借题发挥，上好专题复习课

石慧英

[摘 要] 专题复习课是初三数学进行二轮复习教学时的一种重要课型. 要想在复习课中真正提升学生的数学能力，可采用“借题发挥”专题复习方式，这样也许能引导学生从更高的角度理顺知识的内在联系，促成学生认知模式的再次重组，起到意想不到的复习效果.

[关键词] 二次函数；一元二次方程；借题发挥；中考专题复习

二次函数与一元二次方程均是初中数学的核心内容，它们之间联系紧密，下面笔者就如何借题发挥，上好这样一节中考专题复习课，谈谈自己的一些做法与思考.

“拿一个有意义且不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域！”基于这样的教学理念，我对本节课的教学设计可用“一道题”“两句话”“五个环节”来概括：设计一个典型问题，拉长过程、慢中求真，在一说、二想、三解、四变、五反思中达成教学目标！

教学策略

搭建问题“脚手架”，利用问题串驱动教学生成.

教学环节

1. 环节一：说

例题 ？摇已知抛物线y=（x-m）（x-n）与直线l交于A（a，-1），B（b，-1）两点，且点A在点B左侧，m-n=-3.

问题设计：（1）根据题目的叙述，请同学们说一说题目的已知条件，不妨用笔划出关键词.

（2）可以联系哪些知识点？

（3）同学们认为题中还有哪些隐含条件？

设计意图？摇 弄清题意是正确解题的第一步，此环节设计3个小问题引领学生思考并分析已知条件，挖掘隐含条件. 所谓隐含条件，是在题目中未明确表达出来而客观上又存在的条件，隐含条件隐藏得较深的题目，往往会给学生造成条件不足的假象，但如果能仔细分析、推敲，就可以将其挖掘出来. 审题过程中，若能及时发现和运用隐含条件，就可以迅速地达到解题目的，使解题过程更为流畅，如本题中隐含的条件有a，b是方程（x-m）（x-n）=-1的两根，这条抛物线与x轴的两个交点之间的距离是3，直线l的解析式为y=-1等.

2. 环节二：想

问题设计：（1）根据题目提供的这些条件，同学们想一想能解决哪些问题或得出哪些结论？不妨写下你的这些问题或结论！

（2）哪些同学愿意汇报一下你的发现？

①写出直线l的解析式；

②判断a，b，m和n的大小关系；

③求线段AB的长.

设计意图？摇 学生通常所解的问题，条件与结论都是直接给出的，所要处理的只是打通已知与未知之间的通道，并将其连接起来，但在本题的教学中，我只是先出示条件，而不给出问题，让学生分析现有条件与哪些知识点有联系，根据这些知识能解决哪些问题或发现哪些结论. 对学生而言，这就有了探究的意味. 从某种角度来说，我认为提出问题的能力比分析问题、解决问题的能力更重要，因为“联想的宽度决定了解决问题的开放度”.

3. 环节三：解

问题设计：（1）同学们提出的问题都非常值得研究，现在一起来看看这样一个问题应该如何解决，即求代数式m-a+的值.

（2）请同学们根据刚才的分析，尝试解决上述问题.

（3）你还有不同的解决方法吗？

问题解决：解法一，由已知易得a，b是方程（x-m）（x-n）=-1，即a，b是方程x2-（m+n）x+mn+1=0的两根，所以Δ=[-（m+n）]2-4（mn+1）=（m-n）2-4=5. 因为a0. 所以m-a+=a-m+n-b=3-.

解法二，因为m，n为开口向上的抛物线y=（x-m）（x-n）与x轴的两个交点的横坐标，a，b为此抛物线与直线y=-1的两个交点的横坐标，结合图形（图略）易知m

解法三，同解法二可得m

设计意图？摇 鼓励学生一题多解，分别从不同的角度去思考，如利用一元二次方程的求根公式，或利用一元二次方程根与系数的关系，或数形结合，或利用抛物线的平移等，为学生充分提供解题过程的开放空间，全面复习二次函数与一元二次方程的关键知识，深刻理解抛物线与直线交点的代数意义以及一元二次方程的根的几何意义.

4. 环节四：变

师：这个问题的解决我们主要应用了一元二次方程根的几何意义是抛物线与x轴的公共点的横坐标，以及直线与抛物线有公共点的代数意义是对应的解析式组成的方程组的根，解决问题的过程中应认真审题，分析已知，挖掘隐含，发散思考，善于转化，注意分类，数形结合！老师对此题稍作改变，大家观察一下，与刚才的问题相比，发生了什么变化？

变式？摇 已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与直线l： y=t 交于C，D两点（点C在点D左侧）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若△ABC的面积为10，求t的值；

（3）若CD=2，求C，D两点的坐标.

思考：若△OCD为直角三角形，求t的值.

师：对于第（1）小题，你有几种解法？

生：解法一，将（-1，0），（3，0）代入抛物线解析式可得a-b+3=0，9a+3b+3=0，解得a=-1，b=2，所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.

解法二，令ax2+bx+3=0，由韦达定理可得-=-1+3，=-1×3，解得a=-1，b=2，所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.

解法三，由已知得y=a（x+1）（x-3），且抛物线过点（0，3），所以-3a=3，解得a=-1，所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.

师：说说下面两位同学关于第（2）小题的解答是否正确？为什么？

甲同学的解答——由已知得AB=4，因为S=10，即×4t=10，所以t=5.

乙同学的解答——由已知得AB=4，因为S=10，即×4t=10，所以t=±5.

生：不正确. 正确解答如下：由已知得AB=4，S=10，即×4×t=10，解得t=±5，因为抛物线与直线有两个交点，令-x2+2x+3=t，即x2-2x+t-3=0，所以4-4（t-3）>0，所以t<4. 所以t=-5.

师：如何求解第（3）小题？

生：解法一，令-x2+2x+3=t，即x2-2x+t-3=0，解得x=，所以CD=-=. 因为CD=2，所以4-4（t-3）=4，解得t=3. 又x2-2x=0的两根为0，2，所以C（0，3），D（2，3）. 解法二，令-x2+2x+3=t，即x2-2x+t-3=0，因为CD=2，所以CD2=4，即（x-x）2=4. 所以（x+x）2-4xx=4，即4-4（t-3）=4，解得t=3. 又x2-2x=0的两根为0，2，所以C（0，3），D（2，3）.

师：对于思考题，如何思考？

生：易知∠ODC<90°，所以若△OCD为直角三角形，则∠OCD=90°或∠COD=90°. ①若∠OCD=90°，则点C在y轴上，为抛物线与y轴的交点（0，3），此时t=3；②若∠COD=90°，设直线CD与y轴交于点H，则易证△OHC∽ △DHO，于是OH2=CH·DH，即t2=-x·x=3-t，解得t=. 综上可知t=3或t=.

设计意图？摇 在解决问题时通过引题设计，搭建问题“脚手架”，让学生突破难点，思维能拾级而上，直到最后解决问题. 通过变式训练，发现变式题与例题的共同点都是抛物线与直线的交点问题，不同之处在于例题中是动抛物线与定直线，而变式中则是定抛物线与动直线，鼓励学生发散思维，分类讨论，一题多解，一题多变，多题归一.

5. 环节五：反思

师：知识求连，方法求变！今天我们由一个问题的解决说开来，借题发挥，上了一节课，同学们不妨思考一下：这个问题的解决涉及哪些数学知识？运用了哪些数学思想方法？对我们今后的学习有什么启发？请大家畅所欲言，与同学们分享一下你的收获！

师：同学们还有什么疑问吗？

设计意图？摇 一节课的成功不仅在于课前的精心预设，在于课堂的精彩生成，更在于课后给学生留下什么，而这与课堂结束前的师生共同小结密不可分. 当下许多课堂小结行至最后常会由于时间关系“草草收兵”，学生没有了“回头看”，没有了“再反思”，没有了“提疑问”，那么所谓的收获恐也只剩套取解题模式罢了！故本节课最后笔者给足时间让师生共同小结，厘清涉及的数学知识、应用的思想方法，启发学生，并鼓励学生勇敢地提出自己的疑问！

反思

瑞士教育家裴斯泰洛齐曾说过：“教育的主要任务不是积累知识，而是发展思维. ”我以为，数学中考专题复习课同样不仅仅是帮助面临中考的学生复习数学知识，让他们去掌握、巩固和弥补在新授课时没有很好解决或解决不了的问题，它更大的空间应该留给孩子在复习课上独立思考与合作交流，感悟数学思想，积累数学活动经验，进一步感受其与新授课不同的风景.endprint