正弦型黏弹性拱的非线性动力学行为研究

第一作者黄繁男，博士，1985年12月生

通信作者戴绍斌男，研究员，1965年1月生

正弦型黏弹性拱的非线性动力学行为研究

黄繁，戴绍斌，黄俊

(武汉理工大学土木工程与建筑学院，武汉430070)

摘要：利用分数导数的本构关系建立了黏弹性拱的控制方程，采用Galerkin方法简化了拱的数学模型。提出一种求解含分数算子的非线性方程的数值方法，并利用该方法对控制方程进行求解。考察载荷参数、材料参数对拱动力响应的影响。运用非线性动力学中各种经典的分析方法，如时程曲线、功率谱、相图、庞加莱截面等，判别并揭示了黏弹性拱的丰富的动力学行为。

关键词：分数导数；黏弹性拱；数值方法；相图；庞加莱截面

基金项目：湖北省自然科学基金(2012FFB05112)

收稿日期：2013-12-19修改稿收到日期：2014-04-30

中图分类号:Tp12；Tp13.3

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.07.027

Abstract:The motion equation governing the dynamical behaviors of a viscoelastic arch was derived. The viscoelastic material was assumed to obey the fractional derivative constitutive relation. The motion equation was simplified by Galerkin method. An effective numerical method for solving the nonlinear equation with fractional operator was developed and the motion equation governing the dynamical behaviors of the viscoelastic arch was solved with the method. The influences of load parameters and material parameters on the dynamic responses of arch were considered respectively. By using some classical methods in nonlinear dynamics, such as the methods of time history curves, power spectrum, phase diagram, Poincare section, etc., the complex dynamic behaviors of viscoelastic arch were discriminated and revealed.

Nonlinear dynamic behaviors of sine type viscoelastic arch

HUANGFan,DAIShao-bin,HUANGJun(School of Civil Engineering and Architecture, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, China)

Key words:fractional derivative; viscoelastic arch; numerical method; phase diagram; poincare section

经典的黏弹性本构模型在描述黏弹性材料本构关系及其力学特性方面存在着很大的局限性，大量的实验及工程实际都表明，至少对一大类高分子聚合物材料，例如一类地层结构、聚合物、硅胶、合成纤维、玻璃陶瓷等，分数微分型黏弹性本构关系可以在很宽的频率范围内描述材料的力学行为[1-7]。

目前已经有不少学者对弹性拱做了分析[8-10]，但对黏弹性拱的研究还比较少见，本文利用分数导数的本构理论建立了黏弹性拱的数学模型。运用非线性动力学中各种经典的方法进行分析，如时程曲线、功率谱、相图、庞加莱截面等[11-13]。分别考察了载荷参数和材料参数对拱动力响应的影响。

1数学模型及其简化

考虑两端铰支的黏弹性扁拱，L是拱的跨度，A是横截面面积，ρ是质量密度，I是截面惯性矩。记X表示水平轴，Y0(X)，Y(X,t)分别表示初始形状和变形后的形状坐标。Q表示拱的垂直振动载荷，假设H、M分别为拱单元截面上的水平力和弯矩，由动力平衡条件：

(1)

引入分数导数本构关系描述拱材料特性,设有

σ(t)=E0ε(t)+E1Dq[ε(t)]

(2)

式中E0和E1为材料常数， 0

拱单元截面上的弯矩

(3)

拱的轴向变形

(4)

拱单元截面上水平力

(5)

为了书写方便，定义算子

S=E0+E1Dq=E0(1+ηDq)

则有

(6)

(7)

将式(7)、(8)代入式(1)中，因此黏弹性拱的动力微分方程可以转化为

(8)

拱的边界条件：x=0,x=l时 ，

(9)

设w(x,t)=Y(x,t)-Y0(x)代入式(8)中，则微分方程可转化为：

(10)

k3uDq(u2))+k1u+k2u2+k3u3=0

(11)

2算法描述

考虑黏弹性拱受单个简谐激励作用，则其受迫振动微分方程为

k3uDq(u2))+k1u+k2u2+k3u3=pcosωt

(12)

利用分数微积分的性质，可得

(14)

运用四阶龙格库塔法对方程组(13)进行求解，其中z(t)和z1(t)利用下文推导的分数导数数值算法进行计算。

考虑Z(t)=Dqx(t)的计算方法。取等距积分步长为Δt，由于被积函数在t=nΔt时有奇性，所以，当t=nΔt足够大时，把积分分成两部分

(15)

设Z(t)=J0+J1+J2，其中

(16)

(17)

(18)

J0可以直接求出，J1可以通过梯形求积公式直接求得。

而J2由于在积分上限处被积函数奇异，需要进行特殊处理。本文采用等距GAUSS求积方法进行线性化处理，设权重函数为

(19)

3动力学行为分析

3.1载荷的影响

图1　载荷参数p改变时，位移分岔图 Fig.1 Bifurcation of displacement-exciting amplitude

给定材料参数和几何参数为k1=10,k2=6,k3=2,η=0.02,ω=1.6,q=0.5。图1为载荷参数p发生变化时，黏弹性拱的位移分岔图。

从图1可以看到 ，系统由倍周期分岔进入混沌。当载荷参数比较小时p<9.4，系统为周期1的运动，当p∈(9.4,13.8)时系统为周期2的运动，当p>13.8时，系统为拟周期运动或混沌运动(如图2所示)。

当p=14时：

从图2不难看出，系统显现混沌运动，庞加莱截面上显示了系统的动力学结构。图3为相位角改变时，得到的不同状态的庞加莱截面。

通过考察载荷参数p对运动行为的影响，我们发现，在参数p比较小时，系统运动为周期运动。随着p值的增加，系统由周期运动发生分叉。当p>13.8时，系统为拟周期运动或者混沌运动。

(a) 相图(b) 时程图(c) 功率谱(d) 庞加莱截面图2 动力学行为图Fig.2Diagramofdynamicalbehaviors

图3 庞加莱截面Fig.3Poincaresection图4 材料参数η发生变化时,位移分岔图Fig.4BifurcationdiagramofDisplacement-materialparameter

3.2材料参数η的影响

给定相关材料参数、几何参数k1=10,k2=6,k3=2,ω=1.6,q=0.5,p=14。图4为材料参数η发生变化时，拱的位移分岔图

从图4中，我们不难发现，当材料参数η值较小时(η<0.020 2)，系统作拟周期运动或者混沌运动。当η∈(0.020 2,0.02 2)时，系统作多周期运动。当η∈(0.022,0.022 8)时，系统作拟周期运动，当η>0.022 8时，系统又作周期运动

从数值仿真可见，单个简谐激励作用下的黏弹性拱的横向振动可能是定常振动也可能是混沌振动。当材料参数η比较小时作混沌运动，随着η值的增大，系统为多周期或拟周期相间出现的运动，当η>0.022 8时系统又作周期运动。材料参数η的增加，材料的阻尼性增加，有利于系统的稳定性。

4结论

(1)建立了具有分数导数型本构关系的黏弹性拱的控制方程，用GALERKIN方法简化了拱的数学模型，得到了关于位移的具有弱奇异性的非线性积分-微分方程。

(2)考察了载荷参数p对拱的动力响应的影响。在其它参数不变的情况下，随着载荷参数p的增加，系统由周期运动发生分叉。当p>13.8时，系统的运动演变为拟周期运动或者混沌运动。

(3)考察了材料参数对结构动力响应的影响。在其它参数不变的情况下，随着材料参数的增加。系统逐渐演变为多周期或者拟周期运动相间出现的状态。当材料参数η>0.022 8，系统又作周期运动。材料参数的增加有利于系统的稳定。

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