函数、方程、不等式的关系

万里松

（江西省南昌市南昌三中 江西南昌 330000）

函数、方程、不等式的关系

万里松

（江西省南昌市南昌三中 江西南昌 330000）

我们学习方程、函数、不等式已经有很长时间了，我们知道函数关系是指某个变化过程中两个变量具有某种对应关系，方程是有已知量和未知量构成，不等式……。他们之间存在区别又有联系。方程表述实际问题中数量相等关系，不等式表述数量不等关系，函数表述数量之间相等的关系。本文主要说明了一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式的关系

函数 方程 不等式 综合运用

1.一次函数与一次方程之间的关系

函数、方程、不等式的学习是贯穿我们整个初中和高中的教学的，地位尤为重要，这三个知识点也同样是中考、高考中的重头戏。在很多同学学习这三个知识点的时候，把这三者当成相互独立的知识点来学习，这是不对的。其实三者之间的关系特别密切，三者之间也是可以进行相互转换的，若能熟练的掌握三者之间的关系，对我们提高做题的效率是大有裨益的。下面我们首先来看函数与方程的关系。

我们知道一次函数的一般形式为：y=ax+b（a≠0），函数的图像是一条直线。根据我们以前学过的知识，我们知道，x是自变量，所表示的是横坐标；y叫做因变量，也可以叫做函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。如果令y=0，上面的解析式也就变成了ax+b=0，也就是一个一元一次方程了。我们可以从两个方面来理解这个问题：

1.从函数值的角度出发：求ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的解就相当于求x为何值时，y=ax+b的值为0。

2.从函数图像上来看：求ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的解就相当于函数y=ax+b与x轴的交点。

举例说明如下：

我们先来看一个简单的一元一次函数：y=x+1

我们举的例子是一个典型的一次函数，图像会是一条直线，在x轴上的截距为-1，在y轴上的截距为1，与x轴的交点为（-1，0）。则y=x+1与x轴的交点（-1，0）就是方程x+1=0的解。下面我们再来看一个实际应用的例子：

例1一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？（要求用两种方法解题）

解法一：从方程的观点来解题

设再过x秒物体的速度为17m/s。列方程

解得x=6

解法二：速度y（单位：m/s）是时间x（单位：s）的函数

由 2x+5=17

得2x-12=

由图像看出直线y=2x？12与x轴的交点为（6，0），得x=6.

2.一次函数与一元一次不等式的关系

我们知道，所有的一次不等式全部可以变形为ax+b＞0或者ax+b＜0的形式，我们换一种想法，我们可以把解这个不等式看作是函数y=ax+b的函数值大于0或者小于0的形式，进而我们就可以从函数的图像上，直接看出不等式的解，可能大家会觉得这样做的意义不大。确实，在一次函数与不等式中，利用函数图像解不等式的优势并不是很明显，但是到二次不等式乃至高次不等式，这种思想就变得尤为关键。

举一个简单的例子：我们想解不等式-2x+3＞0，利用函数的思想，要先设出一个函数y=-2x+3

如果我们画出函数图像，可以直接观察到，在x＞3/2函数值大于0，所以不等式-2x+3＞0的解为｛x│x＞3/2｝。

例2、某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元；每件乙种商品进价8万元，售价lO万元，且它们的进价和售价始终不变.现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元.

（1）该公司有哪几种进货方案？

（2）该公司采用哪种进货方案可获得最大利润？最大利润是多少？

（3）若用（2）中所求得的利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案.

【解】：（1）设购进甲种商品茗件，乙种商品（20-x）件.

190≤12x+8（20-x）≤200 解得7.5≤x≤10.

∵x为非负整数，∴x取8，9，lO

有三种进货方案：购甲种商品8件，乙种商品12件

购甲种商品9件，乙种商品ll件

购甲种商品lO件，乙种商品10件

（2）购甲种商品10件，乙种商品10件时，可获得最大利润

最大利润是45万元

（3）购甲种商品l件，乙种商品4件时，可获得最大利润

【说明】列不等式（组）解决实际问题与列方程（组）解决实际问题的步骤、方法基本类似，可类比复习.在运用不等式（组）解决实际问题时，关键分析问题中的数量关系，特别注意抓住问题中的关键字，如“不超过”、“至少”等.找出不等关系，从而列出不等式.

3.二次函数与一元二次不等式的关系

在学习一元二次不等式的时候，许多同学感到比较费劲，老师上课讲的方法只能死记硬背，不好理解。其实咱们只要换一种想法，类似一次函数与一次不等式之间的关系一样，把二次不等式和二次函数联系起来，那么所有的问题都会迎刃而解。

假设我们要解这样的一个不等式：-x2+2x+3＞0-x2，我们第一步需要做的还是要设出一个函数y=-x2+2x+3

通过图像我们可以看出，当x＜-1和x＞3时，函数值小于0。-1＜x＜3时函数值大于0。所以相对应不等式的解就应该是｛x│-1＜x＜3｝。

我们上面举的例子只是其中的一种情况，二次函数与不等式结合的类型题主要类型题有以下几种：

一、利用不等式的性质，转化我们要求的未知量

例3已知函数f（x）=ax2bx+c（a，b，c∈R），当x∈［-1，1］时│f（x）│≤1，求证：

；（1）│b│≤1

（2）若g（x）=bx2+ax+c（a，b，c∈R）则当x∈［-1，1］时，求证：│g（x）│≤2。

思路分析：我们并不能直接的求出a，b，c的值，然而，值得我们注意的是：题目要求我们做的也并不是求b或g（x）的确定值，而是让我们算出取值范围，正因为这样原因，我们可以把用f（-1）、f（0）、f（1）来表示a，b，c。

证明：（1）由f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c→b=1/2［f（1）-f（-1）］，从而有

由f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c→b=1/2［f（1）-f（-1）］，a+c=1/2［f（1）+f（-1）］，c=f（0），从而a=1/2［f（1）+f（-1）］-f（0）

将以上三式代入g（x）=bx2+ax+c（a，b，c∈R），并整理得

总结

在当前的教学中，函数与方程、不等式的结合越来越多，同样在高考中所占的比重也越来越大，通过统计每年的高考试题数据，我们不难发现在每次的考试中，函数转换方程、不等式的思想遍布各个题型中。但是现在，大部分师生对这部分的研究较少，即使研究了，也是比较片面的，没有将三者有机的结合起来，形成连贯的知识体系。随着数学教学改革的深入，教师应该在日常的教学中注重培养学生函数与方程思想这一方面的能力，以提高学生的做题效率，培养学生的数学思维。