铜基复合材料分类判别方法研究

马润波，杜建华，许世蒙

（1装甲兵工程学院数学室，北京100072；2.装甲兵工程学院装备再制造技术国防科技重点实验室，北京100072）

铜基复合材料分类判别方法研究

马润波1，2，杜建华2，许世蒙1

（1装甲兵工程学院数学室，北京100072；2.装甲兵工程学院装备再制造技术国防科技重点实验室，北京100072）

对正交分割铜基复合材料表面微观形貌图，随机选取子图组成训练集。通过对基元模型的选取与设计，提取石墨颗粒的特征指标，并进行分布规律的统计推断，可知石墨颗粒的径心、斜率、分形维数和稠密度服从正态分布，长径、短径服从对数正态分布，经显著性检验可以推断石墨颗粒的分布规律具有一致性。进一步采用因子分析法，确定了表征铜基复合材料表面微观形貌复杂程度的主要指标，利用支持向量机原理，对不同石墨质量分数的铜基复合材料进行了分类判别。结果表明，通过表面微观形貌，对石墨质量分数为16%的铜基复合材料的分类准确率达到了83.333%，对石墨质量分数为10%与20%的两种铜基复合材料之间的分类准确率达到了100%.

金属材料；铜基复合材料；基元；分类；支持向量机

0 引言

铜基复合材料不仅导电性和导热性与纯铜相近，而且强度高，抗电弧浸蚀和抗磨损能力较强，在工程实际中应用越来越广泛，如航空航天、工程机械、电子工业等，其相关研究已有了较大进展［1-3］。基体和增强体的性能及它们之间的结合特性决定了铜基复合材料的性能，如纳米Al2O3作为弥散增强相所制备的弥散强化铜基复合材料，既能够在保持铜本身高导热性能的同时，还可大幅度提高强度及抗高温软化特性［4］。故针对新型铜基复合材料的设计，寻求相应的分类方法是可行并有益的。本文通过提取铜基复合材料表面微观形貌特征，采用支持向量机原理［5］，对添加一定比例的纳米SiO2和不同石墨质量分数下的新型铜基复合材料的相关特征进行统计推断，并以此作出分类判别。

支持向量机原理是在统计学习理论［6］基础上发展起来的一种通用学习算法，具有较强的学习功能和特征，其相关研究和应用目前已有了一定的积累［7-10］，但是在复合材料的设计、制备中的研究和应用尚不多见。

本文通过提取铜基复合材料表面微观形貌特征指标，结合因子分析方法，运用支持向量机原理推断、可分类的一致性，将支持向量机原理与分形理论［11］、因子分析方法结合一体，然后进行分类判别，既有数据指标的可靠性和计算方便的优点，又能与基元模型［12］的指标提取有较好衔接，对铜基复合材料的设计和制备具有一定的借鉴意义。

1 材料制备与初步分析

为考察铜基复合材料的结构，选取了石墨质量分数分别为10%、16%、20%的复合材料进行分析。此外，3种复合材料中Sn、Zn和SiO2的质量分数分别为3%、6%和3%，其他成分为Cu.采用V型混料机混粉2 h，使用钟罩炉烧结，摩擦材料的烧结温度定为820℃，要求烧结压力20 kg/cm2.将烧结试样切割磨制后，采用Quanta-200型扫描电子显微镜（SEM）观测铜基复合材料表面微观形貌，如图1所示。

图1中，石墨颗粒、SiO2颗粒和合金分别呈现为黑色、灰色和白色，本文仅黑色，即石墨为考察对象。由图1可见，对于不同石墨质量分数的表面微观形貌图，大尺寸石墨颗粒随石墨质量分数的增加呈现逐渐增大趋势。

图1 添加不同石墨质量分数的铜基复合材料表面微观形貌图Fig.1 Surface microtopographies of copper matrix composites with different graphite contents

2 样本预处理

复合材料的表面形貌对磨损、摩擦、导电性和导热性等有重要的影响［13］。为实现特征提取的模型建立和方法应用，在与材料性能分析相结合的前提下，进行一定的抽象化、模式化和标准化，即对表面形貌构成成分组元的基元化。此处，对基元模型的设计，需兼顾通用性、实用性和精确性的原则。另外，基元的选取必须保证面积计算的正负损失最小和主要的特征，如径心坐标、斜率、石墨颗粒大小等指标可以易于被提取出来。对于椭圆形、正三角形、矩形、正方形和圆形5种待选基元模型，正方形是矩形的特例，圆形是椭圆形的特例，而正三角形相对而言不易计算，矩形的误差控制明显高于椭圆形，经显著性检验［12］，可认为在精度和适用性上椭圆形是最优的基元模型。

分形体的复杂程度可由分形维数表征［1］，由图1可见，随着石墨质量分数的增加，黑色区域不断连结到一起，覆盖石墨颗粒的椭圆基元数目也发生变化，为了便于进一步讨论和研究，对椭圆基元个数作如下定义：

定义 设A∈H（X），其中（X，d）为度量空间，对每一个ε，ε′＞0，N（A，ε，ε′）表示拼贴覆盖A所需的、以ε为长径、ε′为短径的开椭球的数目，则称N（A，ε，ε′）为A的稠密度，记作N=N（A，ε，ε′）.其中H（X）为X的全体非空紧子集组成的空间，N∈R+且N≥1.

由椭圆基元模型及定义，采用拼贴原理［14］，以椭圆近似覆盖石墨颗粒，表面微观形貌图中椭圆的个数即为稠密度。

采取正交分割，把表面微观形貌图分为若干个正交子图，即相当于把被测试样人为地分割成若干尺寸相同的小试样进行测量，分别提取基元特征指标（长径、短径、径心和斜率）及测量表面微观形貌图的分形维数和稠密度。稠密度分两种情形测算：1）对于某个子图，当一个椭圆完全属于该子图时，则计1；2）当一个椭圆属于两个或两个以上子图时，则以椭圆在该子图中所占的面积比计算。任意选取若干子图作为训练集，剩余的子图作为检验集，通过训练集对石墨的分布规律进行推断，利用检验集进行分布规律一致性检验，流程图如图2所示。

图2 铜基复合材料表面微观形貌数据分析流程图Fig.2 Flow chart of data analysis of Surface microtopography of copper matrix composites

3 复合材料表征指标的统计分布推断

3.1 各主要指标的统计规律分析

对3种不同石墨质量分数的铜基复合材料，把表面微观形貌图分割成20张正交子图，分别提取基元特征指标、分形维数和稠密度，随机选取10张子图作为训练集，余下10张子图作为检验集，采用科尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫方法［15］（简称K-S检验）推断这些指标的分布规律。取检验的显著性水平α=0.05，检验的原假设为H0：训练集来自正态分布，F∈F，其中F为正态分布族，检验结果如表1所示。表1中：Z为检验统计量，Sig为显著性。

表1 铜基复合材料表面微观形貌特征指标的K-S检验结果Tab.1 K-S inspection results of characteristic indices of surface microtopography of copper matrix composites

对于长径和短径，先分别取自然对数再进行K-S检验。由表1可知，无论是哪种石墨质量分数的铜基复合材料，其检验的显著性Sig值都大于0.05，故可推断径心、斜率、分形维数和稠密度服从正态分布，长径、短径服从对数正态分布。进一步可知，长径、短径的均值和均方差随石墨质量分数的增加而不断增大；分形维数的均值随着石墨质量分数的增加而不断增大，均方差随着石墨质量分数的增加而不断减小；稠密度的均值和均方差随着石墨质量分数的增加不断减小。结合图1可见，表面微观形貌图随着石墨质量分数的增加而逐渐变得复杂，黑色区域面积不断扩大。

3.2 统计规律一致性检验

分别对3种不同石墨质量分数的基元特征指标、分形维数和稠密度作分布规律一致性检验，原假设为：

1）H01：石墨基元长径的训练集和检验集来自同一总体，

2）H02：石墨基元短径的训练集和检验集来自同一总体，

3）H03：石墨基元分形维数的训练集和检验集来自同一总体，

4）H04：石墨基元稠密度的训练集和检验集来自同一总体，

5）H05：石墨基元径心坐标的训练集和检验集来自同一总体，为对数正态分布族；

6）H06：石墨基元斜率的训练集和检验集来自同一总体，

对于上述原假设，由表1结果，可采用两个独立样本同分布的t-检验［16］，检验结果如表2所示。为便于对比，检验的显著性水平统一取α=0.05.

表2 两个独立样本来自同一总体的检验Tab.2 Two independent samples from the same overall inspection

由表2可知，在方差齐性的检验中，对于3种不同石墨质量分数的铜基复合材料，均有检验的Sig＞0.05，且在均值相等的检验中也均有Sig＞0.05，故可以推断训练集和检验集中石墨基元的斜率、径心坐标、长径、短径、分形维数和稠密度均分别来自同一类型总体，即训练集和检验集的分布具有一致性。

4 铜基复合材料分类判别

根据抽样理论，为了提高试验评估的准确度，需要作大量的试验，样本容量越大，精度就越高。但是，受到试验条件、试验成本等因素的影响，往往只能做极小样本的试验，如样本容量为n=1或n=2.故极小样本容量的虚拟增广方法就显得极为重要。但是，极小样本的虚拟增广方法在应用时，要求已知试件的分布形式及标准差，对于试件的相关统计特性一无所知时，虚拟增广方法便显得无能为力［17］。此外，在相同条件下，虽然得到了大量数据，但是往往因为类别不足，仍然是小样本数据。对于铜基复合材料的分类问题，传统数据分类算法，如聚类分析、判别分析等，在大样本条件下，才能达到高精度的要求，在小样本情形下不能很好地发挥作用。20世纪80年代Vapnik提出的支持向量机理论是基于统计学习理论发展起来的一种新型机器学习算法，对小样本适用性较强，尤其当训练集有限时得到的决策规则，对独立的检验集仍能得到较小的误差。

4.1 支持向量机原理与分析

假设｛（xi，yi），xi∈Rn，yi=-1或1｝是给定的训练集，寻找Rn上的实值函数g（x），用决策函数f（x）=sgn（g（x））推断任一模式x对应的y值。分类问题实质上就是设立或建立把Rn上的点分成两类的规则。3类或3类以上也可仿此进行，但其复杂程度会大大增加。

实际上，支持向量机理论不直接涉及概率测度和大数定律，基本避免了从人工归纳到演绎的过程，具有结构风险最小、可逼近任意函数并保证全局最优等特点，对提高分类的准确性具有一定优势。在应用支持向量机进行铜基复合材料分类的研究中，需要解决的关键问题有：1）如何构造核函数，且满足Mercer条件［18］；2）对常用的几个核函数，如高斯核函数中参数的优化或估计问题等。这些问题的解决，对进一步提高分类的精确性和可靠性起着重要的作用。

4.2 复合材料分类规则

由图1可见，铜基复合材料表面微观形貌随石墨质量分数的变化而变化，且这些变化可反映在石墨基元长径、短径、径心坐标、斜率等特征参数的变化上。由于分形维数在一定程度上体现了铜基复合材料表面微观形貌的复杂程度，不妨用石墨基元的长径、短径、径心横坐标、径心纵坐标、斜率、分形维数和稠密度等7个指标来刻画铜基复合材料。由于长径和短径决定了基元的面积，因此7个指标可简化为面积、径心横坐标、径心纵坐标、斜率、分形维数和稠密度6个指标。显然，若把这6个指标均看作随机变量，那么，铜基复合材料即可由一个六维随机变量来表示。对于高维随机变量，其分布规律更为复杂，若能降低其维数，将能使分类判别更加简捷、直观。

本文采用因子分析方法，既实现了降维，又为应用支持向量机方法进行分类判别奠定了基础，因子分析结果如表3～表5所示。

表3 KMO测度和巴特利特球体检验结果Tab.3 Inspection results of KMO measurement and Bartlett

表4 铜基复合材料表面微观形貌特征指标的因子分析Tab.4 The factor analysis of surface microstructure feature indexes of copper matrix composites

表5 因子提取结果Tab.5 Factor extraction results

由表3可知，KMO测度为0.650，χ2值的显著性水平为0，表明这6个指标间的共同因素较多，且数据具有相关性，适宜进行因子分析。由表4可知，特征值大于1的因子有3个，且3个因子的累计贡献率为79.134%，因此取3个共同因子来对铜基复合材料进行分析即可。由表5可知，第1个因子对面积、分形维数和稠密度有绝对值较大的负荷系数，第2个因子对径心横坐标和纵坐标有绝对值较大的负荷系数，第3个因子对斜率有绝对值较大的负荷系数。于是，第1个因子可解释为描述铜基复合材料表面微观形貌复杂程度的参数，第2个因子和第3个因子可解释为铜基复合材料中石墨颗粒的位置参数。因此，可把石墨颗粒的面积、分形维数和稠密度作为分类的依据。

关于3种不同石墨质量分数的铜基复合材料的石墨基元面积、分形维数和稠密度的散点图，如图3所示。

由图3可知，石墨质量分数为10%和20%的铜基复合材料是线性可分的，石墨质量分数为16%和10%、16%和20%的铜基复合材料均是线性不可分的。采用二叉树多分类器［19］对3种不同石墨质量分数的铜基复合材料分类。分类步骤如下：

步骤1 视石墨质量分数为10%和20%的铜基复合材料为正类，把石墨质量分数为16%的铜基复合材料视为负类。

步骤2 对石墨质量分数为10%和20%的铜基复合材料进行分类，分别视二者为正类和负类。

步骤3 把石墨基元的面积、分形维数和稠密度3个特征参数作为输入指标，yi=-1或1是输出指标，若铜基复合材料是正类，则yi=1，否则yi= -1（i=1，2，…，n）.

步骤4 对于任意给定的一个输入，根据训练集，设立或建立实值函数g（x），进行分类判别。

这样的训练算法，不仅可提高训练的速度和决策的速度，且可减少所需训练的两类支持向量机的数目。由径向基核函数的优良特性［20］，本文选择径向基核函数作为核函数，分类结果如表6所示。

表6 3种不同的铜基复合材料分类结果Tab.6 Classification results of three different copper matrix composites

5 结论

1）经统计分析和显著性检验可以推断，表征铜基复合材料表面微观形貌图中石墨颗粒的径心、斜率、分形维数和稠密度服从正态分布，长径、短径服从对数正态分布，且这些分布规律均具有一致性。

2）利用因子分析方法，把表征铜基复合材料的六维变量降低或简约成了三维变量，即表征铜基复合材料表面微观形貌复杂程度的主要指标为石墨颗粒的面积、分形维数和稠密度。利用支持向量机原理，对不同石墨质量分数的铜基复合材料进行了分类判别。把石墨质量分数为10%和20%的铜基复合材料当作正类，石墨质量分数为16%的铜基复合材料作为负类，二者的分类准确率达到83.333%；石墨质量分数为10%的铜基复合材料，与石墨质量分数为20%的铜基复合材料之间的分类准确率达到了100%.

3）体现了本文中4种方法结合使用的优势，其中包括分形理论和稠密度概念的恰当应用，即弥补了单一分类方法的缺陷，又起到了控制和提高判别精度的效果。

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Research on Classification Discriminating Method of Copper Matrix Composites

MA Run-bo1，2，DU Jian-hua2，XU Shi-meng1
（1.Section of Mathematics，Academy of Armored Force Engineering，Beijing 100072，China；2.National Key Lab for Remanufacturing，Academy of Armored Forces Engineering，Beijing 100072，China）

Surface microtopography of copper matrix composite is partitioned by orthogonal method，and the subgraphs are selected as training set at random.The characteristics of graphite particles are extracted by selecting and designing a basic element model，and the statistical inference of distribution law is made.It is known that the diameter center，slope，fractal dimension and density of graphite particles obey normal distribution，and its long axis and minor axis submit to logarithmic normal distribution.The distribution law of graphite particles can be inferred to be consistent by the way of significance test.The factor analysis method is used to determine the primary indices which characterize the complex surface microtopography of copper matrix composites，and the support vector machine principle is used to classify and discriminate the copper matrix composites with different graphite contents.The results show that，through the analysis of surface morphology，the classification accuracy of copper matrix composites，of which and mass fraction of graphite is 16%，reaches 83.333%，the classification accuracy of the two kinds of copper matrix composites，of which the mass fractions of graphite are 10%and 20%，between them reaches 100%.

metallic material；copper matrix composite；basic element；classification；support vector machine

O212；TF125

A

1000-1093（2015）05-0921-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.05.023

2014-07-15

国家自然科学基金项目（51001117）；北京市自然科学基金项目（3132024）

马润波（1976—），女，讲师。E-mail：13810470589@139.com