

1）课前预习应该有整体性，学习需要超前意识，对即将学的知识有一个系统理解，这一章节学的是什么.

2）课上需要思考.不能感觉懂了就放松对自己的要求，仅仅学习而不思考是不能真正理解新知识的，我们在学习一个新知识的时候，要主动思考，除了了解怎么用之外，我还会想这样几个问题：什么时候用？它解决了什么问题？有没有别的相似的东西或方案？他们之间有什么区别？最后人们选择它的主要原因是什么？这样才能使自己的“懂”得到升华.

3）课后要进行系统整理，分类归纳，使知识结构化、图示化、明析化，使白己的知识体系得到一步步的提升，增强知识的综合运用能力.

同学们，请注意，“懂”是有层次的，从“懂”到直正“掌握运用”，还需要我们的主动探索，听课就好比是有人带着走一条陌生的路，用心去走，下次一个人也会走了.如学习中不参入自己任何思考，我们就像是一个盲人在人的搀扶下走路，由于看不到走路过程中的任何细节，所以相同的路还是不会走.但是盲人，对于自己摸索着走过的路，自己再走也没问题.

“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索.”从觉得自己懂了到自己真正懂了，还是有很大一段距离的，这就需要我们自己付出时间和精力，努力探索，在探索中思考和应用，在这个过程中慢慢内化成自己的懂.