含非线性阻尼的二维g-Navier-Stokes方程全局吸引子的维数估计

刘文婧，姜金平，熊坤翠

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000)

在全局吸引子的几何拓扑结构中，维数是一个非常重要的性质，因为如果全局吸引子分形维数有限，就能将无穷维动力系统在全局吸引子上约化为一个有限维常微分方程系统。此外，维数估计也是证明指数吸引子存在的一个关键步骤。在无穷维动力系统中，被广泛研究和探讨的包括Hausdorff维数和Fractal维数，近年来已有一些研究成果[1-6]。本文讨论无界域上含非线性阻尼的二维g-Navier-Stokes(g-N-S)[7]方程全局吸引子的维数估计问题，方程如下：

(1)

这里u(x,t)∈R2,p(x,t)∈R表示速度与压力，μ>0且f=f(x)∈(L2(Ω))2，0

1 预备知识

对常数m0和M0，假设Poincare不等式在Ω上成立：即存在λ1>0使得

(2)

它们的范数为

定义g-Laplacian算子：

(3)

则可将(1)改写为：

(u·▽)u+▽p=f。

(4)

u∈L∞(0,T；H)∩L2(0,T;V),T>0，

(5)

使得

(6)

定义映射bg：Vv×Vg×Vg→R为：bg(u,v,w)=

(7)

(8)

A：V→V′是g-Stokes算子，定义为：

〈Au,v〉=((u,v)),∀u,v∈V。

(9)

双线性算子B(u)=B(u,u)=P(u,▽)u定义为B:V×V→V′，

〈B(u,v),w〉=bg(u,v,w)，∀u,v,w∈V。

g-Stokes算子A是从空间V到V′的同构，这里B、R满足下列不等式[8，9]

∀u∈V,B(u)v′≤|u|u，

(10)

命题1[7]设f∈L2(g)，u0(x)∈H，存在一个唯一的u(x,t)，满足条件

u(x,t)∈L∞(R+;H)∩L2(0,T;V)∩C(R+;H)(∀T>0)，使得(6)成立。

证明设u=u(t)，t>0是由命题1给定的解，因为u∈L2(0,T;V)，u′∈L2(0,T;V′)故

〈f-μAu-c|u|βu-Bu-μRu,u〉=

〈f,u〉-μ‖u‖2+c|u|β+2+bg(u,u,u)-

则bg(u,u,u)=0，∀u,v∈V，于是

(11)

由(3)得

(12)

对充分小的|▽g|∞，由Gronwall不等式

|u(t)|2≤

因此，可得

(13)

由命题1，可在H上定义连续半群{S(t)}为

S(t)u0=u(t)，t>0，u(t)是(6)的解且u(0)=u0∈H。由(13)有吸收集B：

(14)

B在H中对于半群是吸收的。

引理1[6]设函数g满足|△g|∞

2 全局吸引子的维数估计

下面估计含非线性阻尼的二维g-Navier-Stokes方程在无界区域上的全局吸引子的维数。

设u0∈A，u(t)=S(t)u0，对t≥0，由(8)得线性流动u可由(15)给出：

(15)

∀Ψ∈H，存在唯一的U∈L2(0,T;V)∩C(0,T;H),(∀T>0)满足(15)。

我们定义线性映射L(t;u0):H→H为L(t;u0)ξ=U(t)，可以证明L(t;u0)是有界的且{S(t)}t≥0在A上一致可微，即

(16)

设F′(u)u=-μAu-c|u|βv-B(u,v)-

B(v,u)-μRu，记(15)为

U′=F′(u)u=-μAu-c|u|βv-B(u,v)-

B(v,u)-μRu。

(17)

定义qm，(m∈N)：

(18)

这里Qm(τ)=Qm(τ:u0,Ψ1,…,Ψm)是H上的正交投影，L(t;u0)Ψ1，…，L(t;u0)Ψm，在H中∀Ψ1，…，Ψm线性无关。

引理3[10]设A是(1)的全局吸引子，若对n∈N，有qn<0。那么A分别具有有限的Hausdorff和Fractal维数估计如下：

dimH(A)≤m，

证明为估计qm，设u0∈A且u(t)=S(t)u0，Uj(t)=L(t;u0)Ψj，t≥0，设φi(t)(i=1，…，m)是H中的正交基。则我们有

(19)

由文献[1]得

Tr(F′(u(τ)·Qm(τ)))≤

所以

由(13)得

于是

k1m+k2，

这里