融合系中态射的扩张问题
2015-12-02郝成功常学武
郝成功,王 霞,常学武
(山西大学 数学科学学院,山西 太原030006)
0 引 言
本文所使用的符号和术语大多是标准的,具体可参考经典群论教程[1-2]和Craven[3]的融合系教程[4].特别地,本文总约定p为一个素数.
Alperin等在经典文献[5-6]中研究了有限群中的Sylow交现象,由此引发了融合系(见定义2)理论的萌芽与发展[7-10].作为范畴,态射的扩张是一个核心技术.本文将从态射扩张的角度描述融合系中的Sylow交现象.
设G为有限群,P,Q∈Sylp(G)为G的两个Sylow p-子群,称P∩Q为关于P的极大Sylow交,若对任意R∈Sylp(G),只要P∩G≤P∩R,必有R=P或P∩R=P∩Q.可以验证,若P∩Q为关于P的有大Sylow交,其必为关于Q的极大Sylow交.进而,如果对任意x∈CG(P∩Q),总有P∩Qx-1=P∩Q,则称P∩Q为一个强Sylow交.
定理1 设G为有限群,P∈Sylp(G),Q<P,φ∶Q→P为FP(G)中一个态射,则下述成立:
1)φ总可扩张到一个Sylow交上.特别地,如果φ不可扩张,则Q必为P中的一个Sylow交.反之,如果Q为P中的一个极大Sylow交,则存在某个φ不可扩张.
2)令φ=cg,则φ不可扩张当且仅当对任意x∈CG(Q),总有Q=P∩P(xg)-1.等价地,对任意D≤P,则D为强Sylow交当且仅当D存在一个不可扩张的FP(G)-态射.
3)P中的极大Sylow交均为强Sylow交.
Craven在文献[3]中对一般融合系定义了domestic交,并利用该概念给出Alperin融合定理[5]的简洁证明.本文第二个结果即用态射扩张刻画饱和系的essential子群和domestic交.
定理2 设P为当有限p-群,F为P上饱和融合系.如果Q∈Ff,则下述成立:
1)Q∈Fe当且仅当Q存在强不可扩张的F-自同构.
2)Q∈Fd当且仅当Q存在不可扩张的F-自同构.
1 预 备
定义1 设G为有限群,P∈Sylp(G).则群融合系FP(G)是一个范畴,其对象为P的所有子群;对任意A,B≤P,态射集为
其中,cg为g诱导的共轭映射;FP(G)中态射合成为普通映射合成.
Puig将群融合系的概念推广到一般融合系.
定义2 设P为有限p-群.称范畴F为P上的一个融合系,如果F的对象为P的合部子群,对Q,R≤P,其态射集HomF(Q,R)为从Q到R的一些单同态,并满足下面三个公理:
1)若g∈P和Q,R≤P满足Qg≤R,则cg∈HomF(Q,R),其中cg∶Q→R为g所诱导的共轭映射;
2)对任意φ∈HomF(Q,R),同构映射φ∶Q→Qφ属于HomF(Q,Qφ);
3)若φ∈HomF(Q,R)是同构映射,则其逆φ-1∈HomF(R,Q).
对任意Q≤P,简记AutF(Q)=HomF(Q,Q).显然NP(Q)可共轭作用在Q上,记AutP(Q)为NP(Q)在Aut(Q)中的像,即有AutP(Q)≅NP(Q)/Cp(Q).显然AutP(Q)≤AutF(Q)且Inn(Q)◁AutF(Q).再令OutF(Q)=AutF(Q)/Inn(Q).如果存在F-同构φ∶Q→R,则称Q和R为F-共轭.
定义3 设G为有限群,P‖G|.称子群M≤G为强p-嵌入子群,如果对任意g∈G-M,|G∶M|和|M∩Mg|均是p′-数.
定义4 设F为有限p-群P上的融合系,Q≤P.
1)称Q为fully normalized子群,若对Q的任意F-共轭R,总有|NP(Q)|≥|NP(R)|.
2)称Q为F-centric子群,若对Q的任意F-共轭R,总有CP(R)≤R.
3)称Q为F-essential子群,如果Q为F-centric子群,并且OutF(Q)包含强p-嵌入子群.
分别用Ff(Fc,Fe)表示P的fully normalized(F-centric,F-essential)子群的全体.
目前研究最为广泛也是最重要的当属下述所谓的饱和融合系.
定义5 设P为有限p-群,F为P上融合系.称F为饱和融合系,如果
1)OutF(P)是p′-群;
2)对任意Q≤P和F-态射φ∶Q→P,若Qφ∈Ff,则总存在态射扩张¯φ∶Nφ→P,其中
可以验证有限群融合系FP(G)总是饱和的.
定义6 设F为P上饱和融合系,称Q≤P为F的一个domestic子群,如果存在一个F-态射φ∶Q→P,使得Q和Qφ均为fully normalized的,并且Nφ=Q.记Fd为F的domestic子群全体.
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定义7 设P为有限p-群,F为P上一个融合系,Q≤P.设φ∶Q→P为一个F-态射.如果φ可扩张到某个子群Q<S≤P上,则称φ是可扩张的态射,否则称之为不可扩张的态射.记AuteF(Q)为Q的所有可扩张自同构生成的子群,称为Q的可扩张自同构群.称AutF(Q)-AuteF(Q)中元素为Q的强不可扩张的自同构.
由定义可知AutP(Q)≤AuteF(Q).特别地,如果Q∈Ff∩Fc,则α∶Q→Q可扩张当且仅当Nα>Q,据此推出
记OuteF(Q)=AuteF(Q)/Inn(Q),称为Q的可扩张外自同构群.
2 证 明
定理1的证明 1)令φ=cg∶Q→P,则Qg=Qφ≤P,从而Q≤P∩Pg-1,所以cg∶P∩Pg-1→P∩Pg是φ的扩张.特别地,若φ不可扩张,则迫使Q=P∩Pg-1为Sylow交.反之,若Q=P∩Pg-1为极大Sylow交,考虑FP(G)-态射cg∶Q→P,则由Q的极大性知,cg不可扩张.
2)必要性.设φ=cg∶Q→P不可扩张,由1)知,Q=P∩Pg-1.对任意x∈CG(Q),Q=Qx≤Pg-1.即Q≤(Pg-1)x-1=P(xg)-1,从而Q≤P∩P(xg)-1.显然cxg∶P∩P(xg)-1→P∩Pxg是cg的一个扩张,与cg不可扩张矛盾,迫使Q=P∩P(xg)-1,∀x∈CG(Q).
充分性.假设ch∶X→P是cg∶Q→P的一个扩张,不妨设X=P∩Ph-1.则ch=cg∶Q→P,所以x=hg-1∈CG(Q),则X=P∩Ph-1=P∩P(xg)-1=Q,故cg不可扩张.
3)由1)知,如果Q为P中的一个极大Sylow交,则存在某个φ不可扩张,故Q为P中的一个强Sylow交.
下述引理提供了融合系中domestic子群若干等价描述及基本性质.
1)A∈Fd.
2)存在某个α∈AutF(A),使得Nα=A.
3)存在某个α∈AutF(A),使得AutP(A)∩AutP(A)α=Inn(A).
4)OutF(A)关于素数p存在平凡的Sylow交.
证明 1)⇒2)由domestic子群的定义知,存在B≤P和F-同构φ∶A→B,使得A和B均为F-完全正规化的,并且Nφ=A.又因为AutP(B)φ-1∈SylP(AutF(A)),故 存 在α∈AutF(A),使得AutP(B)φ-1=AutP(A)α.由Nφ=A,知AutP(B)φ-1∩AutP(A)=Inn(A),即AutP(A)α∩AutP(A)=Inn(A).由 定 义Nα=ACP(A),又由ACP(A)≤Nφ=A,所以Nα=A.
2)⇒1)显然成立.
2)⇐⇒3)⇐⇒4)由上述证明过程可得.
为证明定理2,需要下面结论.
引理2 设G为有限群,p为|G|的素因子,任取P∈Sylp(G),令
则G存在强p-嵌入子群当且仅当M<G.此时M即为G的一个强p-嵌入子群.
证明 假设G存在一个强p-嵌入子群X,其共轭仍为强p-嵌入子群,故可选取X>P.任取g∈M,则1<P∩Pg≤X∩Xg,按定义g∈X,据此可知M≤X<G,即M<G.
反之,假设M<G,只需证M为G的一个强p-嵌入子群.显然P≤M.任取g∈G,如果M∩Mg不是p′-子群,则存在非平凡p-子群R使得R≤M∩Mg,则Mg-1≤M,但P∈Sylp(M),故存在x∈M使得Rg-1≤Px,此时P∩Pxg≥R>1.根据M的定义,有xg∈M,亦即g∈M或M=G,矛盾.因此M为G的强p-嵌入子群.
定理2的证明 1)如果Q∈Fe或Q存在强不可扩张的F-自同构,则按定义均有Q∈Fc.由此表明为证本结论,可不妨设Q∈Fc.因为Q∈Ff,故AutP(Q)∈Sylp(AutF(Q)),此时显然OutP(Q)∈Sylp(OutF(Q)).又因为Q∈Fc,按定义CP(Q)≤Q,所以QCP(Q)=Q<P,表明Inn(Q)<AutP(Q),从 而1<OutP(Q)≤OuteF(Q).由引理2知OutF(Q)存在强p-嵌入子群当且仅当AuteF(Q)<AutF(Q),按定义
所以Q∈Fe当且仅当Q存在强不可扩张的F-自同构.
2)由引理1直接可得.
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