数学实验活动的探索与反思

陈晓芳

[摘 要] 新课程教学要求学生的数学学习活动是一种建构式的探索活动，不能仅仅依赖于传统数学教学的模式实现. 数学教学实现新课程理念最好的方式是实践操作，近年来数学实验活动愈来愈深入到数学课堂教学中，引领学生对于数学建立更为饱满的学习过程.

[关键词] 初中数学；新课程；数学实验；建构式；思维

数学教育家佛莱登塔尔说过：数学课是讲重要还是做重要？这个问题从欧几里得时代就开始琢磨了. 笔者从自己的教学经验中感受到，讲很重要，但是做更重要. 美国教育家苏娜丹戴克说过：“告诉我，我会忘记，做给我看，我会记住，让我参加，我就会完全理解. ”给学生一些创造的空间，学生的创造力其实远远大于我们的想象力.

从新课程实施角度来说，笔者也感同身受. 数学课尤其是概念课、新知课怎么才能更好地体现新课程鼓励学生积极实践、建构操作的理念？从数学定理、性质可以通过发现的角度来说，很多知识可以从情境设计中安排学生自我探求发现，建构主义认为只有通过活动产生的经验认识才能使知识的理解、记忆更加深刻. 近年来，数学活动越来越热烈地在数学课堂教学中得以实施和开展，教师的设计、学生的操作，教师的引导、学生的实践成为数学课堂教学的发展趋势. 根据21世纪国际教育评估学会报道：近十年和过去的十年相比，中国中学生对于数学的喜欢程度上升了十二个百分点，这与新课程实施的活动理念逐年渗透是分不开的. 本文对初中数学展开实验活动教学结合案例做了一些浅显的思考，以求抛砖引玉.

依托实验教学，加深概念理解

数学概念都是历经多年形成的，犹如化石形成的过程需要时间的积淀. 在数学课堂短短的45分钟时间内，教师如何将概念教学设计成可供学生操作、实践呢？这里既要求学生做到概念教学实践的有效性，也要考虑时间的高效率，从而进行有效的数学课堂教学.

案例1 《无理数》概念教学

实验前期准备：请学生准备边长为1的正方形卡纸两张，工具剪刀一把，数学计算器一个.

实验设计要求：（1）请学生利用上述工具拼剪出面积为2的正方形；（2）利用数学计算器求出的小数部分.

师：你能用这两个正方形拼出一个面积为2的正方形吗？

（学生以小组为单位一起思考并动手操作）

生：可以. 把两个正方形分别沿对角线剪开，得到四个全等的等腰直角三角形，将直角顶点重合，以斜边为边长拼成的正方形面积正好为2. （展示所拼的正方形，如图2）

师：非常好. 那么，这个正方形的边长是多少呢？

生众：.

师：它是一个整数吗？

生众：不是.

师：你能找到它在哪两个整数之间呢？

生：1至2之间. 因为1的平方是1是，2的平方是4，而的平方是2，正好在1与4这两个连续的完全平方数之间.

师：很好. 那你们能用一个分数来表示吗？

生众：不能.

师：这是一个有理数吗？

（学生均不太确定）

师：想一想有理数的概念是什么？

生众：整数和分数统称为有理数.

师：所以不是有理数.

评点 对于拼图，学生展示出了较强的动手能力，通过实践操作，学生迅速找到了面积为2的正方形的简单拼接方法（如图1），根据之前学习算术平方根的概念，学生迅速猜测到了正方形边长为. 在设计实验时，考虑到初中生的认知心理特点，以及本课的课程特点，实验过程中设计了以上层层递进式的问题，上述问题螺旋式上升，为学生理解“是一个无理数”打下了基础，自然地引导学生理解了除有理数之外的另一种数——“无理数”.

师：下面我们借助计算器来找一找大约等于多少呢？谁能说一说，如何来找这个数呢？

生：因为这个数在1和2之间，所以在1和2之间找到一个小数的平方等于2，那么这个小数就等于.

师：很好，那我们就借助计算器来找一找这个小数. 1和2之间这个范围能不能缩小一下呢？

（以小组为单位进行试算实验，组长先分工，计算、记录、验证等，并一起讨论如何快速缩小范围.）

生：因为1.52是2.25，所以一定比1.5小.

师：非常好，这位同学通过取1和2的中间数1.5，计算了1.52，发现了在1和1.5之间，我们再用他的这个方法来把的范围再缩小一下，大家试试看.

生：我计算了1.252是1.5625，1.32是1.69，1.42是1.96，所以在1.4和1.5之间.

师：很好，接下来我们再用刚才那位同学取中间数的方法来找一找到底是几呢？

（学生以小组为单位共同探索，利用计算器尝试计算，通过计算1.452，1.432，1.422，1.412等数据发现在1.41和1.42之间，再通过不断调整数据计算发现在1.4142926和1.4142927之间. ）

师：大家尝试了多次，可否找到一个有限小数使其平方恰等于2？

生众：没有.

师：大家观察一下1.4142926……这是一个循环小数吗？

生众：不是.

师：这是一个无限不循环小数，我们把这样的小数称为无理数.

评点 引导学生通过计算器探求的小数部分有一定的难度，这里通过让学生取中间数进行计算从而一步步缩小范围，通过不断调整数据计算，让学生从实践中感受到是一个无限不循环小数，从而引入无理数概念，使学生自然理解了什么是无理数. 通过这样的数学实验设计，让学生感受到无理数产生的过程，并从这一实验结果中加深理解了无理数的概念，同时在实验操作中也体会到了数学探索的乐趣.

依托实验教学，培养建构能力

建构主义教学理论认为，教师对于学生最大的帮助不在于某一个知识点上的教学，而是在于学生学习过程中对于知识求解形成于头脑中的按部就班的问题解决过程，这种解决问题的过程将形成一系列经验留驻于学生的脑海中，进而形成建构的能力.endprint

案例2 《勾股定理》教学

勾股定理是初中数学平面几何中重要的数学定理. 教师教学也可以直接向学生展示定理，然后进行验证，但是这样的方式对于学生数学建构能力的培养并无多大益处. 因此笔者设计了下列实验教学：

实验前准备：四个全等的直角三角形.

师：有一天数学家毕达哥拉斯去朋友家做客，他发现朋友家的地板花样图案非常有意思，他拿着一支笔在那里画呀画，请大家看一看，你有什么发现？（如图3所示）

生：借助小方格图想到：两个小正方形的面积等于大正方形的面积.

师：这三个正方形的面积与直角三角形的三边有没有什么关系呢？

生：有，三个正方形的面积分别是直角三角形三边的平方.

师：那你能根据上面的发现能归纳出直角三角形三边之间的一个关系吗？

生：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

师：这一结论适用于所有的直角三角形吗？

生：应该是的.

师：那我们一起用课前准备好的四个全等的直角三角形来拼图并论证一下刚才这个结论的正确性.

（学生在教师引导下分组进行实验探究.）

生1：我们组拼了如图4的正方形，该正方形的面积有两种算法：第一种，看成一个整体，该正方形的面积为c2；第二种，用分割的方法，看成中间一个小正方形的面积加边上四个直角三角形的面积，即4×ab﹢（b-a）2. 根据同一个图形的面积相等可得：4×ab﹢（b-a）2=c2，展开并化简得：a2+b2=c2.所以刚才的结论是正确的.

生2：我们组拼了如图5的正方形，通过和第一组一样的思想，由该正方形面积的两种计算方法得到一个等式：（a+b）2=4×ab+c2，展开并化简得：a2+b2=c2. 同样证明了刚才的结论是正确的.

生3：我们组用了两个直角三角形，连接上面两点得到了一个直角梯形如图6. 该直角梯形的面积也有两种算法：（a+b）（a+b）或者2×ab+c2，得到等式（a+b）2=2×ab+c2，化简同样得到了：a2+b2=c2.

师：非常好，大家都很善于发现，也很会实验并总结. 刚才我们在实验中验证的这一结论，就是直角三角形中的一个非常重要的定理，叫勾股定理.

评点 教师很好地引导学生利用了普遍具有的“图形旋转面积不变”这一非形式几何知识作为知识的生长点，使学生从原有的知识中自然“生长”出新的知识，这一知识的生长过程是一种探索过程，不仅使新知识找到了牢固的附着点，而且使认知结构在探索中得到发展. 建构主义的数学教育希望学生进行讨论、合作、反思、商讨和再商讨. 大多数数学问题（特别是几何问题），都可以利用构图实验，从而使学生进入主动探索状态，变被动的接受学习为主动的建构过程，进而使学生对所学新知加深印象.

开展数学实验，提高合作能力

愈来愈多的社会工作需要团队合作精神，这也是数学实验教学要培养的能力之一. 心理学合作理论研究表明：实验教学中学生能力各有所长，恰如其分的团队合作正好将学生之间的各种能力激发出来，改善了学生的人际关系、合作品质等. 以上两个案例，都体现了团队合作的优势.

案例1 （同上，略）

案例2 （同上，略）

评点 不可否认，在目前的不少数学课堂教学中有这样一个问题：不重视概念、公式、定理的发现与证明，只对解题进行强化训练. 本着应试的目的，注重培养学生的独立思考能力，鲜有团队合作的训练. 这导致学生淹没在数学题海里独自沉浮，却没有携手共同搏击大浪的习惯. 但事实上，各行各业中杰出成就的取得都是团队合作的结果. 因此，在数学课堂教学中培养团队合作精神是有必要的，而数学实验活动的实施与开展，小组成员之间通过先分工后汇总，再讨论，最后总结，在很大程度上锻炼了学生的团队合作能力. 在案例1中学生通过分工合作加快了试算实验的速度，通过互相借鉴、取长补短，找到了不断地取中间数（实质上是数学中的“二分法”）来快速缩小的取值范围的方法，这不仅加快了实验探究的进程，也让学生在实验活动中体会到了团队合作可以集取众人的智慧，优化解决问题的方法，进而提高效率. 在案例2中，学生同样通过相互提醒、共同合作找到了验证勾股定理的方法，并且发现验证勾股定理的方法不止一种. 在这个探究过程中调动了小组内各个成员的聪明才智，通过集思广益，使学生学习思维的开放性、互动性、发散性都得到了锻炼. 而且数学实验活动也引导学生发现在认识数学时需要互帮互助，在解决问题时更要集取众人的智慧. 所以说，数学实验活动的实施与开展对学生合作意识的提高和合作能力的培养都起到了促进作用.

总之，数学实验教学是一种新课程理念下建构的尝试，是以生为本、以生为动的一次实践. 我们不仅要引导学生学习数学新知，更重要的是引导学生去建立学习陌生新知的学习步骤的过程，这是值得我们思考的. 教师的任务应该是在传授知识的过程中努力培养学生的能力. 我们培养出来的学生应该具有再学习、再应用和再创造的能力，应该有团队合作精神，以适应时代的发展要求. 我们期待通过数学实验活动的教学，培养学生数学思维能力，而且能够促进其自我发展，进而用这把钥匙打开其他科学的“大门”.endprint