将数学建模思想融入高数课堂的案例分析

史鹏军

摘 要： 高等职业教育强调数学知识的应用性，数学建模是数学理论联系实际的桥梁，以除雪机除雪问题为例，以数学建模思想方法为指导，应用高等数学知识分析解答应用实例，不仅能大大激发学生学习数学的兴趣，而且能提高他们应用数学知识的能力.

关键词： 数学模型 教学改革 高等数学 定积分

1.引言

高职院校开设公共基础课高等数学，强调数学知识的应用性.而采用传统单一的“填鸭式”的理论教学方法很难达到目的.很多高数教师可能都被学生问过这样一个问题：“学高数有什么用？”这说明通过我们的课堂教学，没有让学生感受到他们学到的东西能解决广泛的实际问题.数学建模是一种数学的思考方法，是通过抽象、简化，运用数学的语言和方法，建立数学模型，求解模型并得到结论及验证结论是否正确、合理的全过程，是解决传统教学活动中学生缺乏运用数学知识解决实际问题能力的有效途径[1].本文用数学建模的思想和方法，应用所学的高数相关的知识详细分析解答了“除雪机除雪问题”，是将数学建模思想融入高等数学教学一个案例.

2.案例分析

微积分是高数的核心内容，是解决实际问题强有力的数学工具，下面我们就尝试用学过的定积分解决一个日常生活问题.

冬天的大雪常使公路上积起厚雪影响交通，有条10公里的公路积雪有一台除雪机负责清扫.每当路面积雪平均厚度达到0.5m时，除雪机就开始工作.但问题是开始除雪后，大雪仍下个不停，使路面上积雪越来越厚，除雪机工作速度逐渐减慢，直到继续工作.降雪的大小直接影响除雪机的工作速度，那么除雪机能否完成这10km路程的除雪任务，当雪下多大时除雪机无法工作[2]？

相关情况和部分数据：

（1）降雪持续下了一个小时；

（2）降雪速度随时间变化，但下得最大时，积雪厚度的增量是每秒0.1cm；

（3）当积雪厚度达到1.5m时，除雪机将无法工作；

（4）除雪机在没有雪路上行驶速度为10m/s.

问题分析：首先考虑与除雪机除雪有关的因素，其主要因素有：下雪的速度，积雪的厚度，除雪机工作速度及下雪持续的时间.为使问题简化，假设（1）下雪速度保持不变；（2）除雪机工作速度与积雪厚度成反比.设置变量，记下雪速度为R（cm/s），积雪厚度为d（m），除雪机工作速度为v（m/s）.

建立模型：

（1）下雪厚度模型.在下雪速度保持不变的情况下，积雪在t秒内厚度增量△d=■Rt，因此t秒内积雪厚度为：d（t）=0.5+■（2.1）

（2）除雪机工作速度模型.由问题的假设，并注意到当d=0时，v=10；d=1.5时，v=0，可建立关系式v（t）=10（1-■d（t）），0.5≤d（t）≤1.5，将（2.1）式带入得t秒时除雪机工作速度公式v（t）=■（2-■）（2.2）

利用上述公式，可确定除雪机被迫停止工作的时间，由v（t）=0，得t■=■（2.3）

除雪机工作t秒时的行驶距离S（t）=？蘩■■v（u）du=■？蘩■■（2-■）du=■t-■t■（2.4）

情形1：大雪以每秒0.1cm的速度持续1h.

积雪新增的厚度是■=3.6（m），再加上原来雪深0.5m，已经超过1.5m.只能考虑除雪机从雪厚0.5m到雪厚1.5m时的工作时间和除雪距离.由（2.3）可得：t■=■=■=1000（s）≈16.67（min），即除雪机只能工作16.67min就得停止工作，其行驶的距离由（2.4）得：S（t■）=S（1000）=■-■≈3.3（km）.

情形2：大雪以每秒0.025cm的速度持续1h.

图1 下雪速度速度变化图

积雪新增的厚度恰好是情形1的■，为0.9m，再加上原来雪深0.5m，雪深不超过1.5m，除雪机始终可以工作.除雪机除雪10km所需时间，将S=10×1000m带入（2.4）得：10000=■t-■t■，t=2000（s）≈33.33（min），即只雪33.33（min）除雪机就可以清除完10km的积雪.

模型改进：上述模型假设下雪速度保持不变，实际上，持续下1h雪，下雪的速度不可能恒定不变.现从实际出发把假设做得更合理些.假设下雪的速度在前30min均匀增大到最大值0.1cm/s，在后30min逐渐减小到零.如图1所示.

用r（t）表示t时刻的下雪速度，则

r（t）=■？摇？摇0≤t≤1800a-■？摇？摇1800≤t≤3600（2.5）

r（t）的单位为cm/s.利用在t=1800处r（t）的连续性，可知参数a=0.2.

积雪厚度函数：当0≤t≤1800时，d（t）=0.5+■？蘩■■■du=0.5+■t■（2.6）

计算得d（1800）=0.5■=0.5+0.9=1.4（m），即除雪机工作30min时，积雪厚度达到1.4m.当1800≤t≤3600时，d（t）=1.4+■？蘩■■（0.2-■）du=0.01（0.2t-■t■）-1.3（2.7）

计算得d（3600）=0.01（0.2×3600-■-1.3=2.3（m），说明雪还在下时除雪机已经停止工作.工作时间利用（2.7），取d（t）=1.5m可得t≈35（min）.

若考虑更复杂些，则还可以建立与实际更接近的数学模型.

3.结语

高职院校学生的数学基础相对较弱，学习高数有些吃力，利用传统的教学方法给他们“满堂灌”抽象的理论知识只会使他们对这门课望而生畏.在教学过程中引进数学模型，渗透数学建模的思想和方法，不仅能大大激发学生学习数学的兴趣，而且能提高他们应用数学的能力，还能够提升教师的教学水平，完善现有的教学方法，从而有效提高高等数学的教学质量.

参考文献：

[1]叶其孝.把数学建模、数学实验的思想和方法融入高等数学课的教学中去[J].工程数学学报，2003（8）.

[2]蔡锁章.数学建模[M].中国林业出版社，2003.