基于过程教育的“多边形”课例及点评

周海　邬云德

[摘 要] 本文根据“多边形（第2课时）”的教学目标，通过“过程教育”指导下的多次螺旋式教学探索与反思，以及初步的理论求证与实践验证表明，探索中形成的教学操作方法能落实其全面、和谐的教学目标.

[关键词] 过程教育；多边形；教学探索；教学点评

课例背景

“过程教育”是旨在满足学生全面、持续、和谐发展的需要，关注数学结果形成、应用的过程和获得数学结果（或解决问题）之后反思过程的育人活动. 浙教版《义务教育教科书·数学》八年级下册“4.1多边形（第2课时）”是认识多边形的继续——从三角形、四边形的内角和与外角和定理到n边形（n≥5）的内角和与外角和定理，其主要教学目标是：探索多边形的内角和；能发现并证明多边形内角和与外角和公式；能感悟蕴涵的类比思想、归纳思想、化归思想等；参与尝试知识应用的活动；会用多边形内角和与外角和公式解决简单的几何问题；能积淀用数学知识解决问题的数学活动经验. 那应选择怎样的载体和运用怎样的方法以落实其全面、和谐的教学目标呢？笔者在过程教育指导下多次螺旋式教学探索与反思的基础上，将形成的教学经验在象山县骨干教师带徒活动中进行了再实践，得到了同仁的认可，现将其整理出来，以飨读者.

教学实录

环节1：经历提出问题的过程——明确研究的问题

师：我们知道，三角形的内角和是180°，外角和是360°；四边形的内角和是360°，外角和是360°. 那n边形（n≥5）的内角和与外角和分别是多少呢？这节课我们就来探讨这个问题（揭示课题）.

环节2：探索多边形的内角和——形成多边形的内角和定理

师：现在请大家用适当的方法探究并填写表1.

（约3分钟后）

师：大家从表中能得到什么结论？

生1：n边形从某顶点出发有（n-3）条对角线.

生2：n边形能划分成（n-2）个三角形.

生3：n边形的内角和是（n-2）×180°（n≥3）.

生4：n边形的外角和是360°.

师：好的. 但从特殊到一般归纳得到的结论不一定正确，需要用推理的方法来证明. 谁能类比证明四边形内角和定理的方法来证明n边形内角和的命题？

生5：如图1，对于n边形，从某一顶点出发的（n-3）条对角线把n边形划分成（n-2）个三角形，所以n边形的内角和就等于这（n-2）个三角形所有内角之和，即n边形的内角和等于（n-2）×180°（n≥3）.

师：好的. 你运用了化归思想——把多边形问题转化为三角形问题.

生6：也可用图2、图3、图4的方法，把多边形问题转化为三角形问题.

师：非常好！这说明化归的方法具有多样性.

师：这样，我们就证明了这个命题是真命题——n边形的内角和为（n-2）×180°（n≥3）.

师：这个定理（也称公式）以后会经常用到.

师：n边形（n≥3）的外角和是多少？为什么？

生7：n边形（n≥3）的外角和为360°，因为每一个外角与和它相邻的内角互补，所以n边形的外角和（每一个顶点只取一个外角）为n×180°-（n-2）×180°=360°.

师：好的. 这个定理也可以利用图5来进行直观解释……

师：n边形的n个内角中最多有几个锐角？为什么？

生8：n边形最多有三个锐角，因为n边形的外角和是360°.

师：你的推理完全正确！

环节3：参与尝试知识应用的活动——合作解答有代表性的问题

师：现在请大家解答下列问题.

问题1：（1）十边形的内角和是多少？外角和呢？

（2）若n边形的内角和是1800°，则n=______.

（3）若n边形的每个外角都等于72°，则n=______.

（约2分钟后）

师：谁来回答第（1）问？

生9：1440°；360°.

师：好的，谁来回答第（2）问？

生10：12.

师：好的，谁来回答第（3）问？

生11：5.

师：好的，解答上述问题的依据是什么？

生12：解题的依据是多边形的内角和与外角和定理.

师：不错，下面请大家合作解答下列问题（课本中的例2）.

问题2：如图6，若AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，则∠A+∠C+∠E是多少度？

师：请大家先分析解决这个问题的策略.

生13：要求∠A+∠C+∠E的度数，只要分别求出这三个角的度数即可.

生14：不行，因为图形的变化会引起角度的变化.

师：有道理，这条常规思路不能用于解决本题.

生15：由于6个角的和已知，可以寻找角与角的关系.

师：不错，这是一种思考的方向.

生16：将六边形问题转化为三角形问题.

师：值得思考，这是化归思想——化复杂图形为简单图形.

师：现在请大家用生15或生16的思路来尝试解决这个问题.

（约3分钟后）

师：谁来交流解题过程？

生17：如图7，连结AD，因为AB∥DE，CD∥AF（已知），所以∠1=∠3，∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）. 所以∠1+∠2=∠3+∠4，即∠FAB=∠CDE. 同理，∠B=∠E，∠C=∠F. 因为∠FAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F=（6-2）×180°=720°，所以∠FAB+∠C+∠E=×720°=360°.

生18：如图8，分别延长AB，CD，EF三边构成△PQR，因为DE∥AB，所以∠1=∠R，同理，∠2=∠R，所以∠1=∠2. 所以∠CDE=∠FAB. 同理，∠AFE=∠BCD，∠ABC=∠DEF. 因为∠FAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠AFE=（6-2）×180°=720°，所以∠FAB+∠BCD+∠DEF=×720°=360°.endprint

生19：如图9，分别延长AB，CD，EF三边构成△PQR，因为DE∥AB，所以∠2=∠R，同理∠1=∠P，∠3=∠Q. 因为∠FAB=∠Q+∠1，∠DEF=∠P+∠2，∠BCD=∠R+∠3，∠P+∠Q+∠R=180°，所以∠FAB+∠BCD+∠DEF=2（∠P+∠Q+∠R）=2×180°=360°.

师：好的. 在求解上述问题的过程中，你获得了哪些数学活动经验？

生20：解题之前的分析是发现解题思路的关键；利用平行线的性质能实现角之间的相互转化（或能发现角之间的关系）；将复杂图形转化为基本图形是解题的基本策略.

师：非常好！解题之前分析、利用辅助线作桥梁、运用化归思想等是解题的基本经验.

环节4：参与回顾与思考的活动——合作进行反思与总结

首先，教师出示下列“问题清单”，并要求学生围绕“问题清单”进行回顾与思考.

（1）本节课研究了哪些内容？我们是怎样研究的？

（2）获得多边形内角和定理经历了哪几个步骤？

（3）证明多边形内角和定理的基本策略是什么？

（4）你在学习过程中有何感触？

其次，教师组织学生进行合作交流，同时教师进行评价.

第三，在此基础上，教师总结本节课的研究方法：发现多边形内角和定理采用了特殊到一般的归纳方法；证明多边形内角和定理运用了化归思想——化未知为已知；化复杂为简单.

教学点评

根据过程教育的含义，基于过程教育的数学教学需要全面的教学内容、完整的认知过程、和谐的教学方法，本节课的教学操作符合基于过程教育的数学教学基本条件，对促进学生全面、和谐发展有积极的影响.

首先，教学内容体现了全面的教学内容观. 基于过程教育的数学教学的教学内容应当全面——不仅包括数学结果，也包括数学结果的形成与应用的过程和蕴涵的数学思想方法. 本节课的教学内容体现了全面的教学内容观，其教学内容不仅包括多边形内角和与外角和定理，也包括定理的形成与应用的过程，蕴涵的类比思想、归纳思想、化归思想等，以及用定理解决几何问题的数学活动经验. 这是落实其全面、和谐的教学目标的前提.

其次，认知过程体现了完整的认知过程观. 基于过程教育的数学教学认知过程应当完整——既有认知过程“前半段”，也有认知过程“后半段”. 对整节课来说，认知过程前半段的主要任务是获得数学结果；认知过程后半段的主要任务是用获得的数学结果解决具体问题. 对于每个教学环节来说，认知过程前半段是感性到理性的认识过程，以获得数学结果（或解决问题）；认知过程后半段是理性认识的加深过程，以欣赏数学结果和感悟蕴涵的数学思想方法和积淀蕴涵的数学活动经验. 本节课体现了完整的认知过程观——既有多边形内角和与外角和的探索与证明认知过程，以获得多边形内角和与外角和定理；也有获得定理之后反思的认知过程，以欣赏定理和感悟蕴涵的数学思想等；既有用获得的定理解决具体问题的认知过程，以巩固定理和发展智慧技能；也有解决问题之后反思的认知过程，以积淀用定理解决问题的数学活动经验. 这是落实其全面、和谐的教学目标的关键.

第三，教学方法体现了和谐的教学方法观. 基于过程教育的数学教学方法应当和谐——不仅包括教师准确、清晰、富有启发性的讲解，也包括有助于学生经历实质性思维过程的价值引导（以好的“题材”为载体、有导学味的问题引导、有启发性的语言点拨、设置认知提示语、必要的辨析与干预、适时评价与追问等），以激发学生的学习兴趣、引发学生的思考、培养学生良好的学习习惯，使学生掌握恰当的学习方法. 本节课的教学方法体现了和谐的教学方法观，例如，课本中例2的教学（由于上节课的铺垫，探索并证明多边形的内角和不是教学难点，求解课本中的例2是教学难点），首先，教师引导学生分析求解策略，以获得求解思路；其次，教师组织学生探索并交流求解方法，以获得多样化的解题方法；第三，教师在总结性讲解的基础上引导学生反思，以积累解题经验和感悟蕴涵的化归思想等，这是落实其全面、和谐的教学目标的可靠保证.

总之，在数学教学中要实现知识、技能、能力、态度的完美统一，需要教师增强揭示数学结果所蕴涵的思维活动过程的自觉性，而引导学生经历实质性思维过程需要教师贯彻启发式教学思想——以符合“最近发展区”理论的题材为载体，运用教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放的教学方法，使学生经历“过程”中的思维“站点”，从而促进学生全面、和谐的发展.endprint