数学图像处理软件在常微分方程教学中的应用研究

陆春桃

(广西电力职业技术学院，广西南宁530007)

常微分方程教学非常严谨，对学生逻辑思维要求非常高。通过调查发现，部分学生认为常微分方程课程内容枯燥乏味，对这门课程存有畏惧的心理。教学实践表明，常微分方程教学中的一些公式以及相关内容需要借助教学辅助软件才能完成。因此有必要改变常微分方程课程原有的教学方式，尽量融入一些生动的教学元素，调动学生学习的兴趣，提高常微分方程课程的教学质量。

为能够切实地改进常微分方程课堂教学方式，提高教学效果，笔者结合具体实例，分析Maple、Matlab、Mathematica等数学图像处理软件在常微分方程教学中的应用。

1 Maple在常微分方程教学中的应用

Maple数学图像处理软件是目前世界上最为通用的数学和工程计算软件之一，在数学科学领域享有盛誉，有“数学家的软件”之称。Maple不仅仅提供编程工具，更重要的是提供数学知识。Maple是科研人员和学生必备的科学计算工具，它可以帮助使用者快速、高效地解决从简单的数字计算到高度复杂的非线性问题。通过Maple产品，我们可以在单一的环境中实现多领域物理系统建模和仿真、符号计算、数值计算、程序设计、技术文件、报告演示、算法开发、外部程序连接等功能，能够满足各个层次使用者的需要。

解 在Maple软件中输入微分方程eq:=D(y)(x)，具体步骤如下

第一，调用odeadvisor命令判别方程类型

＞ DEtools［odeadvisor］(eq);

［［－ homogeneous，classG］，－ rational，－ Riccati］

这表明此为Riccati方程，并具有齐次方程和有理属性。第二，用dsolve命令求解方程的显式解

＞dsolve(eq);

再给出它的隐式解

＞ dsolve(eq，implicit);

第三，给出方程的一个初值，做出它的解的图像，如图1所示。

图1 例1图示

根据以上求解的过程，我们可以很清楚地看出，利用Maple数学图像处理软件解决常微分方程问题是非常便捷的，能够让学生很直观地观察图像的变化。

2 Matlab在常微分方程教学中的应用

许多实际问题都可以通过微分方程的形式进行表述，传统的求解微分方程的方法有近似分析解法、表解法和图解法，这些方法都需对方程进行大量的假设，会使数学模型有一定的失真。数值解法利用计算机运算，使求解更精确、效率更高。Matlab是一种数学软件包，有高级编程格式，使计算结果更具有可信性，因此将Matlab运用在微分方程的求解过程中具有实际意义。本文对常微分方程数值解问题作进一步探讨，并应用Matlab对其中的难解进行编程实现，程序简洁、直观，求解速度快，方法实用性较强。

例2 微分方程xy'+y－ex=0在初始条件y(1)=2e下的特解，并画出解函数的图形。

方法1 除常系数线性微分方程可用特征根法求解、少数特殊方程可用初等积分法求解以外，大部分微分方程求解主要依靠数值解法。考虑一阶常微分方程初值问题。

其中 y=(y1，y2，…，ym)'，f=(f1，f2，…，fm)'，y0=(y10，y20，…，ym0)'。运用数值解法，寻求 y(t)在一系列离散节点 t0＜t1＜… ＜tn≤tf上的近似值 yk，k=0，1，…，n，称hk=tk+1－tk为步长，通常取为常量h。最简单的数值解法是Euler法。

方法2 方程求解的Matlab程序为:

Syms x y; %定义x，y为符号变量

y=dsolve(’x*Dy+y－exp(x)=0’，’y(1)=2*exp(1)’，’x’);%求出的微分方程在初始条件下的特解

ezplot(y); %作出解函数的图象

微分方程的特解为

y=1/x*exp(x)+1/x*exp(1)

图1 例2图示

由例2可以看出，通过Matlab工具求解，能够更加形象地展示函数变化的情况，提高运算的准确性。

3 Mathematica在常微分方程教学中的应用

Mathematica拥有强大的数值计算和符号运算能力，是目前为止使用最广泛的数学软件之一。Mathematica程序设计语言以“条目重写”为基础，并支持函数式和过程式程序设计。它已经被广泛地应用于物理、生物、社会学等多个领域。

采用Matlab语言只需设置简单指令，就可以快速地得到我们所需要的图像，并且可以进行便利的操作与修改。在传统教学过程中，获取图形比较困难，所得图形又不清晰，这就为分析造成了一定的困难。下面我们通过实例来对比分析传统的常微分教学方法和使用软件辅助教学方法的特点。

解 方法1(传统方法)

这个函数在区间［0，0.5］属于减函数。

方法2(数学图像处理软件处理方式)

Matlab程序为

运行结果为

图形结果如图3所示。

图3 例3图示

通过这个例题可以看出，传统的算法计算起来相当繁琐，大概使用到了一级求导、二级求导，计算量极大。利用Matlab软件中的数值方法对常微分方程进行求解，其主要思路如下:把求解的时间区间划分成有限步，为每一步计算出一个解，如果求得的解不满足误差限制，则减少步长，再求解。如此重复，直到满足误差限为止。另外，可以使用函数指令来完成计算，只需要输入指令、方程式以及相关的限制条件便可求得结果，操作起来相对简单。

4 结语

将数学图像处理软件应用于常微分方程教学中，应注意如下几个问题:其一，要考虑到运用数学图像软件是否具备相应的外部环境，是否具备专业的教师队伍;其二，应唤起学生的主动参与，培养学生的主体意识;其三，通过提问、激励等形式，增强学生学习的信心;其四，准确划分学生的认知层次，真正做到因材施教。只有把握好上述问题，才能取得事半功倍的教学效果。

［1］王高雄.常微分方程［M］.3版.北京:高等教育出版社，2006.

［2］王剑侠，龚力强.Maple在高等数学中的应用［J］.广州大学学报:自然科学版，2002(2):69－73.

［3］益林钟，乐群彭，刘炳文.常微分方程及其Maple、MATLAB求解［M］.北京:清华大学出版社，2007.

［4］张涌志，徐彦琴.MATLAB教程［M］.北京:北京航空航天大学出版社，2001.