一种认知MTD雷达脉间编码设计方法

(南京航空航天大学电子信息工程学院,江苏南京211106)

0 引言

对现代雷达而言,杂波中的目标检测是最具挑战的问题之一,因此一直以来杂波抑制都是雷达技术发展的重要推动力之一。虽然历经几十年的发展,动目标检测(Moving Target Detecting,MTD)雷达系统在系统设计和工程实现方面均日趋成熟,部分系统的性能指标接近理论极限。但其所处的电磁环境日趋复杂,工作环境瞬息万变。因此,如何针对MTD系统进行升级,进一步提高杂波环境下的检测性能,提升系统的智能化水平,是雷达界目前关心的重要问题。

认知雷达(Cognitive Radar,CR)作为一种新型智能雷达系统[1-2],为未来雷达系统利用反馈信息设计自适应波形进行杂波抑制提供了一种新思路。目前对认知雷达杂波抑制波形设计研究主要从两个角度开展。一是脉内编码调制设计,这是目前研究比较成熟和集中的角度。针对杂波下的距离扩展目标检测问题,以Pillai和Guerci[3-4]为代表的研究人员根据距离扩展目标的冲激响应及背景杂波和噪声,提出了有限时宽信号的迭代设计方法,以最大化滤波器输出的信杂噪比(Signal to Clutter and Noise Ratio,SCNR),通过在VHF波段下对T-72和M1坦克目标进行不同姿态角的照射实验验证了检测性能的提升。二是脉间编码设计,以De Maio为代表的研究人员以杂波和干扰环境下最大化SCNR为目标,在波形相似度等约束下提出了一系列的编码设计方法[5-6];文献[7]则在上述基础之上,将模型拓展到信号相关杂波环境中,提出了两种脉间编码优化设计方法,即Co Re和CADCODE算法。

本文针对文献[7]中两种算法涉及矩阵求逆和分解等复杂操作、计算量大和难以实现实时处理的问题,研究一种新的脉间编码设计方法。建立了信号相关杂波环境下的脉间编码MTD雷达信号模型;分析了SCNR的改善机理并给出了脉冲编码优化设计准则;基于加权幂平均不等式(Weighted Power Mean Inequality,WPMI)提出了非凸转凸的优化问题转化方法,并针对转化后的锥约束下二次型规划问题提出了一种基于简约梯度的编码设计方法;进行计算机数值仿真。

1 认知MTD雷达信号模型

1.1 脉间编码回波信号模型

假设对某MTD雷达发射的N个脉冲信号进行脉间编码,并对其接收到的回波信号进行正交解调和匹配滤波,在t=n TPRI+τ时刻(0≤n≤N-1)处抽样得到离散回波信号[7]:

式中:TPRI表示脉冲重复周期,N表示发射信号的脉冲个数;α表示均值为0、方差为σ2T的复高斯随机变量(对目标而言即Swerling-I模型);a=表示脉间编码表示向量的转置;目标多普勒频率构成的多普勒矢量p=和n分别表示在回波中,与信号相关的杂波信号c(t)和噪声n(t)经过正交解调、匹配滤波和抽样后得到的离散矢量;表示哈达玛乘积。由于这里的杂波为信号相关杂波,因此,脉间编码的调制方式会体现在接收杂波中。

1.2 脉间编码的可行性分析

利用式(1),动目标检测的二元假设检验表示为

在已知目标信号多普勒频率的情况下,根据最大似然比检验(Generalized Likelihood Ratio Test,GLRT),其最佳检测器的性能是由SCNR来决定的[8]:

式中:(·)H表示矢量或矩阵的共轭转置;A=diag(a),diag(·)表示矢量构成对角矩阵主对角线上的元素;C和M分别是c和n的协方差矩阵,可通过预先扫描或先验知识获得。

式(3)表明:经典的脉间无编码发射方式,SCNR取决于协方差矩阵C和M;而在认知发射的方式下,SCNR则有可能通过脉间编码a的调整,获得无编码发射方式基础上性能的改善。此外,由于C和M一般用复数表示,因此,用于脉间编码的矢量a亦可用复数(即脉间编码同时体现在幅度和相位的调整)。

式(3)的另一种表示形式如下:

式中,tr(·)表示矩阵的迹。当M为对角矩阵(即白噪声情况)时,AHM-1A只与a幅度值有关,与相位无关。因此,白噪声情况下脉间编码仅体现在a的幅度,而与相位无关。

2 基于WPMI的优化问题转化

在限定发射能量的约束下,以SCNR最大化为设计准则,认知M TD雷达脉冲编码设计的优化问题可表示为

式中,‖·‖2表示向量的2范数,e表示脉冲编码的能量。由于式(5)中目标函数的强非凸性,增加了求解过程中的难度以及最优结果的多值性。

由于凸问题具有局部最优解是全局最优解、避免算法初始化、搜索步长选择和陷入局部最优值的优点,同时具有高效求解算法的优势。本文考虑将式(5)的非凸优化问题转化为凸优化问题处理。

定理1:令S为正定矩阵,则存在以下不等式:

证明:根据 WPMI,有

得证。

因此,存在以下不等式:

式(6)表明式(5)中的非凸目标函数存在一个下确界(Inf)。通过下确界的提高可在一定程度上改善目标函数。由于下确界形式是一个明显的凸函数,式(5)中非凸优化问题可表示为如下的凸优化问题:

即

式(8)成功地将非凸最大化问题向最小化凸问题进行转化。需要注意的是,随之而来的代价是目标函数中出现了四次型。因此,式(8)可归结为二次约束四次型规划优化问题(Quadratic Constrained Quartic Programming,QCQP)。该问题的求解仍较为复杂。

3 认知MTD雷达脉间编码设计方法

3.1 白噪声下的简化问题

非白噪声情况下噪声协方差矩阵M的非对角化会在一定程度上带来求解过程复杂。当噪声为高斯白噪声,上述优化问题将进一步简化。

这里假设噪声协方差矩阵表示为

3.2 脉间编码优化问题

在传统M TD雷达中,目标的多普勒频率是未知的,相应的w也未知,在这种未知情况下,目标检测的难度系数增加;然而对于认知M TD雷达,能通过关于目标的先验知识和一些认知方法[1,9]粗略估计目标多普勒频率w的范围w l,w H和w的概率密度函数,并通常假设w在w l,w H的范围内为均匀分布。针对上述情况,对简化的目标函数式(10)作了如下推导:

式中,E{·}表示求取期望,l表示目标离散多普勒频率的个数,w i∈w l,w H,矩阵P i=diag(|1 ejwi…ej(N-1)wi|)。

式中,I N表示N×1的全1的列向量,0 N表示N×1的全为0的列向量。

注意到式(12)中的优化变量为实数,而矩阵G为复数,上述问题表示为

3.3 SGMCODE算法设计

简约梯度法的基本思想是对于线性约束条件,通过降低变量维数将有约束的优化问题转为无约束的优化问题;采用无约束的梯度法求解[10]。针对式(13)的优化问题具体的实现步骤如下:

Step1:通过求解线性约束中的方程组,将部分变量解出,经过消元处理,将有约束优化问题转化为新的优化问题(降维)。将线性约束函数中系数向量和变量b,目标函数中的(G)进行如下分块:

式中:I1为1阶的单位向量,I N-1为(N-1)×1的全1向量;b1为1阶的向量,b N-1为(N-1)×1的向量。

借助约束函数可以将b1用b N-1表示:

将分块矩阵和式(14)代入式(13),优化问题转化为

式中,Step2:采用修正的共轭梯度法求解。求解的具体实现步骤如下:

② 令k=0时,计算梯度

④ 第k+1次优化向量:

⑤ 修正:如果第k次优化向量向量中第j个位置处的数小于0,则将这个数的值设为0,同时令s(k),向量中第j个位置处的数置0,其余的数不变;

⑥ 第k+1次梯度

⑦取k=k+1。返回步骤③。修正:循环有限的次数L。上标k表示迭代次数。

Step3:再次确保优化码b在约束的可行域内,从而得到波形优化码a。由Step2求出b N-1,根据b N-1和b1之间的关系,求出b1。如果b1＜01时,令b1=01。对优化变量b进行以下处理:b=e b/‖b‖1,其中‖·‖1是向量的1范数,使得变量b满足约束条件。

由于本文采用的共轭梯度法可以解决无约束的优化问题,通过函数的梯度来构造共轭方向,仅利用一阶导数信息,具有运算量小、稳定性高、收敛速度快的优点。同时针对式(13)的优化问题,本文对算法进行了部分修正:为了使得优化速度快,实时性好,采用有限的循环次数进行码的优化求解;为了保证优化变量在可行性的范围内,需要对求解得到变量进行判断。修正部分的算法运算量也极小。

4 计算机仿真和分析

仿真中假设协方差矩阵C和M以及动目标的多普勒频率的范围可通过一些预处理的方式获得。接收端接收到的是高斯白噪声,其协方差矩阵为M,噪声的方差接收到的杂波,其特点是杂波谱为高斯型,杂波协方差矩阵中的各个元素的值为

式中,σf=0.1为杂波谱宽的标准偏差,fdc=10 Hz为杂波的多普勒频移,发射脉冲的重复周期TPRI=100μs。动目标多普勒角频率范围v=[-2 000,2 000](rad/s)。算法迭代循环次数设为L=200。

为了验证本文算法的有效性,定义改善因子为

CPI中码长N分别为8,16和32。采用本文SGMCODE算法得到优化码与未经优化的码(发射码)进行比较,计算在不同的发射能量(即e不同)和动目标多普勒频率在以上给定范围内为均匀分布情况下的SCNR的变化,如图1所示。由图可以看出,对发射信号进行优化编码提高了回波信号的SCNR,从而改善了对动目标检测性能。

应用文献[7]中重新设置参数的凸优化算法(Convexification via Reparametrization,Co Re)、直接码设计的循环算法(Cyclic Algorithm for Direct Code Design,CADCODE)和本文的SGMCODE算法,不同的码能量和目标多普勒频率在以上给定范围内为均匀分布情况下,分别求解码长N=16时的优化码,并得到各自对应的SCNR的值,与未编码情况下得到的SCNR作对比,如图2所示。3种算法的SCNR值近似相同,都高于未编码情况下回波信号的SCNR。图3中进一步计算出3种算法的改善因子,数值非常接近,并且在各个码能量限制条件下都大于2 d B,可见对发射信号进行优化编码改善了对动目标的检测性能,3种优化码的性能近似相同。

图1 SGMCODE算法与未编码的SCNR

图2 CoRe,CADCODE和SGMCODE算法与未编码的SCNR

图3 Co Re,CADCODE和SGMCODE算法分别求得改善因子

由于算法复杂度与计算实时性之间一直存在着矛盾,因此要考量这3种算法求解优化码的平均运行时间。如表1所示,本文算法SGMCODE在求解优化码运行时间最短。本文算法中的循环次数L=200时,优化码的性能在图2和图3中已分析。为了进一步验证本文的实时性能,图4显示了循环次数L与求解优化码的运行时间的关系,当循环次数L=200,运行时间t=0.425 6 s,小于其他两种算法。可见编码设计过程中,本文算法运行时间最短,实时性能好,更有利于实现。

表1 3种算法的平均运行时间

图4 SGMCODE算法中循环次数L与求解优化码的运行时间的关系

综上所述,在信号相关杂波和白噪声情况下,采用本文SGMCODE算法,有以下优点:首先,采用脉间编码得到的SCNR大于未编码的SCNR,优化码改善了动目标的检测性能;其次,不同的码能量和动目标多普勒频率在以上给定范围内为均匀分布情况下,用本文SGMCODE算法所求得的最优码与CoRe和CADCODE算法的最优码求得SCNR近似,但在3种算法中,SGMCODE算法运行时间最短,实时性能好。

5 结束语

本文针对当前认知雷达的基本结构作了简介;研究了基于慢时间域脉冲编码的MTD雷达信号新模型,讨论了SCNR改善的可行性;提出了用于SCNR改善的脉冲编码优化设计准则,给出了优化问题的简化方法,并针对CCQP问题提出了一种基于简约梯度的编码设计方法。此外,与Co Re和CADCODE算法作对比,结果表明,在高斯白噪声和与信号相关的杂波环境下,针对未知多普勒频率的动目标检测问题,采用本文的方法对脉间编码进行优化,使得问题复杂度变小,运算量小,处理速度快,实时性能显著提高,更有利于对动目标实时检测。

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