基于共轭积的复多项式矩阵实表示

王会珍 赵娟萍 周 喜

（郑州职业技术学院，河南 郑州450100）

1 概述

多项式矩阵方程在控制领域中有着十分重要的地位。双边多项式矩阵方程AX+YB=C 在解决多输出监控和追踪问题时意义重大，另外，控制系统中的最优控制问题也和该多项式矩阵方程的解密切相关。多项式矩阵方程XF-AX=C 在分析控制系统的稳定性方面有着重要的作用，当F=AH（矩阵A 的共轭转置矩阵）时，该多项式矩阵方程就变成了众所周知的Lyapunov 矩阵方程。由于多项式矩阵方程在控制系统中的重要地位，那么多项式矩阵方程的求解问题就显得越发重要。文献[4]利用两个矩阵的合相似性研究了矩阵方程AX-XB=C 解的存在性。文献[5]研究了齐次Yakubovich 方程X-AXF=BY 的解。文献[6]通过一个对称的算子矩阵、一个可控性矩阵和一个可观性矩阵构造了矩阵方程XF-AX=C 的解。文献[1]中利用共轭积给出了一些多项式矩阵方程的完全解。

另外，在对一些复杂的多项式矩阵方程求解的过程中，有时会遇到复数的情况，众所周知，复数的计算过程要比实数复杂的多，那么为了简化复多项式矩阵的运算，其中的一种方式就是将复域的运算映射到实数域。文献[3]构造了四元素矩阵的实表示矩阵，并用这种实表示矩阵给出了四元素矩阵方程的完全解。

本文将共轭积与实表示两种思想相结合，提出了基于共轭积的复多项式矩阵实表示，文中的第二部分提出了实表示的定义并得出了实表示和共轭积之间的关系，左实表示的定义以及左共轭积和左实表示之间的关系在本文的第三部分给出详细介绍，第四部分研究了实表示和左实表示之间的关联，并用两种实表示作为工具给出了两种共轭积之间的关系，第五部分对本文进行总结。

2 基于共轭积的复多项式矩阵实表示

共轭积的定义以及相关性质和结论是研究基于共轭积的多项式矩阵实表示的重要前提，关于共轭积的相关定义和结论在文献[1]中有详细说明，在此不做介绍。本部分主要基于共轭积给出了多项式矩阵实表示的定义，并研究了共轭积和实表示之间的关联，给出了多项式矩阵实表示的一个简单性质。

依据上述定义，接下来给出基于共轭积的多项式矩阵实表示的一个重要性质。该结论对利用实表示研究共轭积起着十分重要的作用。

此结论的证明过程可以根据定义1 直接得出，过程比较简单，在此不做详细介绍。

3 基于左共轭积的复多项式矩阵实表示

左共轭积的定义以及相关性质和结论是研究左共轭积框架下多项式矩阵实表示的重要前提，关于左共轭积的相关定义和结论请参考文献[2]，在此不作介绍。共轭积和左共轭积的最大区别是两者所选取的共轭的位置不一样，这两种共轭积之间互相独立也有一定联系。

本部分主要是将共轭积框架下的多项式矩阵实表示运用到左共轭积，给出了左共轭积和左实表示之间的关系，并给出多项式矩阵左实表示的一个简单性质。

该结论的证明过程与定理1 的证明类似，在此不再做详细介绍。

4 实表示和左实表示之间的关系

由于共轭积和左共轭积的最大区别是所选取的共轭的位置和元素不一样，这两种共轭积之间互相独立也有一定的联系。本部分将用左实表示与实表示作为工具给出基于两种共轭积的复多项式矩阵的重要结论。

5 结论

多项式矩阵方程在控制领域中有着十分重要的地位，控制系统中的许多问题都可通过求解多项式矩阵方程来解决。共轭积的提出为求解多项式矩阵方程提供了新的方向，但是共轭积最大的缺点就是不符合交换律，在深入研究共轭积的性质和应用时就很受限制。本文提出了基于共轭积的多项式矩阵实表示，并将这种实表示推广到左共轭积框架下，给出了基于左共轭积的多项式矩阵实表示的定义，并研究了两种实表示之间的代数关系，得出了定理1 和定理2，这两个定理的提出很大程度上简化了共轭积框架下多项式矩阵的运算。由于控制系统的能观性和能控性也与多项式矩阵密切相关，接下来以实表示作为工具研究基于共轭积的多项式矩阵行列式和秩的概念将会有更大的意义。