二次函数的“隐形”应用

胡上生

（江西省信丰中学）

二次函数是高中最重要的基本初等函数之一，是各章节知识之间连接的纽带与载体.有这样一类函数，表面上看起来不是二次函数，但实际上换元之后得到一个二次函数，由此可以利用二次函数的性质来解决这类问题，像这类函数称之为“隐形”的二次函数.下面笔者通过具体实例来认识二次函数的“隐形”应用.

简解：令3x=t，则t＞0，从而问题就等价转化为一元二次方程t2+（4+a）t+4=0 在（0，+∞）上有两个实根.再令f（t）=t2+（4+a）t+4（t＞0），

简解：原方程等价于m=-cos2x+2cosx，由于cos2x=2cos2x-1，

所以m=-2cos2x+cosx+1，m 是关于cosx 的二次函数，这就是

例5.设函数f（x）=ax2-2x+2，对于满足1＜x＜4 的一切x 值，都有f（x）＞0，求实数a 的值.

简解：由于原二次函数的开口方向及对称轴都未知，所以利用

通过上述几例，不难发现“隐形”的二次函数其实就是外层函数为二次函数，内层函数为各类函数的复合函数，它在高中数学解题中有着广泛的应用，并且运用过程中又贯穿着函数与方程，转化与归化，分类与整合等重要的数学思想方法.