透视中国古代数学中的微积分思想

弓月

刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念.随着对函数研究的不断深化，产生了微积分，它是数学发展史上继欧氏几何后的又一具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑.

翻阅微积分教材与介绍微积分发展史的著述，容易发现，大多数定理的前面都冠以某某外国人的名字，鲜有反映中华民族对于微积分的形成与发展作出贡献的内容.我国有着光辉灿烂的数学史，事实上中国古代数学中也同样蕴含着初步的微积分思想.

微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念，求积的无限小方法，积分与微分的互逆关系.最后一阶段是由牛顿、莱布尼兹各自独立完成的.对于前两个阶段的工作，欧洲的大批数学家甚至可一直追溯到古希腊的阿基米德都做出过不同的贡献.在这方面，古代中国并不逊色于西方.

如圆周率方面的研究成就是举世公认的.刘徽利用圆内接正多边形的边数越多，正多边形的面积越接近于圆面积的原理，创立了一个符合“极限存在准则”的不等式.他计算了圆内接正3072边形面积，得到π≈3927/1205化成小数是3.1416.祖冲之在此基础上进一步精密地推算到3.1415926<π<3.1415927的结果，成为在世界上领先1000多年的光辉成就.这里所用的方法就是举世闻名的割圆术.刘徽说：“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这其中正体现了“以直代曲、无限逼近”的微积分的核心思想.

学习立体几何时，我们都知道球的体积公式v球=4/3πR?.中国古代将球称为立圆.祖暅所用的开立圆术是与求球体积有关的一种方法.在这一方法中，祖暅指出“夫迭幂成立积，缘幂势既同，则积不容异.”用现在的话讲，就是“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.”这里的“幂势既同，则积不容异”与积分概念的核心思想是一致的.它比卡瓦列里原理要早1200多年.

数学是文化的一部分，我国古代数学的微积分思想同样也在哲学、文学等中折射出来.庄子在《天下篇》中讲：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把这句话和“求数列an=1/2n当n→∞时的极限”联系起来的话，无不为古人深邃的极限思想而折服.

老子在《道德经》中说：“合抱之木，生于毫末；九层之台，起于累土；千里之行，始于足下.”比喻事情的成功是由小到大逐渐积累的.如果我们单从比喻的本身来说明定积分的微元法是再合适不过的了，这里面蕴涵着深刻的微积分思想.

立足传统文化，将会使我们收获人类文明成果的行程变得更有意义.