2015 年高考导数压轴题解题探究

孙丽娟

（云南省会泽县茚旺高级中学）

【考点介绍】

1.导数与函数单调性、极值、最值的直接应用.

2.交点与根的分布.

3.不等式证明：（1）作差证明不等式；（2）变形构造函数证明不等式；（3）替换构造不等式证明不等式.

4.不等式恒成立求字母范围（“两分法”）：（1）恒成立之最值的直接应用；（2）恒成立之分离参数；（3）恒成立之讨论字母范围.

5.导数与函数性质的综合运用.

6.导数与三角函数结合.

【常用结论记忆】

（三）不等式的证明（作差法、变形构造函数法、替换构造函数法）

（最值、作差、变形构造函数、替换构造函数）已知函数f（x）=ln（x+1）-x.

（1）求函数f（x）的单调递减区间.

2.ex＞x+1，x>0.

3.x＞ln（x+1），x>0.

4.ln x＜x＜ex，x＞0.

【例题讲解】

（一）导数与函数单调性、极值、最值的直接应用

（四）不等式恒成立求字母范围

（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式.

（2）讨论函数f（x）的单调性.

（1）求g（x）的表达式.

（2）当m=e 时，求曲线f（x）在点（e，f（x））处的切线方程及函数f（x）的单调区间.

（3）若埚x∈R+，使f（x）＜0 成立，求实数m 的取值范围.

（4）若x∈（0，+∞），f（x）≤0 恒成立，求实数m 的取值范围.

（1）当a=0 时，求曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程.

（2）当x≥1 时，若关于x 的不等式f（x）≥0 恒成立，求实数a的取值范围.

（3）当x≥0 时，若关于x 的不等式f（x）≥0 恒成立，求实数a的取值范围.

3.（分离常数）已知函数

（1）试判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并证明你的结论.

（6）若对任意x1∈（0，2），存在x2∈［1，2］，使f（x1）≥g（x2），求实数m 的取值范围.

（二）交点与根的分布

（交点个数与根的分布）已知x=3 是函数f（x）=aln（1+x）+x2-10x 的一个极值点.

（1）求a.

（2）求函数f（x）的单调区间.

（3）若直线y=b 与函数y=f（x）的图象有3 个交点，求b 的取值范围.

（3）求证：（1+1×2）（1+2×3）…［1+n（n+1）］>e2n－3.

（1）求函数f（x）的单调区间.

（1）求a，b 的值.

（五）导数与函数的综合应用

（1）求a，b 的值.

（2）不等式f（2x）-k·2x≥0 在x∈［-1，1］上恒成立，求实数k的范围.

（六）导数与三角函数结合

已知函数f（x）=x，函数g（x）=λf（x）+sin x 是区间［-1，1］上的减函数.

（1）求λ 的最大值.

（2）若g（x）＜t2+λt+1 在x∈［-1，1］上恒成立，求t 的取值范围.