数学实验，促进初中数学的知行合一

徐秀玲

[摘 要] 初中数学不只是抽象地研究数与形，初中数学需要借助初中生的认知特点，确保形象思维和抽象思维均得到充分运用，从而实现数学教学的知行合一. 数学实验是实现这一教学目标的重要途径，数学实验与自然科学实验类似，但又具有数学的本质特征. 本文以“勾股定理”为列，阐述如何通过数学实验实现知行合一.

[关键词] 初中数学；数学实验；知行合一

数学实验是一个新兴事物，在百度中输入数学实验关键词会发现，其更多地指向以计算机技术为基础的大学数学实验，这意味着，在初中数学教学阶段，数学实验还没有得到广泛认识，更别说理解了. 但事实上，初中数学又蕴涵着丰富的数学实验内容，从基本的合情推理，到数学课堂上的数学活动，其实都有数学实验的影子. 有人这样界定数学实验的内涵：为获得某种数学理论，检验某个数学猜想，解决某类问题，实验者运用理性的手段，在数学思维活动的作用下，在特定的实验环境中进行探索、研究活动. 这样的界定指明了数字实验的基本含义，但对实验本身特点的描述不够充分. 笔者梳理其他相关资料后发现，数学实验具有实验特性，选择数学实验所需要的器材并以一定的步骤加以运用，也是数学实验的基本因子. 在这样的视角之下，数学实验既具有动手的含义，又具有动脑的要素，从而具有数学探究特征. 从这个角度讲，在初中数学教学中引入数学实验，应当是一件一举多得的事情.

需指明的是，数学实验作为一种操作性活动，其有利于数学知识与数学行为的巧妙结合，也有利于数学教学的知行合一.

初中数学实验的理论梳理

根据笔者对相关理论的梳理发现，在自然科学及自然学科的教学中，在新课程改革的背景之下，实验所充当的作用除了作为科学概念的背景之外，就是作为科学规律的探究的某一个环节存在. 事实上，数学与科学关系密切，很多科学家本身也是数学家，而大数学家欧拉也说，“数学这门科学需要观察，也需要实验，实验是科学研究的基本方法，数学也不例外. ”那么，在初中数学教学中，数学实验应当以什么样的形态出现在学生面前呢？笔者以为这首先是一个理论问题.

研究表明，数学实验的出现形式与科学探究中的形式并无质的区别，具体到数学探究的过程中，以数学实验为核心的课堂教学常常由如下几个部分组成.

第一步：创设情境，提出数学问题. 数学情境的作用自不必细说，数学情境对于数学问题的提出，其作用主要体现在情境对数学认知平衡的作用上. 研究表明，良好的数学情境可以让学生原有的认知平衡受到冲击，从而让学生产生问题意识. 一旦学生的问题经过语言或文字表达出来，那就成为一个有形的数学问题. 从数学探究的角度来看，适合学生解决的数学问题才是有意义的.

第二步：作出数学猜想. 对于提出的数学问题，其答案可能是什么？一般来说需要经过学生的猜想过程. 猜想不是没有依据的瞎想，猜想是学生结合原有的认知经验，并对新问题进行可能性判断的过程. 猜想不一定正确，但一般来说猜想必须有依据. 有无依据，一般是衡量学生猜想质量的重要指标.

第三步：设计数学实验，验证数学猜想. 猜想是否正确，需通过证明. 一般来说，证明方式有两种：一种是数学推理，即通过已知的数学规律进行逻辑上的推理，其需要的是学生的逻辑思维，学生此时的加工对象是抽象的数（包括符号、公式等）与形；另一种是数学实验，数学实验也需要逻辑思维，但其表现往往是形象的数学实验，其往往需要形象思维超过抽象思维. 相比较而言，后者对于更多的初中生具有普适性，但在传统的数学教学情境下，数学实验因为需要的时间更长，因而常常为教师所放弃（当然也有可能是数学教师无运用意识）.

第四步：进行数学实验，收集实验现象及数据. 根据设计的数学实验步骤，利用相应的器材（这里所说的器材不一定是有形的器材，与自然科学的探究不一样，数学实验中的器材更多的是相关计算机应用软件的使用）进行实验，观察现象并收集相关数据.

第五步：得出数学实验规律. 数学规律的得出依赖于实验的结果，利用数学知识进行规律分析.

第六步：对规律进行数学化. 上一步骤中得出的数学规律往往是经验性的，对于经验性的朴素数学规律进行数学化处理，使之变成科学的数学规律，是数学实验的最终步骤.

上述内容是一个完整的数学实验过程，其既类似于自然科学中的实验步骤，又具有明显的数学特征：其一，其面对的对象是数学的；其二，其过程中用到的是数学工具与数学思维；其三，其结果需要数学化.

初中数学实验的教学实践

在实际的数学教学中，数学实验的运用既具有普遍的共性，又与具体的数学内容相关. 一般来说，想要寻找一个精细且放之四海而皆准的数学实验模式，几乎不可能. 但在宏观步骤（如上）的指导之下，结合具体的数学内容去设计一个数学实验，那是可能的. 现以“勾股定理”的教学为例，谈谈笔者的探究过程.

勾股定理是初中数学的重点内容，其以什么样的形式出现在学生面前，关键在于教学重点的确定. 笔者认为，对于本内容的教学，探究的过程是重点，因此问题的提出相对就应简单一些. 笔者提出的问题是：中国数学研究有一个规律叫“勾三股四弦五”，它是什么意思呢？西方的古老数学中有一个数学家叫毕达哥拉斯，它有一项重要发现，是什么发现呢？通过古代中外两个殊途同归的数学研究引入课题，算是一种情境创设，可以吸引学生的兴趣，也可以激发学生的探究欲望.

在提出问题与猜想环节，笔者也没有花太多的时间，主要任务有二：其一，借助直角三角形，解释“勾三股四弦五”的含义；其二，介绍毕达哥拉斯的发现（具体可以参考教材，这里不赘述）. 然后提出问题：是不是所有的直角三角形都满足这样的规律呢？

学生的猜想这时往往有困难，因为这个问题学生不具有猜想的知识基础，无论答案是“是”还是“不是”，往往只能是学生的无意识判断，不宜花费太多时间.endprint

在设计实验与实验验证两个环节，数学实验的魅力可以得到充分彰显. 首先是实验的设计，学生面临的主要问题是：两条直角边的平方可以转换成什么？而学生的答案往往是：长度. 这个时候，学生很少想到面积. 于是，第一个数学实验往往不是利用面积来证明，而是利用纯粹的长度来证明. 笔者在实验中借助应用软件，可以相对精确地测出两条直角边和斜边的长度，然后求出它们的平方，并去检验其是否满足直角边的平方和等于斜边的平方这一关系. 有意思的是，学生还会下意识地在纸上画出一个直角三角形，然后利用刻度尺去测量. 笔者以为这也是有价值的，尽管其不精确，但实验思想却是正确的. 但就算是借助计算机软件，其关系也不是十分精确.

面对这样的困难，教师需要引导学生思考：测量和计算的方法，是纯粹的数学意义. 而某一条边的平方还具有几何意义！这样的引导，容易让学生想到正方形的面积，于是学生的思维就由测量计算转向寻找与三条边相关的面积关系——这是这一数学实验的核心所在. 传统数学教学中，为什么会想到用面积关系来证明勾股定理，这是难以突破的. 但在这样的实验过程中，基于学生原有的认知基础去进行引导，可以让学生产生一种恍然大悟的感觉，而这样的感觉恰恰会为后面的实验探究奠定基础.

至于后面的实验过程，同行们倒是比较熟悉，这里也不赘述，只是需要强调的是，实验的最后需要进行数学化. 因为学生得到的结果往往是经验化的表述，“一条直角边的平方，加上另一条直角边的平方，等于斜边的平方”是学生最容易产生的说法，而由其引导到最终的勾股定理过程不容忽视，这里要跟学生强调数学语言的简洁性.

到此，数学实验过程全部结束. 分析这段过程，发现其既与传统数学教学有重叠的地方，又有所不同，而不同之处，往往也是数学实验的关键之处

基于数学实验的初中数学教学

今天，我们认为数学是研究数与形，而数与形又是高度抽象的，因此，无论是教师还是学生，总认为抽象是数学的特征. 其实这一认识是片面的，尤其是对于初中数学教学而言，要充分展示其形象性，而形象性的重要手段就是数学实验.

在笔者上面所举的例子中，既有必要的抽象思维，又有丰富的形象操作手段，无论是学生粗糙的测量、计算操作，还是借用计算机软件的操作，其实都是数学实验的思想体现.

因此，笔者认为，初中数学教学要高度重视实验的价值，要让学生在数学学习的过程中，形象思维与抽象思维得到协调运用，让动手和动脑能够相互促进，这对于学生认识数学而言，具有重要的意义. 对于初中数学有效教学而言，也是重要的实现途径. 数学是知，实验是行，数学实验，无疑有效地促进了知行合一.endprint