导数与不等式联姻的解决策略

孙建山

（江苏省六合高级中学）

例1.（2008 江苏高考数学第14 题）f（x）=ax3-3x+1 对于x∈［-1，1］总有f（x）≥0 成立，则a=______.

解法1（分离参数）：由题意可得：ax3≥3x-1 在x∈［-1，1］上恒成立.

（1）当x=0 时，不等式显然恒成立，此时a∈R.

综上：a=4.

此解法通过分离参数转化成a≥h（x）或者a≤h（x），然后求h（x）的最值，当然有些题目也可以转化成ag（x）≥h（x）或者ag（x）≤h（x）［也就是说不需要把与a（也可能是关于a 的参数团）相乘的关于a 的代数式都除到另一边］，当然ag（x），h（x）最好是我们比较熟悉的一些函数，然后通过图像等方法求出a 的数值或者范围.

此解法并未上来就求导讨论导函数的符号，而是通过取特值先适当缩小参数a 的范围，然后再求导，这样在许多的情况下可以适当简化讨论.

例2.（2015 山东高考数学理第21 题）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R.

（1）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；

（2）若坌x＞0，f（x）≥0 成立，求a 的取值范围.

此解法借助导函数的符号确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意，即可确定所求参数的范围.解法1 和解法2 同样适用此题.

下面笔者选两题可供读者练习：

1.（2010 新课标第21 题）设函数f（x）=ex-1-x-ax2.

（1）若a=0，求f（x）的单调区间；

（2）若当x≥0 时f（x）≥0，求a 的取值范围.

2.（2012 天津理第20 题）已知函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0.

（1）求a 的值；

（2）若对任意的x≥0，有f（x）≤kx2成立，求实数k 的最小值.