浅谈解数学题的策略

陈海彦

解数学题时，一般先经过思考、类比、联想应用所学的数学概念、定理公式等为依据是提高分析问题、解决问题的能力，加快解决速度的重要保障。下面介绍一些解题的技巧和方法。

一、由大到小

在解数学题时，范围（指定义域、值域、知识点等）越小，越便于寻找解题途径。

例1.求函数y= + + + 的值域

用x取值范围太大，难于考虑，若退到只考虑x在某个象限时，难则变易，如当x属第一象限角时，可得y=4；当x属第二象限角时， =1， =1，…，故y=-2.

因此解得y∈{4，0，-2}

二、由生到熟

当我们遇到以前没有接触过的陌生题时，要设法把它转化成曾经解过的或熟悉的题目，利用已有知识、经验顺利解出原题。

例2.已知f（x）= + ，则f（x）的最小值

（ ）

A.2 B. C.0 D. +

解：f（x）= + = +

则此题转化为（x，0）到（-1，-1）和到（2，-1）距离之和的最小值，易得答案为 。

三、由特殊到一般

例3.（2012年高考江西卷理7）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为CD的中点，则 （ ）

A.2 B.4 C.5 D.10

解：取一等腰直角三角形ABC，∠C=90°，如上图所示：再取AC=BC=2，则AB=2 ，AD=CD= ，PC= ，PA=PB= = = ，所以 =10

四、由反到正

当一道题从正面入手复杂繁琐，或找不到解题的依据时，要随时改变思维的方向，从结论的反面进行思考，化难为易地解出原题。

例4.从正方体的6个面中选出3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）

解：此题正面思考困难，但可这样考虑：从6个面中任选3个面共有C36种，但正方体的每个顶点都有3个面相邻不符合题意，此时问题转化为C36-8=12种。

例5.若关于x的方程4cosx-cos2x+m-3=0恒有实数解，则实数m的取值范围是（ ）

A.[-1，+∞） B.[-1，8] C.[0，5] D.[0，8]

解：将方程问题转化为二次函数的值域问题求解，

即方程可化为m=cos2x-4cosx+3=（cos2x-2）2-1，由cosx∈[-1，1]，得m=[0，8]，故选D。

五、由整体到部分

当按常规思路进行局部处理难以奏效或计算繁冗的题目时，要适当调整视角，把问题作为一个有机整体，从整体入手，对整体结构进行全面、深刻的分析和改造，从整体特征的研究中，找到解决问题的途径和办法。

例6.设f（x），g（x）是定义域为R的恒大于零的可导函数，且

f ′（x）g（x）-f（x）g′（x）<0，则当a

A.f（x）g（x）>f（b）g（b） B.f（x）g（a）>f（a）g（x）

C.f（x）g（b）>f（b）g（x） D.f（x）g（x）>f（a）g（a）

解：由f ′（x）g（x）-f（x）g′（x）<0知 ′<0，则可把 看成一个整体，可令h（x）= ，所以h（x）在x∈（a，b）上单调递减，则h（a）>h（x）>h（b），即f（x）g（b）>f（b）g（x），故选C。

因此，在解数学题时，如果常规的思维思考受挫时，我们换一个角度思考，可能会透云见日、豁然开朗。

编辑 谢尾合