人教版“实数”旁白设计意图解读和处理建议

赵丽娜　黄益全

[摘 要] 教材旁白不属于正文，却依附于正文. 鉴于对初中数学教材旁白的解读是我们每个初中教师备课时的重要一环，笔者将在本文中以七年级第六章“实数”为例，通过对本章部分旁白的解读，更好地把握、领悟、挖掘和合理处理教材，从而使教材最大限度地为师生服务.

[关键词] 教材旁白；实数；设计意图；合理处理

问题提出

有种教研叫“同课异构”. 类似地，同样的教材，不同的老师也会有不同的理解和处理方式. 如果教师简单地把教材当作教案，照本宣科，恐怕教学效果远不能达到课标所要求的理想程度. 那么，研读教材就是每位教师必备的功课之一.

义务教育教科书数学人教版教材中旁白的呈现方式主要是两种——设置在正文边空的“小贴士”和“云朵”. “小贴士”介绍与正文相关的背景知识，“云朵”则是一些有助于理解正文的内容或素材. 对于教材旁白的处理，自然应细细揣摩编者的意图，理性判断其合理性，并进行正确处理. 这就要求教师在备课时不仅要用好正文，还要用心诠释教材旁白，以此把握对教学细节的处理，真正提升学生的数学素养和人文素养.

“实数”是义务教育教科书数学人教版七年级第六章的内容，本文拟对本章的部分旁白进行解读，以期更好地把握教材、领悟教材和挖掘教材，从而最大限度地发挥教材为师生服务的功能.

“实数”旁白设计意图的解读和

处理建议

本章的主要内容有平方根、立方根的概念及求法，实数的相关概念及运算. 本章内容不多，所涉实数理论不深，是学生第一次正式接触无理数和实数，要求使学生对数的认识由有理数范围扩大到实数范围，并为今后代数内容的学习奠定重要基础.

1. 通过旁白的解读和处理，教师合理处理教学环节，提高课堂效率

“教师是学习的组织者、引导者和合作者，对各个环节的处理关系学生学习的有效性.”学生的学习方式也不局限于听讲，动手实践、自主探索也是学习数学的重要方式，因此教师应适当下放任务，让学生有足够的时间和空间经历数学活动.

案例1？摇 P41的旁白“小正方形的对角线的长是多少呢？”

解读：该旁白是在探究“能否用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形”的内容旁边出现的. 该探究位于本章第一节第二课时的起始位置，此前第一课时已给出算术平方根的概念，学生已掌握“已知正方形的面积求边长”这一做法，易得出大正方形的边长为dm，这就引出了第一个无理数. 但如果探究内容仅仅是为了引出，那为何还要提出“用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形”这大费周折的问题，而不是直接提出问题“求这个面积为2 dm2的大正方形的边长”呢？笔者结合教材P54第6.3节中介绍用数轴上的点表示等一系列无理数的内容大胆揣测编者意图：一是尊重历史——历史上，人们发现用已有的数无法表示边长为1的正方形的对角线的长，从而引出；二是建立学生获取知识和方法的经验，使得后面在介绍用数轴表示各种无理数的方法时显得不那么突兀. 因为“面积为1的小正方形的对角线的长就是面积为2的大正方形的边长”这个结论（以下简称该结论）在教材P54第6.3节中要用到；三是引起学生的兴趣.

教材编者的用意固然是好，但教师在课堂若不当处理可能会适得其反. 比如，让学生大费周折地拼出面积为2 dm2的正方形，势必导致活泼的初一孩子将过多注意力放在拼图上，从而冲淡重点“研究这个无理数和求数的算术平方根”.

本人建议把这个探究作为第一课时的家庭作业，让学生提前剪拼，得到该结论，同时提出历史上人们思考过的问题“能否用我们已学过的数来表示这个长度”供学生研究，那么教师的课堂教学就可以直奔主题了，这样既不会冲淡重点，又可以达到教材编者预期的效果，同时也将学生放在了探索者的位置上，提高他们学习数学的热情.

2. 通过旁白解读和处理，教师引领学生进行理性思考，培养学生的质疑精神和探索能力

“随着对于数的认识的不断深入，人们发现，边长为1的正方形的对角线的长不是有理数，这就需要引入一种新的数……无理数的发现引发了第一次数学危机……”到底什么是无理数？无理数和有理数有着怎样的区别与联系？只有当学生理解了无理数的内涵和外延，才能真正理解无理数，并为了解实数的内涵做准备. 这就需要教师有意识地引导学生进行理性思考，在此过程中逐步培养学生探索数学的能力.

案例2？摇？摇P42的旁白“无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数，你以前见过这种数吗？”

解读：该旁白出现的位置是教材引出了这个数，并探索出=1.414213562373…，是个无限不循环小数之后. 笔者仔细揣摩教材编者的设计意图并对这个旁白的处理提出如下建议.

环节一：回顾概念“无限不循环小数（下文简称i-n-d（infinite non-repeating decimals））”. 学生小学时接触过这个概念，除了圆周率π以外却很少使用i-n-d. 可适当巩固，以加深学生的印象.

环节二：强调在本质上是一个i-n-d，而是学生接触的第一个带根号的无理数，这就很自然地为后面介绍无理数本质上是i-n-d埋下伏笔.

环节三：提出问题“你以前见过这种数吗”，很简单的一个问题唤起了学生头脑中关于数的已有认识的搜索、整理和归类，我们可以有效利用旁白提出的这个问题，让学生经历归纳、分类、猜想、计算、验证的数学活动过程，从而达到提升分析和解决数学问题的能力.

（1）学过哪些数？0，1，2，…，-1，-2，…，，，，，…，，，…，-，-，-，-，…，-，-，…，π，…，有整数，有分数，还有一个特殊的π，它们是不是i-n-d？

（2）π=3.141592653589…是i-n-d，这是小学老师明确告诉过学生的，而0，1，2，…，-1，-2…这些是整数，当然不是i-n-d；，，，，…，，，…，-，-，-，-，…，-，-…这些都是分数，是不是i-n-d？endprint

（3），，-，-…这些分数都能化成有限小数，不是i-n-d. ，，…，，，…，-，-，…，-，-…这些分数都不能化成有限小数，只能化成无限小数，这当中有没有i-n-d？

（4），，…，-，-…这些分数都可以化为无限循环小数（以下简称c-d（circulating decimal）），那么，，，-，-呢？学生通过计算发现=0.2857，=0.…显然，，，-，-都是c-d. 难道所有的分数都能化成有限小数或c-d吗？学生再举出几个分数进行验算，结果都以“失望”告终. 难道真的没有一个是i-n-d吗？学生在经历计算之后只能猜测“所有的分数都可以化成有限小数或者c-d”. （对于这个猜测的严谨证明，教师可让学生课后解决，允许搜集和查阅资料，然后根据教学进度安排数学活动课，让学生把自己的成果展示出来）

经过整理、分类、计算、猜想、验证，学生得出结论“整数和分数都不是i-n-d，π是i-n-d”，也就是说，学生只见过π这一个i-n-d. 于是，学生头脑就很清楚地意识到和学过的整数和分数的最大区别是“整数和分数都可以化为有限小数或c-d，而是一个i-n-d”，这就为教材提出无理数的概念和学生理解有理数和无理数的区别与联系起到关键作用.

3. 通过旁白解读和处理，“完善知识核心内容，使教材体系严密和完备”“引领学生熟读教材”，培养学生良好的思考习惯，避免学生走入误区

为了避免学生知识片面和碎片化，教材经常利用旁白的形式将知识体系补充完整，教师要抓住时机，完善知识核心内容，引领学生熟读教材，培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的学习方法，避免学习停留于表面.

案例3？摇 P46的旁白“符号只有当a≥0时有意义，a<0时无意义，你知道为什么吗？”

解读：该旁白将二次根式被开方数的非负性直接呈现出来，主要是为强调该结论，提出“为什么”也有其内在深意. 建议教师在学生回答这个“为什么”之前先询问“是什么”，学生带着“是什么”这样的思考自然会着眼于算术平方根的定义“如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根”，以此引导学生阅读教材. 既然a是正数x的平方，那么就有a≥0，至此，学生可自行归纳和总结出的双重非负性，即≥0且a≥0.

可见，通过对旁白的合理处理，不仅能达到知识层面的教学目标，还能引发学生数学思考，培养其良好的学习习惯，使其掌握恰当的数学学习方法.

值得注意的是，上述旁白内容只在实数范围正确，当数的范围进一步扩大，该说法就会出现问题——复数范围内，a<0时，符号是有意义的！那么教材体系是不是不够严密和完备呢？继续研读教材旁白，可以发现如下旁白：（P50）“随着数的进一步扩充，负数将可以进行开方运算，这是今后要学的”，这就很好地解决了我们的疑惑.

4. 通过旁白的解读和处理，引领学生学会对比学习

案例4？摇 P50的旁白“你能说说数的平方根与数的立方根有什么不同吗？”

解读：要弄清楚二者之间的区别，须将新旧知识联系起来，这既有利于复习巩固平方根，又有利于理解和掌握立方根的内容. 平方根是偶次方根的特例，立方根是奇次方根的特例，所以该旁白对研究偶次方根和奇次方根有着奠基性作用.

另外，要研究二者的不同，首先须研究开平方和开立方的逆运算，即研究平方和立方的不同，这样很容易发现平方根与立方根的不同，此处不再赘述.

5. 通过旁白解读和处理，普及生活常识和数学中的基本习惯

案例5？摇 P42的旁白“不同的计算器，按键顺序有所不同.”

案例6？摇 P42的旁白“计算器上显示的1.414213562是的近似值.”

案例7？摇 P44的旁白“3就是3×.”

案例8？摇 P45的旁白“几千年前，古埃及人就已经知道了平方根.”

案例9？摇 P50的旁白“算术平方根的符号，实际上省略了中的根指数2，因此也可读作二次根号a.”

解读：对该类型的旁白，学生很有必要了解，但只需学生阅读，教师不需过多讲解.

结束语

数学教材旁白的解读要基于知识本身的特点和学生的特点，立足于增强学生的数学素养和人文素养，这才是有意义的解读. 通过对“实数”旁白设计意图的解读，我对教材有了更深的理解，也感觉到了教材编者的不易，更坚定了我的课堂教学要牢牢地立足于教材的决心. 作为数学教师，我们要勇于接受挑战，善于做学生的榜样，将“补白”进行到底，让教材旁白发挥出其应有价值，令教学熠熠生辉，使学生爱上数学！endprint