数学教学:把根留住——2015年浙江省数学高考试题解读

●曹凤山 (余杭高级中学 浙江杭州 311100)

数学教学:把根留住
——2015年浙江省数学高考试题解读

●曹凤山 (余杭高级中学 浙江杭州 311100)

高考尘埃落定.对考生，笑也罢哭也罢，过去也就过去了;对教师，赞也罢批也罢，面对高考试题，反思、改进自己的教学是必须要做好的工作.分析2015年浙江省数学高考试题，处处能感受到试卷传达出的强烈信息——数学教学:把根留住!

1 强化教学目标的“根”:双基

高考结束后反映数学高考试题简单的年份基本没有，考完骂声一片已约定俗成.感性地宣泄自不必当真，理性、客观地分析才是正道.“普通高等学校招生统一考试是合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试”.既然是“选拔性考试”，考试的结果就不会人人欢喜，出新题、出难题是高考命题一种现实选择，每个考生得到“自己的高分”是现实，考生的“欲望”都得到满足是梦想.“合格的高中毕业生”双基要熟练.双基是考生继续深造的“根”，是数学素养的“根”，是取得理想高考成绩的“根”，是教学目标的“根”.

表1 2015年浙江省数学高考理科试卷考查内容分布

从表1可以看出，双基是考查的绝对重点.理科试题覆盖了集合与常用逻辑用语、三角函数、函数、解析几何、立体几何、数列、向量、不等式等板块的主要内容，知识点分布合理.支撑中学数学的主干知识，如函数、不等式、数列、解析几何、立体几何、三角函数等，在试卷中占较大比重.2015年的浙江省数学高考理科试题除第6，7，14，15题、第18题第2)小题、第20题第2)小题等试题具有一定的难度外，其他试题都很注重双基，大概占到110分.让不同层次的考生得到相应的分数是高考的必然，无论哪个层次的考生，双基都是第1位的.从考试成绩看，相当一部分考生连低、中档试题的分数都拿不到，基础不牢地动山摇.在双基上舍得下功夫永远不过时，如何强调双基的重要性都不为过.文科试卷也有类似的特点，此处不再详述.

2 突出数学学习的“根”:能力

长远地看，中学阶段学习的知识基本上属于以后学习、发展的基础，中学阶段的成绩只是“短期利益”，“长期利益”是以知识学习为载体的能力培养，能力是第1位的.

以学习能力为例，中学阶段学习能力的培养是一个人发展的重要阶段，学会学习是根本，因为学习能力决定了以后发展的高度与广度.那么现在的学生数学学习能力如何呢?通过分析试卷和考生情况可知，一些试题“卡壳”的原因就在于学习能力不足，一些试题干脆“读不懂”:如理科卷第6，7，14，15，18，20题等.

考生为何读不懂题意?我们截取其中几个大众化的高中数学课堂的镜头作些观察，期望有所感悟.镜头①，新授课:集合的运算.大致程序:PPT展示——引例——并集的定义、表示——例题;引例——交集的定义，……大部分的时间是例题与之后的练习.高一的学生对于集合这个“新生事物”还有些陌生，运算只有数、式的体验，对于没有预习的学生来说，交、并、补的符号可能还不会写，写不好，对所谓“集合的运算”更是一头雾水.加、减、乘、除等运算符号又不能类比，因此只能模仿例题大量做练习.镜头②，复习课:集合及其运算.大致程序:PPT展示——知识梳理——题型(考点)1(教师读试题、分析、讲解、展示解法，然后练习)——题型(考点)2，……

从以上教学镜头看，新授课、复习课的差异在于课堂容量，共同的是大量的例题、练习，学生模仿题型.所谓“教”大致就是题型、方法、技巧展示，所谓“学”约等于题型模仿.

符号突出是数学学科的一个突出特点.除文字外，数学中还有大量的字母、图形，但符号并不是数学，只有理解符号体现的存在才是数学，才使得数学由不可见变得可见.数学也是语言学科，数学语言包括符号语言、图形语言以及文字语言，数学的学习需要3种语言的理解、3种语言之间的翻译和转换.完成知识的理解、知识间的联系、方法的改进和创新，在3种语言的基础上才能有理性思维的展开.既然是语言学科自然就要遵循语言学科学习的一般规律，要有阅读理解、模仿、表达等过程，学生要有体验的过程.

在一些课堂上，学生所谓的学习过程中基本没有自行阅读理解、数学语言刻画、理解的过程.一是教师要赶进度，3年的课程一年半不到就赶完，然后就是一轮又一轮的题型复习;二是教师不放心，怕效率低，读给你听、讲给你听、写给你看、放给你看，总怕学生会出错，全程陪护不时指指点点，就是一道例题、几个字母教师也要自己读、自己分析、解释;三是把理想当现实，把人才当成天才，认为学生看一眼就会和教师“看到”、“想出”一样的内容，希望“同学们课下预习”、“同学们课后研读”，而事实上，很少有学生课下有时间自己看课本.学习最终是学生自己的事，教师包办的多学生学习的就少，学习在于体验，没有感性的体验就不能根深蒂固，直接灌输的结论就是移花接木，没有生命力.没有自己学习新知识的体验，没有接收新信息、翻译新信息、应用信息处理问题的体验，面对陌生的情境就会一筹莫展，就不能提升自己的学习能力.教师可以做教练，指出方法、途径，让学生自己下水体验.教师不能做导航仪，导航仪报的再清楚不如自己走过的路熟悉，在没有“导航仪”指挥下的考生，考场上“前方500米左拐还是右拐”就找不到方向.

给学生学习的机会、探索的空间、体验的过程，在失败、成功的过程中体现教师引导的价值，让学生学会学习.让学生回归其本意:“以学为生”，学生投入到学习过程当中，在教师引导、学生体验的过程中逐步培养学生的各项能力.

例1设A，B是有限集，定义d(A，B)=card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中的元素个数，

命题①:对任意有限集A，B，A≠B是d(A，B)＞0的充分必要条件;

命题②:对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)+d(B，C)，

A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立

C.命题①成立，命题②不成立 D.命题①不成立，命题②成立

(2015年浙江省数学高考理科试题第6题)

分析本题以集合、命题以及充要条件等知识为背景，通过定义新符号考查考生在新情境下阅读理解和分析推理的能力.试题主要以符号语言给出，文字语言辅助.在推理过程中，符号语言、文字语言与图形语言相互转译，试题背景熟悉，素材直接取自课本的阅读材料，体现高考试题源于课本又高于课本的特点.从文字、符号容易理解:d(A，B)表示集合A，B的非公共元素个数，对命题①，若对任意有限集A，B，A≠B，则这2个集合一定有非公共元素，即d(A，B)＞0;反过来，若d(A，B)＞0，2个集合有非公共元素，则A≠B.用图形语言，如图1，命题①的正确性直观可见.当然，也可以直接利用符号推导，3种语言都可以解决问题，3种语言互相结合更快捷、准确.实际上，从图形出发，把card(A)理解为封闭图形的“面积”更好处理.对命题②，可以利用图形求解，但需要考虑很多情形.虽然可以通过排除法得到答案，但心里还是不够踏实.若通过符号理解，并结合图形和集合知识，则符号推演可以确定性、一次性地解决问题.实际上，

图1

3 彰显数学的“根”:概念

数学概念是人类对现实世界空间形式和数量关系的概括反映，是建立数学法则、公式、定理的基础，也是运算、推理、判断和证明的基石，更是数学思维、交流的工具.李邦河院士说:数学根本上是玩概念的，不是玩技巧.技巧不足道也!

例2存在函数f(x)满足，对任意x∈R都有( )

A.f(sin2x)=sinx B.f(sin2x)=x2+x C.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1|

(2015年浙江省数学高考理科试题第7题)

例3已知e1，e2是空间单位向量，，若空间向量b满足b·e1=2，，且对于任意x，y∈R，|b－(xe1+ye2)|≥|b－(x0e1+y0e2)|=1(其中x0，y0∈R)，则x0= ______，y0= ______，|b |= ______.

(2015年浙江省数学高考理科试题第15题)

分析例2依托三角函数的周期性、对称性和二次函数的对称性，考查函数概念.抽象的概念考查以具体函数为依托，题干简朴，符号表述内涵丰富.首先是阅读理解:对任意x∈R，只要找到一个定义在R上满足条件的函数即可，看定义域给出的选项都是满足的，是否有这样的函数呢，从何入手?函数定义!对任意x∈R，都有且仅有唯一的实数值与其对应，注意这里的自变量并不是x而是sin2x，即当sin2x0确定时，对应的sinx0是否存在且唯一.如取x0=0，那么f(0)=sin0=0;若取，则，故选项A不正确;同理可以判断选项B，C错误.

例3首先也是需要阅读理解，特别是对关系式

几何意义的理解.如果符号背后的数学情境看不懂，那么后面便无从谈起.根据向量运算的几何意义，在空间中，当向量e1，e2，b共起点时，|b－(xe1+ye2)|表示向量b的终点到e1，e2确定的平面上的点的距离.关系式(1)完整的含义是，向量b的终点到e1，e2确定的平面的最短距离是1.从最基本的空间向量基本定理出发，设 b=x0e1+y0e2+e3(其中 e3⊥ei，i=1，2，x0，y0∈R)，由 b·e1=2，，得到解得x0=1，y0=2，进而有.由此可知，利用基本概念、基本定理是最简捷的解题途径.

用概念解题学生往往感觉很惊讶!还可以这样解?这么简单!那说好的解题技巧呢?在平时的课堂教学中，概念教学存在的问题不少:比如淡化概念教学，一笔带过，以为有文字、有符号学生一看就懂、一讲就会;概念教学无处着力，如章建跃博士反复提到:一个定义三项注意;概念教学异化，概念教学成了解题教学，以解题代替概念理解，如此等等，没有抓到概念教学的本质，偏离了数学教学的正轨.概念的理解与典型例子密不可分，一个典型的例子胜过一百次抽象的说教;概念的教学还要注意不断深化，在综合、新情境下不断加深对概念、原理的认识;解题教学注重从概念、原理出发，养成良好的思维习惯.把握概念教学的核心，注重概括，将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，通过观察、分析、抽象，概括本质属性，归纳得出数学概念，让学生真正学到数学的精髓所在，真正理解数学.

4 把握解题的“根”:思维

理性地说，解题教学不是中学数学教学的全部.但事实上，中学数学教学全部在解题教学.解题教学没有错，章建跃博士说:通过解题，学生可以加深概念的理解，深化对概念联系性的认识，优化数学认知结构，训练数学思维，提高分析和解决问题的能力——是中学数学教学的主要内容.

例4已知数列{an}满足且(其中n∈N*).

(2015年浙江省数学高考理科试题第20题)

分析1)由题意得，即an+1≤an，故，由an=(1－an－1)an－1得

2)由题意得a2n=an－an+1，从而

试题可谓情理之中、意料之外，问题朴素、自然，以数列为载体，以函数为背景，考查重要的中学数学知识，解题方法自然、多样.然而一些考生却反映无处下手，平时一些“难题”可以做，为什么这么“简单”的题目却做不了呢?除了最后一题在心理、时间上有问题外，其他最主要的还是思维能力.

数学是思维的科学.过程是思想的载体，是思维训练的通道，是领悟概念本质的平台，是培养数学能力的土壤.没有过程等于没有思维，但是，反思我们的教学，恰恰是省略了过程，急着把“结果”、“套路”、“题型”、“妙招”等平时屡试不爽、高考却一无用处的东西一股脑地灌给学生，把学生当成学生而不是开始就当成考生，给学生学习的机会，保证学生学习的过程，留住数学的根，留住学习的根，让学生完胜高考，也让学生的学习受益终生.