如何培养学生数学学习的反思能力

周安飞

[摘 要] 学习是学习者自我建构的过程，培养学生的数学学习反思能力至关重要，我们不妨从概念、解题过程、章节小结、做课堂笔记等多方面进行反思.

[关键词] 数学；反思；引导

学习是自我建构的过程，谁也无法代替他们真实的学习体验，也不可能仅靠老师越俎代庖式的灌输讲授方式就能唤起他们的深度共鸣，所以，关注学生对所学数学知识的产生过程和内容进行反思，了解他们重构已有的理解的实际状态，成为数学老师的一项神圣的使命.

引导学生对概念进行反思

数学概念是对数学现象最为本质的描述，是学生学习数学的基础性工具，包括基本的数学术语、定理、公理、过程性语言等. 学生只有对这些概念全面、精准、深入地理解，把握其产生的过程和具体的表现形式，了解其内涵和外延，才有可能做到灵活运用，顺利地解决实际问题. 引导学生反思概念的学习，就是让他们理解概念的产生、验证、运用方面可能的表现形式和存在的问题，避免进入误区.

比如九年级上册“一元二次方程”这一节，学习结束后，笔者出了几道题目，让他们判断下列式子哪些是一元二次方程，哪些不是，为什么？题目如下：①（x-5）2=16；②x2-4x+1=0；③x3-2x2-3x=0；④x2+3y=10；⑤x+6=9.

所有的学生都排除了③④⑤，但不少学生认为只有①才是一元二次方程. 笔者追问为什么时，学生能根据书本“像这样的方程叫做一元二次方程”进行说明. 于是笔者帮助学生再次梳理出满足“一元二次方程”的所有条件，解释清楚“像这样”所包含的意义. 之后，笔者再次追问②为什么不是一元二次方程呢？学生以书中举出的四个例子为据说明. 笔者随即引导他们再次寻找判断一个式子是不是一元二次方程的充要条件，最后小结. 原来，这部分学生忽略了书本中关于一元二次方程的关键性解释，即“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2”. 但是，该表述并没有规定方程右边的数不能为0，所以学生忽略了对相对较为抽象的一般式的理解（所有的一元二次方程都可以转换成一般式），也忽略了“方程”这个前提概念，那么②自然是方程，且满足了所有的条件，为什么不是一元二次方程呢？有了这样的引导，学生即掌握了“一般式”这个判断样本.

引导学生在解题中进行反思

解数学题是数学学习最重要的形式，学生最容易出现错误，教师可引导学生学会反思，进而提炼出典型题，举一反三，提高解题能力，总结易错题，进而提高解题正确率，例如：

例1？摇 已知关于x的函数y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1的图象与x轴总有交点，求m的取值范围.

典型错误？摇 由题意知Δ=4（m+2）2-4（m-4）（m+1）=28m+32>0，解得m>-.

错因剖析？摇 题目涉及方程、函数等概念. 既然题目把给定的方程式看做函数，而没有特别强调是“二次函数”，那么，如果把该方程式当做二次函数来解题，它必须满足二次项系数m-4≠0这个条件. 但是上面的解题却忽略了这一要求，直接把给出的式子当做二次函数，这说明这位学生没有完全弄懂题目的条件和隐含的解题要求，分析题目不精准，导致解题结果不全面，且有误差. 其实可分为两种情况解题.

正确答案 （1）当m=4时，该函数为y=12x+5，是一次函数，且与x轴有一个交点.

（2）当m-4≠0时，该函数为二次函数，与x轴可能有一个交点，也可能有两个交点，所以Δ≥0，即Δ=4（m+2）2-4（m-4）·（m+1）=28m+32≥0，解得m≥-且m≠4.

综上，当m≥-时，函数y=（m-4）x2+2（m+2）x+m+1的图象与x轴总有交点.

与之相反，解答数学问题的典型例题具有标本性的作用，可以以一当十，所以可以引导学生识别、整理典型题，发现知识点内在的规律性和关联性，形成一系列相似题目的解答思路，破解有关此类题的难题，同时避免重复演习类似题目，从题海中解脱出来.

引导学生在章节小结进行反思

数学反思不能仅限于某个点或某个环节的学习，还要对整个章节的学习进行反思，以发现知识的内在联系，提高对概念、定理等的理解力，开阔数学视野.

例2？摇 笔者在教授苏科版《实验教材·数学》九年级上册“2-2 圆的对称性”（第一课时）时是这样引导学生的：

师：同学们，学完了本课，大家谈谈自己的收获吧！

生1：我知道了有关圆的对称性质这个知识.

数学知识必须记死，但不能死记，须采用数学方法进行记忆. 笔者随即出示图1，带领大家口述验证相关的知识，这样就从过程感知的角度，再一次加深了理解和记忆，将刚才零碎的知识形成一个连续的动态演绎的过程，更新了有关圆的知识. 这样，他们在日后的应用中脑海里就会浮现学习的情境.

师：知道这些有什么价值呢？

生2：可以引申出一些定理，和其他知识结合起来，解决有关的数学问题.

笔者问到这里，随即设计几道简单的数学问题，使学生看到知识的运用情境. 经过这两个层次的引导，学生就会对本章节的学习有一个整体印象，经历从知识的输入到能力的输出的过程，升华了数学学习内容.

运用课堂笔记与错题集加强反

思学习

课堂笔记、错题集是宝贵的学习资源，既能帮助学生记忆知识，储存数学典型例题，起到标本的作用，又能帮助学生不断地反思自己的数学错误，时刻警醒他们注意避免先前遭遇的陷阱，避开障碍，打开思路.

学生利用课堂笔记，就可在有限的篇幅内扫描更多的知识点，产生连锁记忆，便于将某一章节的知识和整个学期、乃至学年的知识联系起来，以提高对知识的深度解构，培养更缜密的数学思维，形成更深刻的数学思想，获得更强的数学能力.

制作错题集，除了分成方程、圆、不等式等大类之外，还可以对每一个大类进行细分，如概念性错用类、思路受阻类、非技术性错误类等. 另外，还要注意错题信息的完整性，如完整的题目、简要的解题过程、正确的解法等，便于查阅.

长期做课堂笔记和收集错题，其实就是培养科学的研究方法，使学生形成反思能力.

引导学生在数学交流中形成反

思的习惯

积极搭建交流平台，努力引导学生课下自主交流，课上展开师生对话、生生对话等形式，这样能更加直接、充分地反思，彼此的关注点、疑惑点也会充分暴露，学生借此机会可以自我矫正、自我完善，教师借此机会可以发现学生存在的问题，及时修补、纠正，点拨反思数学学习的方法，解决数学思维活动的模糊、无序和乏力的状态.

例3？摇 在正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，且AE=BF，AF与DE交于点G. 从所给的条件中，你能得出哪些结论？为什么？

师：大家稍微分析一下这个题目，便会发现，运用SAS很容易得出△ABF≌△DAE，可知对应边相等，对应角相等. 那么，如果AB=AD=1，要求DE2-BF2，如何求呢？

生：从△ABF≌△DAE可得到BF=AE. 由于AB=AD=1，所以DE2-BF 2=DE2-AE2=AD2=1.

……

由此观之，执教者没有直接采取讲解的方式教学，而是通过点拨、启发，引领学生思考，在对话中引导学生反思解题的关键所在. 这样就能帮助他们厘清题目牵涉的知识，学会运用数形结合的思想，破解解题之困，探索出解题路径.

总之，培养学生的数学学习反思能力，就能以“合适的视角将知识串联起来、整合起来，使基础知识结构化，达到‘拎起来成一串，撒下去铺一片的效果”.endprint