浅谈集合中的数学思想

张建立

【关键词】 数学教学;集合;数学思想

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C

【文章编号】 1004—0463（2015）11—0121—01

集合是近代数学中的一个重要概念，在解决某些数学问题时，若是运用集合思想，可以使问题解决得更简单明了。而且这种数学思想方法在教学中是很有价值的，它的很多思想和展现的方式对于帮助学生理解题意和解答问题都有很大作用.下面，笔者就谈谈集合中的数学思想.

一、函数与方程思想

函数与方程的思想就是从分析问题的数量关系出发，建立函数关系或方程，然后用函数或方程的方法去解决问题.函数与方程的思想也是高中数学中最基本、最重要的数学思想，就是从分析问题的数量关系入手，把变量之间的关系用方程的关系反映出来，然后通过解方程或对方程进行讨论的方法，使问题得到解决.

例1  已知集合A={（x，y）|y=x2+mx+2}，B={（x，y）|y=-x+1，0≤x≤2}，若A∩B≠空集，求实数m的取值范围.

解：由方程y=x2+mx+2和y=-x+1，联立解消去y得到 x2+（m+1）x+1=0，

此方程在[0，2]上的解不是空集，

必须？驻≥0， f （0）与f （2）异号（或为0），即 1×[2（m+1）+5]≤0 ，求得m≤-■.

对称轴在[0，2]内，且f （0）≥0，f （2）≥0，即（m+1）2-4≥0，0≤-■≤2，2m+7≥0，m≤-1 或 m≥3，-5≤m≤-1，m≥-■，∴-■≤m≤-1.

对以上两种情况取并集，得到m≤-1.

所以m∈（-∞，-1]

二、数形结合思想

数形结合思想，是将抽象的数学语言与直观、具体的图形结合起来，相互转化，化抽象为直观，达到化难为易，化繁为简的目的.集合中常用到数轴法和韦恩图法.

例2  设集合A={x||x-a|<2}，B={x|2x-■+2<1}，若A包含于B，求实数a的取值范围.

解：根据B={x|2x-■+2<1}，

求出x：  -2

A={x||x-a|<2}，求出x得a-2

A包含于B，a-2≥-2 且a+2≤3

得 0 ≤a≤1.

评注：应用数轴解答有关集合问题时，应先画出数轴，然后依据题目的条件将集合准确地在数轴上表示出来，再借助数轴的直观性，从而使抽象的集合问题的解答简洁、巧妙、形象、直观.

三、分类讨论思想

分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，也是一种基本的解题策略，其实质是逻辑划分.通过分类讨论、各个击破的解题手段，使问题变得条理清晰、层次分明、易于解决.在运用分类讨论的思想来解决问题时，必须要统一分类标准，保证分类时不重、不漏，并力求最简.

例3  设集合A={y|y=x2-2x+4，x∈R}，B={y|y=ax2-2x+4a，x∈R}，若A？哿B，求实数a的取值范围.

解：由y=x2-2x+4=（x-1）2+3≥3，得A={y|y≥3}.

在集合B中，y=ax2-2x+4a，x∈R

1.当a=0时，y=-2x，则B=R，满足A？哿B.

2.当a≠0时，y=a（x-■）2+4a-■.

（1）若a<0，则B={y|y≤4a-■，a<0}，这与A？哿B矛盾.

（2）若a>0，则B={y|y≥4a-■，a>0}、为使A？哿B，只要4a-■≤3即可，从而可得0

综上所述，实数a的取值范围是{a|0≤a≤1}.

评注：分类讨论是解决集合问题的常用方法，但在分类时，必须要统一标准，简明扼要，做到不重不漏.

四、化归与转化思想

化归与转化思想，就是紧扣求解目标.处理数学问题时，通过某种变换或化归，把复杂问题简单化，把陌生问题转化为熟悉问题，从而使原问题得到解决.

例4  已知集合A={（x，y）|■=a+1}B={（x，y）|（a2-1）x+（a-1）y=15}，当a取何实数时，A∩B=？准.

分析：将A∩B=？准用符号表示的集合问题转化为与之等价的解析几何问题，利用直线平行无交点来解决集合的交集为空集问题，从而求得a的范围.

解：A∩B=？准，当直线y=（a+1）（x-2）+3， 与直线y=-x+平行时，

A∩B=？准，则（a+1）=-（a+1）， 即a=-1.

因为（2，3）？埸A，

所以当（2，3）∈B时， A∩B=？准，

则3=- 2（a+1） +，

解得a=或-4.   所以a=-1，-4，

评注：数学语言通常包括文字语言、符号语言、图形语言等，在处理集合问题时，我们经常需要将这几种语言进行转化，但在相互转化的过程中要注意转化的等价性.

编辑：谢颖丽